“買二送一”法破解三個共點力作用下的動態平衡問題

摘 要：動態平衡是物理學中的常見問題，特別是物體在共點力作用下的動態平衡問題，是歷年高考中重點考查的內容.通過總結歸納幾種常考類型，給出對應的解題方法，供廣大物理教師參考.

關鍵詞：高中物理；動態平衡；解題技巧

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0111-03

動態平衡是指在特定的情境中通過改變某些物理量，使物體的狀態發生緩慢變化，而在整個過程中又始終處于一系列的平衡狀態之中[1].動態平衡問題在高中階段種類繁多，尤其是在共點力作用下的動態平衡問題在高考中頻頻出現.針對不同類型的題目，解決方法也有所不同，學生在解題時往往不知道選取哪種方法，從而陷入困惑之中.筆者通過教學實踐，總結出“買二送一”的方法，即“買”兩個三角形（矢量三角形和相似三角形），“送”一個圓形（輔助圓法），幫助學生記憶與選擇，從而快速準確地解決問題.

1 矢量三角形法

當所選取的研究對象受到三個共點力的作用而保持平衡時，可以用帶有箭頭的有向線段來表示這三個力.由于該物體時刻保持平衡狀態，因此將這三個力的矢量箭頭首尾相接，構成一個封閉的三角形.這個三角形稱為力的矢量三角形.該方法適用于一個力恒定，即大小、方向都不變，第二個力方向不變、大小在變，第三個力大小、方向都在變的情況.

例1 將一個光滑的斜面體固定在水平地面上，傾角為θ.斜面上有一個光滑擋板A可以繞O點轉動，一質量為m的小球B被擋板擋住.開始時擋板A豎直放置，如圖1所示.現將擋板繞O點逆時針緩慢旋轉至水平位置，關于小球B的受力情況下列描述正確的是（" ）.

A. 擋板對小球的支持力逐漸減小

B. 擋板對小球的支持力逐漸增大

C. 斜面對小球的支持力逐漸減小

D. 斜面對小球的支持力逐漸增大

解析 根據已知條件進行受力分析，小球所受重力為mg，木板對小球的支持力始終垂直于木板為FN1，斜面對小球的支持力始終垂直于斜面為FN2，畫出初始狀態時小球受力的封閉三角形.由于擋板是緩慢轉動，因此小球時時刻刻都處于平衡狀態，三個力構成的矢量三角形始終保持封閉.轉動過程中擋板對小球的支持力FN1與豎直方向的夾角逐漸變小，而斜面對小球的支持力FN2始終保持與斜面垂直，方向不變.根據圖2所示矢量三角形的變化可以看出，FN1先變小后變大，FN2一直變小.故C項正確.

評析 “矢量三角形法”在解決動態平衡問題中最為常見.運用該方法處理的題目具有的一個典型特征：可以在三個力中找到一個始終沿某一方向作用的力，即力的方向不變但大小未知.這個力通常情況下是某個接觸面給物體的彈力.在選定方法以后，最關鍵的是要畫出物體初始狀態時受力的矢量三角形，根據方向改變的那個力來判斷到底是矢量三角形的哪條邊發生了改變，在變化的過程中始終保持矢量三角形是封閉的，最后結合封閉三角形中邊長的長度判斷力的大小變化.

2 相似三角形法

相似三角形法是指在題目情境中可以找到一個幾何三角形與研究對象受力的矢量三角形相似.根據幾何三角形形狀的變化情況，判斷出矢量三角形中各力的變化.此方法解決的題目典型特征是一個力大小、方向都不變，另外兩個力大小、方向都在變的情況.核心點是在題圖中能找到一個幾何三角形與矢量三角形相似.

例2 如圖3所示，豎直平面內有一輕桿OP，重力可忽略.O點為輕桿的一端固定在豎直面內，輕桿可以繞O點轉動.另一端P點處用輕繩懸掛一物塊B，另一根輕繩一端系住P點，另一端繞過光滑定滑輪A用外力拉動.在外力F緩慢作用下輕桿OP逐漸變為豎直方向.這一過程中力F（" ）.

A.逐漸變大"" B.逐漸變小

C.恒定不變D.先變大后變小

解析 以輕桿的P端為研究對象進行受力分析，物塊B對P端的拉力大小始終為mg，方向豎直向下，P端還受到沿繩方向的拉力F和沿桿方向的支持力FN.將P端受力的矢量三角形畫出，觀察到它與圖中△OAP始終相似，如圖4所示.在輕桿順時針轉動到豎直的過程中，OA的長度不變，所對應的力mg大小不變；輕桿OP的長度不變，對應FN大小不變；邊長AP變短，對應的力F變小，故B項正確.

