一道“拓廣探索”習題的教學實踐探究及思考

摘要：為了突破教材中的“拓廣探索”題目，通過設計引題找準原題的基本圖形和問題，利用探究活動為解原題提供思想方法.根據原題具有的探索性，以及教師方式方法的引導和原題的改編拓展，培養學生思維能力，幫助學生形成解決問題的通性通法，并在活動過程中培養學生數學素養.

關鍵詞：拓廣探索；教學方法；通性通法

人教版教材的每一章后面都設置了“拓廣探索”題目，是在學生所學知識基礎上的拓展，有一定難度.如何利用教材資源，突破難點，體現教材“拓廣探索”資源價值，并在教學過程中培養學生素養？本文中以人教版九年級上冊第125頁的第15題為例，談談筆者的做法與想法.

1 原題呈現

如圖1，⊙O的直徑AB=12 cm，AM和BN是它的切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點.設AD=x，BC=y，求y關于x的函數解析式，并試著畫出它的圖象.

2 教學過程

2.1 引題尋跡

如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，OD，OC分別平分∠ADC，∠BCD，AB垂直BC于點B，從已有條件中你能得出哪些結論？試說明理由.

設計說明：利用開放性的問題，發散學生思維，培養學生思維習慣.面對這類問題時可以從線段關系、角的關系、面積關系、圖形關系以及形狀問題等方面思考，通過對簡單基本圖形的思考與論證，從而掌握同旁內角雙角平分線模型，并從模型中提煉出對原題有用的思維方法和結論.

教師：請同學們說出得到的結論并說明理由.

生A：如圖3，作OE⊥CD于點E，易證∠ODC+∠OCD=12（∠ADC+∠BCD）=90°，所以OD⊥OC.

生B：通過證明△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO，得CD=DE+CE=AD+BC，同時可得OA=OB=OE.

生C：根據△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO，得S△DOC=12S梯形ABCD.

生D：由∠A=∠B=∠DOC=90°，可得OD2=OA2+AD2，OC2=OB2+BC2，DC2=OD2+OC2.

生E：△ADO，△BOC，△ODC中三組內角分別對應相等，圖形形狀一樣.

教師：五位同學都回答得非常好，尤其是E同學講的“形狀一樣，大小不同”是后期要學的相似.而怎樣才能全面得到所有結論而不遺漏呢？回顧我們研究幾何圖形時是從哪些方面進行探究的呢？

師生一起歸納：從邊、角、對角線、形狀、圖形關系等方面進行探究.

邊：CD=AD+BC，OA=OB=OE，OD2=OA2+AD2，OC2=OB2+BC2，DC2=OD2+OC2.

角：∠DOC=90°，△ADO，△BOC，△ODC中三組內角分別對應相等.

圖形關系：S△DOC=12S梯形ABCD，△ADO≌△EDO，△ECO≌△BCO.

圖形形狀：△ADO，△BOC，△ODC都是直角三角形.

2.2 解題溯源

原題中隱含條件的獲得是引題解題的關鍵，許多學生因無法有效挖掘、整理隱含條件而沒有解題思路.引題是從原題分離出來的一個基本模型，包含了一些原題的隱含條件.通過引題的教學，引導學生利用分類思想全面推導了引題的結論，讓學生解題時能夠關聯基本模型，奠定解題思路.

教師：請同學們先獨立思考解答，再小組交流合作，最后派代表匯報小組的解題思路.

小組1：如圖4，連接OD，OE，OC.由切線長定理，得DE=AD=x，CE=BC=y，則DC=x+y.通過引題易得∠DOC=90°，所以有（y+x）2=x2+36+y2+36，解得函數解析式為y=36x（xgt;0）.

小組2：如圖4，連接OD，OE，OC.由切線長定理，得DE=AD=x，CE=BC=y.又OE⊥CD，則DC=x+y.所以，在Rt△AOD和Rt△OBC中，OD=x2+36，OC=y2+36，通過引題，易得∠DOC=90°，因此結合等面積法可得S△DOC=12×6（x+y）=12x2+36＼5y2+36，解得函數解析式為y=36x（xgt;0）.

小組3：如圖5，作DG⊥BN于點G，可證四邊形ABGD是矩形，則GC=y-x.在Rt△DGC中，122+（y-x）2=（y+x）2，解得函數解析式為y=36x（xgt;0）.

小組4：如圖6，過點A作AH∥DC交BC于點H，可以證明四邊形AHCD是平行四邊形，則AH=DC=x+y，HC=AD=x.在Rt△ABH中，有122+（y-x）2=（y+x）2，解得函數解析式為y=36x（xgt;0）.

教師：以上小組展示了四種不同且非常精彩的解題方法.本題可通過構造引題中同旁內角雙角平分線模型，再利用勾股定理建立方程，找出y與x之間的等量關系；也可以通過添加輔助線構造直角三角形，列出方程.在解幾何題中遇到難點時，同學們要善于挖掘其中的隱含條件和結論作為突破口，同時，學會分離出的基本圖形，關聯基本幾何模型，從而迅速解析圖形，找到解題思路.

上述原題是書本中的一道拓廣探索題，有一定難度.學生通過獨立思考，自主探究，培養了分析問題、解決問題的能力.但也有部分學生不能通過獨立探究解決問題，而是利用小組合作探究獲得基本活動經驗，再通過小組展示解題思路和教師歸納的思想方法，從而達到知識的遷移和內化.

2.3 改編作業

改編1 如圖1，⊙O的直徑為AB，AM和BN是它的切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點.

