萬變不離“宗” 殊“圖”也同歸

摘要：世上萬事萬物都在不斷變化，但變化中又相互聯系.數學教學也是如此，我們既要研究其變式，又要探討其解題模型，從而尋找其解決方法.所謂萬變不離其宗，對數學而言，既要通過變式訓練思維，也要抓其“宗”，讓殊“圖”也同歸.本文中以一道題作為引例，嘗試改變其條件形成變式，并探究其解法，同時也探究變式背后之“宗”及解法.

關鍵詞：變式；解直角三角形；轉化思想；實際問題

解直角三角形的實際應用比較廣泛，在平時練習及考試中出現的幾率較大.將解直角三角形應用于實際問題中，就是把實際問題轉化為解直角三角形問題.雖然題目條件、解題過程等不同，但方法及題中蘊含的數學思想類似.在解題時，只要緊扣這一“宗”，就能從容應對各種形式的變式.

1 引例

小亮和小強相約去登山，如圖1所示，小亮從北坡山腳C處出發，以24 m/min的速度攀登，同時小強從南坡山腳B處出發.已知北坡的坡度i=1∶3，山坡長為240 m，南坡的坡角是45°.問小強以什么速度攀登才能和小亮同時到達山頂A？（將山路AB，AC看成線段.）

分析：本題中的△ABC不是直角三角形，所以需先過點A作BC的垂線，垂足為D，將原圖形構造成兩個直角三角形，然后根據坡度、坡長解兩個直角三角形，最后計算出小強從南坡攀登的速度.

解：過點A作BC的垂線，垂足為D，如圖2所示.

根據題意，可得

tan C=13=33.

∴∠C=30°.

在Rt△ADC中，AC=2AD，且AC=240 m，

∴AD=120 m.

在Rt△ADB中，∠B=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形.

∴AB=2AD.

∴AB=1202m.

∴1202÷（240÷24）=122（m/min）.

答：小強以122m/min的速度攀登，才能和小亮同時到達山頂A.

2 變式

2.1 變式一：將圖形平移

經過作輔助線AD后，原來非特殊的△ABC轉變成了兩個特殊三角形——直角三角形，使得原來的問題轉化成了解直角三角形.如果將構造出的兩個直角三角形向兩端平移，會出現怎樣的變式？這樣的問題又該如何解決呢？不妨看下面這道題：

例1 某過街天橋的設計圖是梯形ABCD，如圖3所示，橋面DC與地面AB平行，DC=62 m，AB=88 m.左斜面AD與地面AB的夾角為23°，右斜面BC與地面AB的夾角為30°，立柱DE⊥AB于點E，立柱CF⊥AB于點F，求橋面DC與地面AB之間的距離（精確到0.1 m）.

分析：本題與引例非常相似，同樣是在兩個直角三角形中解決問題.首先，在左右兩個直角三角形中分別表示出AE和BF；然后，證得CD=EF，DE=CF；最后，將AE，BF和DC合并成一條線段AB，利用AB的長即可求出橋面DC與地面AB之間的距離.

解：在Rt△AED中，∠A=23°，

∴tan 23°=DEAE.

∴AE=DEtan 23°.

在Rt△CFB中，∠B=30°，

∴tan 30°=CFFB.

∴FB=CFtan 30°.

∵CF⊥AB，DE⊥AB，且AB∥CD，

∴EF=CD，DE=CF.

∵AE+EF+FB=AB=88，

∴DEtan 23°+62+CFtan 30°=88.

即DEtan 23°+62+DEtan 30°=88.

解之，得DE≈6.4（m）.

答：橋面DC與地面AB之間的距離約為6.4 m.

從圖形變換的角度來看，其實本題只是在引例的基礎上將構造出的兩個直角三角形分別向左、右平移了一段距離.其解法與引例類似，并且都利用了轉化思想.

2.2 變式二：將圖形翻折

引例通過作輔助線形成了兩個直角三角形，變式一中將左右兩個直角三角形平移，那么是否可以將它們其中一個翻折呢？不妨看下面這道題：

例2 如圖4所示，某校數學興趣小組的同學欲測量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他們先在A處測得古塔頂端點D的仰角為45°，再沿著BA的方向步行20 m至C處，測得古塔頂端點D的仰角為30°，求該古塔BD的高度（結果精確到0.1 m）.

分析：兩次測得仰角，兩次構造出直角三角形.所以，根據題意應兩次在直角三角形中進行計算，最后可求出古塔BD的高度.

解：根據題意，可知∠BAD=45°，∠BCD=30°，

AC=20.

在Rt△ABD中，不妨設AB=BD=x.

所以在Rt△ABC中，BC=（20+x），且

tan 30°=33=x20+x.

解之，得x=203－1（m）.

即BD≈27.3（m）.

答：該古塔BD的高度約為27.3 m.

從圖形變換的角度來看，本題是在引例的基礎上變化而得，因為只需將其中一個直角三角形通過翻折，就可得到引例中的圖形.在解法上，與引例、變式一的解法類似，都利用了轉化思想.事實上，這類問題都可以利用轉化思想求解.

3 總結與反思

通過變式，教師不僅可以擺脫就題講題的束縛，而且可以讓學生接觸更多的題型，同時也可以讓他們的數學思維得到訓練[1].尤其是解決該類問題所用的轉化思想，是初中數學當中非常重要的方法與技巧，也是數學素養的重要組成部分.筆者建議教師不妨繼續組織學生對引例進行變式，讓學生深入思考轉化思想在這類問題中的應用.如該類問題還可以進行如下變式：

綜合實踐課上，小明所在小組要測量護城河的寬度.如圖5所示是護城河的一段，兩岸AB∥CD，河岸AB上有一排大樹，相鄰兩棵大樹之間的距離均為10 m.小明先用測角儀在河岸CD的M處測得∠α=36°，然后沿河岸走50 m到達N點，測得∠β=72°.請你根據這些數據幫小明他們算出河寬FR（結果保留兩位有效數字）.（參考數據：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08.）

本題初看上去和上述幾個問題無關，但是過點F作EM的平行線FG后，就可以得到變式二的圖形.再將另一個直角三角形翻折，就回到了引例中.所以，本題是引例、變式一、變式二的綜合，更加靈活.

綜上所述，利用變式訓練學生的數學思維，是當前很多教師采用的教學方法.一方面可讓學生嘗試命制變式題，另一方面可讓學生了解變式的思路，進而抓住“源頭”，找到解題的方法[2].這樣一來，對學生思維能力的提升極具幫助.

參考文獻：

[1]李偉.一“法”當關，萬題皆開——例析《解直角三角形》題型的通解及其變式[J].考試（中考版），2012（11）：24-25.

[2]鄧革周.一個基本測量圖的變式及應用[J].初中生，2011（3）：24-29.