基本圖形深探究 一題一課漸次開

摘要：從學(xué)生的一道易錯題談起，找出學(xué)生的易錯點、盲點和容易疏忽的細(xì)節(jié)，達(dá)到誤中悟！一題一課式是基于教師對教學(xué)內(nèi)容的深入分析和解讀，對重點問題或圖形進(jìn)行一般化、特殊化的重組與整合，轉(zhuǎn)換成符合學(xué)生實際的教學(xué)內(nèi)容，形成對課程內(nèi)容的整體把握和結(jié)構(gòu)化處理，有利于提升課堂教學(xué)效率，引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，推動數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化.

關(guān)鍵詞：一題一課；誤中悟；轉(zhuǎn)化倍角；中學(xué)數(shù)學(xué)

1 引言

面對學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)的錯誤，教師若能恰到好處地發(fā)揮教學(xué)機(jī)智，及時捕捉學(xué)生生成的錯誤，以獨特的視角去發(fā)現(xiàn)錯誤的價值，就能獲得錯誤資源.傳統(tǒng)復(fù)習(xí)方式習(xí)慣于知識梳理、例題講評、鞏固訓(xùn)練式的流程，導(dǎo)致課堂存在“大容量、小問題，淺思考”的現(xiàn)象，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題淺嘗輒止［1］.為此，筆者通過“一題一課”對問題不斷分析、不斷聯(lián)系、不斷深入，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生討論，提供更多的機(jī)會讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生整體性、系統(tǒng)性、綜合性的思維方式，從而讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.真正落實“雙減”！下面以一道學(xué)生易錯的轉(zhuǎn)化倍角的題目為例探討一題一課式的教學(xué)設(shè)計.

2 內(nèi)容解析

如果題目中出現(xiàn)了一個角是另一個角的2倍（這是八年級下冊中常見的一種題型），那么該如何入手？

例 如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC，求證：∠A=90°.

很多學(xué)生甚至有些資料上給出的證法是這樣的：

證明：如圖2，在CB上截取CD=AC，連接AD.

因為BC=2AC，所以BD=CD=AC.

所以∠CAD=∠ADC，∠BAD=∠B.

因為∠ADC=∠BAD+∠B，

所以∠ADC=2∠B.

因為∠ACB=2∠B，所以∠ACB=∠ADC.

所以∠ACB=∠CAD.

因為∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°，

所以2（∠BAD+∠CAD）=180°.

所以∠BAD+∠CAD=90°.

故∠BAC=90°.

顯然BD=CD=AC，并無法推出∠BAD=∠B.此解法錯誤.那么，如何引導(dǎo)學(xué)生“以誤頓悟”？

核心關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化這個倍角？這種證法的意圖是證明∠BAD=∠B，能否有所改進(jìn)？題中給出的條件是∠ACB=2∠B，只需要讓∠ADC=∠C，即AD=AC.現(xiàn)做如下修改：

思考1：通過畫弧構(gòu)造等腰三角形.

如圖3，已知條件：∠ACB=2∠B.

以點A為圓心，AC為半徑作弧，交BC于點D，則△ADC為等腰三角形.因為∠ADC=∠ACB=2∠B，所以∠BAD=∠B，即△ABD也為等腰三角形.

不少學(xué)生猜測∠B=30°，能否證明呢？

證法1：

以點A為圓心，AC為半徑作弧，交BC于點D，則AD=AC，所以∠C=∠ADC.

又∠ACB=2∠B，于是∠ADC=2∠B=∠B+∠BAD，則∠B=∠BAD，所以BD=AD=AC.

因為BC=BD+DC=2AC，所以DC=AC.

所以△ADC為等邊三角形.

所以∠C=60°，∠B=30°，故∠BAC=90°.

當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，就可以通過畫弧得等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化倍角.

思考2：通過平分角構(gòu)造等腰三角形.

如圖4，已知條件：∠ACB=2∠B.可作CD平分∠ACB，則△DBC是等腰三角形.

證法2：如圖5所示，作CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE⊥BC于點E.

因為∠ACB=2∠B，所以∠B=∠BCD.

所以△DBC是等腰三角形.

又DE⊥BC，所以BE=CE.

