巧用二次函數 妙解實際問題

1 “拋物線”形問題

生活中有比較多的常見的問題與拋物線形有關，比如上拋的物體、噴泉、資金收入、隧道、拱形橋等.要解決這類拋物線形的問題，常常需要建立適當的坐標系，將這些實際問題轉化為二次函數問題，利用二次函數的圖象和性質來求解即可.

例1 如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）.如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝2 m，豎直高度為EF的長.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2 m，高出噴水口0.4 m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）.其中h＝1.2，EF=0.7 m.

（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；

（2）求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

（3）若d＝3.2 m，灌溉車行駛時噴出的水（填“能”與“不能”）澆灌到整個綠化帶.

解：由題意可得H（0，1.2），A（2，1.6），且上邊緣拋物線的頂點為A，設拋物線解析式為y＝a（x-2）2+1.6，將H（0，1.2）代入，可得a=-110，即上邊緣的拋物線為y=-110（x-2）2+1.6.

由-110（x-2）2+1.6＝0，解得x1＝-2（舍去）或x2＝6，即OC＝6 m，所以上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC為6 m.

（2）由（1）可得，H（0，1.2），上邊緣拋物線y=-110（x-2）2+1.6的對稱軸為x＝2，則點H關于該對稱軸的對稱點為（4，1.2），所以下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個單位長度得到的，則下邊緣的拋物線解析式為y=-110（x+2）2+1.6.將y＝0代入，可得-110（x+2）2+1.6＝0，

解得x1＝-6（舍去）或x2＝2，所以點B（2，0）.

（3）因為2＜3.2＜6，所以綠化帶的左邊部分可以灌溉到.由題意可得，點F的橫坐標為3.2+2＝5.2，

則F（5.2，0.7）.將x＝5.2代入y=-110（x-2）2+1.6中，得y=-110（5.2-2）2+1.6＝0.576＜0.7，所以灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶.

點評：本題主要考查了生活中關于二次函數類型的實際問題，這類問題的解決主要是依據二次函數的性質以及圖象特征，根據題意建立坐標系，求得二次函數的解析式，將實際問題轉化為有關二次函數常見的最值問題來解決是解題關鍵.

2 “生活、生產”實際問題

對于某些實際中的與“生活、生產”相聯系的問題，我們需要把實際中的這類問題，首先要轉化為函數的形式，然后結合函數的圖象和性質來研究這些實際生活問題.這也反應了數形結合和方程思想在解決問題中的重要作用.

例2 某智能機器人生產廠家準備對甲、乙兩款機器人進行投資生產，根據前期市場調研情況發現，投資甲機器人一年后的收益y甲（單位：萬元）與投入成本x（xgt;0）（單位：萬元）的函數表達式為y甲=12x，投資乙機器人一年后的收益y乙（單位：萬元）與投入成本x（xgt;0）（單位：萬元）的函數表達式為y乙=-14x2+52x.

（1）若將2萬元資金投給乙機器人，一年后獲得的收益是多少？

（2）請在圖3中畫出兩函數圖象的簡圖，并結合圖象分析怎樣選擇投資對象使獲得的收益更多？

（3）若該生產廠家共有活動資金32萬元，計劃全部投入到甲、乙兩款機器人生產中，當甲、乙兩款機器人分別投入多少萬元時，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？

解：（1）當x=2時，

y乙=-14x2+52x=4（萬元）.

答：一年后獲得的收益是4萬元.

（2）直線y甲=12x過點（0，0），（2，1）.

畫出函數y甲=12x的簡圖，如圖4.

拋物線y乙=-14x2+52x的對稱軸為x=5，頂點為5，254.當x=0時，y乙=0，當y=0時，解得x1=0，x2=10.

所以拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）（10，0）.

畫出函數y乙=-14x2+52x的簡圖，如圖4.

直線y甲=12x與拋物線y乙=-14x2+52x的兩個交點為（0，0），（8，4）.由圖象可知：當投入成本x=8萬元時，選擇投資生產甲、乙兩款機器人獲得的收益一樣；

當投入成本0lt;xlt;8萬元時，選擇投資生產乙款機器人獲得的收益更多；當投入成本xgt;8萬元時，選擇投資生產甲款機器人獲得的收益更多.

（3）設一年后獲得的收益之和為w，投入乙款機器人生產n萬元，則投入甲款機器人生產（32-n）萬元，

所以w=12（32-n）-14n2+52n=-14（n-4）2+20.故當n=4時，w有最大值，最大值為20.

答：當投入甲款機器人生產28萬元，投入乙款機器人生產4萬元，一年后獲得的收益之和最大，最大值是20萬元.

點評：本題考查了一次函數以及二次函數的實際應用，要在求得一次函數和二次函數解析式的基礎上，結合這兩個函數的性質以及與方程的關系來解決這類問題.

3 “幾何”問題

利用二次函數解決有關幾何問題，一定要認真分析幾何圖形的特點，抓住圖形中的關鍵因素，在理解題意的基礎上，確定好變量，然后建立函數模型，構建有關二次函數或者其他函數方程，再利用對應函數的性質求解即可.

例3 蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結構，它的出現使得人們可以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間.如圖5，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線的一部分AED構成（以下簡記為“拋物線AED”），其中AB＝4 m，BC＝6 m，現取BC中點O，過點O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點E，OE＝7 m，若以O點為原點，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖6所示平面直角坐標系.請結合圖形解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；y=-13x2+7.

（2）如圖7，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，其中L，R在拋物線AED上，若FL＝NR＝0.75 m，求兩個正方形裝置的間距GM的長.33-32.

點評：本題考查了二次函數的實際應用，矩形的性質，在讀懂題意的基礎上，正確的求出二次函數解析式，利用數形結合的思想，進行求解，是解題的關鍵.

4 結語

二次函數在實際中的應用問題是初中教學的重要知識點，這種題型往往就是求解函數的最大值、最小值問題，經常與實際生活中的“經濟、交通、體育、生產、圖形設計”等問題相聯系，因此在處理這類問題時，可以貼合生活實際，合理轉化為所學的函數問題，然后利用函數的圖形和性質來解決問題.這類問題對學生的思維能力要求較高.