評析 “相似三角形法”是一種數理結合的方法，要求學生掌握一定的數學幾何知識.利用該方法的解題要點是在題圖中找到與矢量三角形相似的幾何三角形，這就要求學生具備一定的觀察能力，如果不能直接看出，可以適當地做輔助線幫助尋找.一旦兩個三角形對應起來，題目便迎刃而解了.

3 輔助圓法

在解決動態平衡問題時還會遇到一種特殊的類型：物體所受一個力大小、方向都不變，而另外兩個力的大小、方向都在變，但是這兩個力的夾角不變.這里就需要采取一種特殊的方法——輔助圓法.所謂輔助圓就是指三個力構成的矢量三角形的外接圓.具體做法為：將恒定的力作為圓固定的一條弦，長度不變；另外兩個力大小、方向都在變，但由于同弦所對圓周角相等，因此滿足了另外兩個力夾角不變的條件.在動態變化的過程中，該圓始終為矢量三角形的外接圓，最后根據矢量三角形邊長的變化來判斷力大小的變化.

例3 如圖5所示為某工地上的自動卸貨車作業的過程.卸貨時車廂被緩慢頂起，貨物與車廂保持相對靜止，整個過程中卸貨車始終保持靜止在地面上.當車廂傾斜到一定程度使得貨物剛好滑落時，下列說法正確的是（" ）.A.貨物受到車廂的摩擦力一直增大

B.貨物受到車廂的摩擦力先增大后減小

C.貨物受到車廂的支持力一直減小

D.貨物受到車廂的支持力先減小后增大

解析 重力的大小、方向都不變，且觀察到在θ角逐漸變大的過程中，盡管支持力與摩擦力的方向時刻在變，但兩個力始終相互垂直，夾角為90°.在圓中只有直徑所對的圓周角為90°，因此可以將表示重力的矢量作為圓的直徑.這樣表示力的三個矢量就構成了一個圓的內接三角形.如圖6所示，隨著θ角變大，摩擦力一直增大，支持力一直減小.故選A、C項.

例4 如圖7，輕繩一端O固定在豎直平面內，在繩上取一點M為結點，并在此結點處系一物體，輕繩的另一端N用手提起.OM段保持豎直，OM與MN之間的夾角為α（αgt;π2）.現將物體向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變[2].在OM由豎直被拉到水平的過程中（" ）.

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先減小后增大

解析 筆者發現不少資料將這道題歸為“拉密定理法”來處理.其實這道題仍然可以用“輔助圓法”來解決.首先選取節點M為研究對象，受到三個力的作用且滿足動態平衡條件.觀察到點M受到的拉力等于物體的重力，其大小、方向均不變，而另外兩個力TOM與TMN雖然方向都在變，但是兩個力的夾角為α保持不變，滿足“輔助圓法”的應用條件.

如圖8所示，將代表重力的矢量線段作為圓的一條弦，固定不動.OM上的拉力和MN上的拉力作為另外兩條邊.作出矢量三角形的外接圓即為輔助圓，在OM由豎直被拉到水平的過程中，MN上的拉力一直增大，OM上的拉力先增大后減小，故A項正確.

評析 “輔助圓法”容易被學生忽視，其實用這種方法來解決的題目也具有顯著特征，即兩個力大小方向都在變，但其夾角不變.例如，物體受到的摩擦力與支持力就具有這個典型特征.在畫輔助圓時應注意，若兩個變力的夾角恒定為90°，則將大小方向均不變的那個力（通常是重力）作為直徑；若兩個變力之間的夾角不是直角，則將恒力作為一條非直徑的弦來處理.此外，在動態變化過程中應注意題目里的限制條件，根據輔助圓里三角形的變化確定力的正確變化范圍.

4 結束語

綜上所述，三種方法各有特點，在審題時需要根據題目特征快速判斷解題方法，牢記“買二送一”，選擇對應的解題方法，方可以不變應萬變，快速準確地解決三個共點力下的動態平衡問題.

參考文獻：

［1］熊高云.秒解“動態平衡問題”的技巧[J].數理化解題研究，2022（25）：110-112.

［2］ 王啟平.對高考物理中有關動態平衡問題的探討[J].物理教學探討，2018，36（02）：44-45.

［責任編輯：李 璟］