一道求線段之比的最值題的解法探究

求線段之比的最值問題是初中數學中的常見題型，一般可以通過旋轉、放縮、構造一線三垂直、構造阿氏圓等方法實現線段的轉化，也可以直接利用托勒密定理或代數法.下面以一道典型的題目為例來探究這類問題的解題方法.

1 題目呈現

2 解題方法

2.1 利用旋轉放縮構造相似三角形

點評：通過旋轉放縮將其中一條線段的長度轉化為定值，從而將求線段之比的最值問題轉化為求單線段長度的最值問題.

2.2 利用“一線三垂直”模型，構造相似直角三角形

點評：通過利用“一線三垂直”模型，構造相似直角三角形，再利用折線段大于直線段求最值.

2.3 構造阿氏圓，利用比值與阿氏圓的半徑關系

點評：構造阿氏圓，將求線段之比的最值轉化為判斷阿氏圓半徑的最值，再根據圖形判斷半徑的最值.

2.4 利用旋轉90°構造直角三角形

點評：求線段之比的最值需要尋找兩條線段之間的關系，構造直角三角形，借助直角三角形斜邊上的中線尋找兩條線段之間的關系.

2.5 利用等線段共點構造自身相似三角形

點評：構造自身相似三角形，將其中一條線段的長度轉化為定值，問題轉化為求單線段的最值.

2.6 構造四邊形，利用托勒密定理

2.7 代數法

點評：引進變量，將比值表示為變量的函數，將求線段之比的最值轉化為方程有實數根，用代數方法解決幾何問題.

通過以上對一道題的多種解法的探究，能夠豐富學生的知識結構，培養學生運用轉化、數形結合、函數與方程等數學思想方法解題的能力，加深學生對解題規律的理解和掌握，有利于培養學生的學習興趣，提高學生的解題能力.