又BC=2AC，

所以AC=EC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

思考3：通過線段的垂直平分線構(gòu)造等腰三角形.

由于垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因此產(chǎn)生等腰三角形.

如圖6，已知條件：∠ACB=2∠B.可作邊BC的垂直平分線DE，則△DBC是等腰三角形.

證法3：如圖6所示，作邊BC的垂直平分線交BC于點E，交AB于點D，連接CD.

因為DE垂直平分線段BC，所以BD=CD，∠B=∠BCD.

因為∠ACB=2∠B，所以∠BCD=∠ACD.

因為BC=2AC，所以CE=AC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

證法4：當(dāng)然也可以作AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連AD，如圖7，則△ADB是等腰三角形，所以∠C=∠ADC.

證明同方法1，就不贅述了.

思考4：通過外角構(gòu)造等腰三角形.

在等腰三角形中頂角的外角等于其底角的兩倍，如圖8，若∠ACB=2∠B，所以如果延長BC至點D，使CD=AC，連接AD，則△ADC是等腰三角形.

證法5：可以延長BC至點D，使得CD=AC，連接AD.

易證∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D.

又∠ACB=2∠B，所以∠B=∠D.

所以AB=ＡD.

取BC的中點E，連接ＡE，如圖8.

所以BC=2BE=2EC.

又因為BC=2AC，所以BE=EC=AC.

所以BE=EC=AC＝CD.

所以∠EAD=90°，

△ABC≌△ADE.

故∠BAC=∠EAD=90°.

思考5：如圖9，若2∠B=∠ACB，有學(xué)生提出，在△ABC外作∠ABD=∠ABC，交CA的延長線于點D，則△DBC是等腰三角形.

那么，此題這種方法行不行得通？學(xué)生經(jīng)歷了各種嘗試，都證不出來，根本原因是無法證明AC＝AD或BD＝CD.但通過不斷的嘗試，學(xué)生將知識點理解得更為透徹！

錯誤不是無情物，化作資源更護(hù)“花”.因為有錯，所以有點撥、引導(dǎo)和解惑；因為有錯，所以有反思、反省和修正；因為有錯，所以有研究、創(chuàng)新和超越.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要善于從學(xué)生的錯題中挖掘出寶藏，引導(dǎo)學(xué)生“以誤頓悟”［2］.

3 總結(jié)回顧

借助基本圖形采用一題一課的形式進(jìn)行深入探究，簡潔高效，節(jié)省了讀題與審題的時間，減輕了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，避免了題海戰(zhàn)術(shù)，不僅在探究、總結(jié)中鍛煉了學(xué)生的思維能力、發(fā)展智育，有利于減負(fù)增效，還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；雖為一題多解，但本質(zhì)核心都離不開構(gòu)造等腰三角形.學(xué)而思，思而樂.由樂學(xué)到會學(xué)再到好學(xué)、由被動學(xué)習(xí)到主動學(xué)習(xí)，實現(xiàn)輕松愉悅的高效學(xué)習(xí).同時，探究過程兼顧不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，使得不同的學(xué)生在一節(jié)課中可以得到不同的收獲.對于一題一課的設(shè)計，首先要選取一個好的母題，其來源可以是教材中的例題與習(xí)題，也可以是從中提煉出的基本圖形.

課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤具有不可預(yù)見性，而這樣的錯誤又往往是學(xué)生思維的真實反映，蘊含著寶貴的亮點，讓學(xué)生充分展示思維過程，探求其產(chǎn)生錯誤的內(nèi)在因素，則能有針對性地展開教學(xué)，有利于學(xué)生的自主建構(gòu)［3］.因此，課堂教學(xué)過程是獲得生成性錯誤資源的肥沃土壤.

基本圖形深探究，一題一課漸次開.這不僅使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到提高，而且會對學(xué)生將來的工作、生活產(chǎn)生積極影響，會受益終生.可謂，錯亦有情，誤中悟道！

參考文獻(xiàn)：

[1]洪順慶，程龍軍.深入探究基本圖形 漸次展開一題一課——以“相似三角形的判定”單元復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（20）：52-54.

[2]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實驗探索[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（21）：43-48.

[3]張徐生.錯誤不是無情物——數(shù)學(xué)解題中的錯誤辨析與歸因分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（10）：39-42.