（1）若AB=12，AD=4，求BC的長度；

（2）若AB=12，BC=3，求AD的長度；

（3）若AD=4，BC=16，求AB的長度.

（4）求證：14AB2=AD·BC.

分析：本題是原題條件與結論從特殊到一般的變式，解法與原題類似.

改編2 如圖7，⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的切線，DE與⊙O相切于點E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點，若AE∥OC，設AD=x，BC=y，求y關于x的函數解析式.

解法分析：如圖8，連接OD，OE.由AE∥OC，OA=OE，可得∠BOC=∠EOC，則可證△BOC≌△EOC，△AOD≌△EOD，所以∠DOC=90°.由勾股定理，可得（y+x）2=x2+36+y2+36，解得xy=36，所以該函數解析式為y=36x（xgt;0）.

改編3 如圖9，在梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD＼5BC=14AB2=36，DC=AD+BC，是否存在一個圓與梯形的三邊AD，DC，BC相切？若存在，請求其出半徑;若不存在，請說明理由.

解法分析：如圖10，以AB中點為圓心，AB為直徑作⊙O，作OE⊥CD于點E，連接OD，OC.設AD=x，BC=y，則DC=AD+BC=x+y，AD＼5BC=xy=36.由題意∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB=r=6，則DA，BC與⊙O相切.由勾股定理，得OD=x2+36，OC=y2+36，則OD2+OC2=x2+36+y2+36=x2+y2+2xy=（x+y）2=CD2，故∠DOC=90°.又因為OE⊥CD，所以可得S△DOC=12OE＼5（x+y）=12x2+36＼5y2+36，即OE2＼5（x+y）2=（x2+36）（y2+36），解得OE=6，則OE為⊙O半徑.所以⊙O與DC相切，則⊙O為所求圓，其半徑為6.

改編4 如圖11，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E，AB=6，設AD=x，BC=y，求y關于x的函數解析式.

解析：如圖12，連接OE，ED，EC.由AB是切線，得OE⊥AB，易證AD∥BC∥OE.由O是DC的中點，可以得到OE=12（AD+BC）=12（x+y），則CD=x+y.由平行線+等腰三角形可證角平分線模型，可得ED，EC分別平分∠ADC，∠BCD，于是∠EDC+∠ECD=12（∠ADC+∠BCD）=90°，所以∠DEC=90°.由勾股定理，可得（x2+32）+（y2+32）=（x+y）2，解得xy=9.故函數解析式為y=9x（xgt;0）.

改編5 如圖13，已知四邊形ABCD的內切圓⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F，G，H，AD∥BC，⊙O的半徑為4，設AH=a，BF=b，FC=c，HD=d.

（1）若a=4，c=2，求b，d的值.

（2）求a，b，c，d之間的等量關系.

（3）若a=c，試用b表示出四邊形ABCD的面積，并求出其最值.若沒有，請說明理由.

解析：（1）如圖14，連接OH，OF，易證HF是⊙O的直徑且垂直AD和BC.根據原題結論易得ab=16，cd=16，得b=4，d=8.

（2）由原題結論，易得ab=cd=16.

（3）由ab=cd=16，a=c，得b=d，則AD=BC=a+b.根據切線長定理，易得四邊形ABCD是邊長為a+b的菱形，所以四邊形ABCD面積為BC·HF=（a+b）·8=8b+16b.因為bgt;0，則b-8+16b=（b）2-2b·4b+4b2=b-4b2≥0，所以b+16b≥8.四邊形ABCD的面積有最小值，且最小值為64.

多樣的改編，讓每個學生都能匹配到適合自己的作業，鞏固拓展，提高學生用發展變化的數學眼光觀察問題的能力，培養創新意識.

3 教學思考

3.1 找準引題，挖掘“拓廣探索”的源頭

人教版教材的每一章后面都設置了“拓廣探索”題目，是在學生所學知識基礎上的拓展，有一定難度，因而大部分學生有畏難心理.而這時找到題目的源頭，是一個基本模型，或是平常常見題型的拓展，將它作為引題，既降低了難度，讓更多學生參與解題，提高學生積極性，又讓學生在探索引題過程中通過開放式的提問獲得多種結論和探究方法，為后面解答改編拓展題提供了方式方法.

3.2多樣改編，形成通性通法

“拓廣探索”題目的教學絕不只是教會學生解一道題，而是會利用教學探究活動獲得的經驗及學到的方式方法解一類題.改編拓展題的設計首先是將條件與結論從特殊到一般進行改編，有利于學生由淺到深，由現象到本質逐漸積累對問題的認識，從而發現其特點，掌握規律；再通過條件與結論的互換，改變梯形與圓的位置、梯形的形狀等方法進行改編.將同一個問題放在不同情境下，學生通過理清條件結論，找到數量關系，選擇數學模型，在不同的條件結論中找到相同規律的解題模式和思想方法，形成通性通法.

3.3 注重探究過程、方法引導，發展數學素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》［1］強調：“核心素養是在數學學習過程中逐漸發展和形成的.”引題中利用開放性提問，讓每個學生都能通過自主探究收獲結論，通過小組合作互助、交流及評價增加活動經驗.引導學生利用分類的方法將結論分類、分離基本圖形、關聯基本幾何模型等，能夠促進學生合理構建自己的知識網，豐富運用數學知識的方式方法，從而提高分析和解決問題的能力，發展學生數學素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S]北京：北京師范大學出版社，2022.