一道中考數學題多種解法的探究及思考

摘要：“一題多解”是提升學生“四能”的重要途徑.以一道山西中考數學題為例，詳細探究了七種不同解法的自然生成過程，把握數學解題的本質，實現從“一題多種解法”到“多解歸為一法”的轉化，提升數學思維品質和實現數學核心素養的發展.

關鍵詞：中考數學題；一題多解；分割補形；化歸思想

《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》中明確提出：試題命制要求提高探究性、開放性、綜合性試題的比例，注重考查思維過程、創新意識和分析問題、解決問題的能力，這對學生的綜合素質提出了更高的要求.“一題多解”不僅能夠深化學生對數學基礎知識和基本技能的認識，更有助于數學思維品質的提升和數學核心素養的培育，是發展學生綜合素質的有效途徑.本文中以一道中考數學題為例，以問題驅動為導引，探究各種解法自然生成的過程.

1 題目呈現與分析

題目圖1是一個高為4 cm的無蓋的五棱柱盒子（直棱柱），圖2是其底面，在五邊形ABCDE中，BC=12 cm，AB=DC=6 cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°.試判斷圖2中AE與DE的數量關系，并加以證明.

本題是山西省2015年中考數學第23題的任務二的第（1）題，我們以該題為例探究其多種解法自然生成的過程.此題以五邊形為背景來判斷線段間的數量關系，雖“形”簡單明了，但“神”豐富深遠，需要學生通過觀察、猜測、推理與論證等尋求解決問題的方法[1]，而且所給的條件（BC=12 cm）在解決此問題中不是必要條件，使得該問題解決的思路多元化，極具開放性，對學生分析、解決問題和推理論證等綜合能力提出了挑戰.

分析：根據已有的解題經驗，往往直接連接EB和EC（如圖3），使得要證的AE和DE分別位于Rt△ABE和Rt△DCE中，然后證明這兩個三角形全等.梳理Rt△ABE和Rt△DCE全等的條件，已知AB=CD，因此，只需要證明EB=EC或者一組角對應相等即可.通過多次嘗試發現，要證明EB=EC，則在△EBC中需要證明∠EBC=∠ECB，即證∠EBA=∠ECD.這樣從要證的條件尋找需要證明的條件，最后追溯到要證的條件，導致了循環論證，解題思路受阻，解題方法看似簡單卻不易解決問題.

2 思路分析及解法

思路1：依據線段間的位置關系觀察圖形，發現AE與DE具有相同的端點，連接AD，使得這兩條線段在同一個三角形中，問題就由證明線段相等轉化為證明角相等.

解法1：如圖4，連接AD，AC，BD，根據全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABC≌△DCB，從而AC=DB.

根據全等三角形的判定定理（SSS），可以得到△ABD≌△DCA，從而∠DAB=∠ADC.

又已知∠EAB=∠EDC=90°，由等量減等量其差相等，得∠EAD=∠EDA.

根據同一三角形中等角對等邊，可知AE=DE.

是否還有更加簡潔且迂回較少的解答？是否可以由其他不同的方式推導出這個結果[2]？

思路2：關注線段間的數量關系，發現解法1中沒有涉及具體線段的長度關系，但明顯能發現此題中存在的線段長度關系，如BC=2AB=2DC.于是自然想到取BC的中點E′，連接AE′，DE′，從而問題轉化為與解法1相同的情況.

解法2：如圖5，取BC的中點E′，連接AE′，DE′，AD.根據E′是BC中點，BC=12 cm，AB=DC=6 cm，可得BE′=E′C=AB=DC，所以△ABE′和△DCE′為等腰三角形，從而∠BAE′=∠AE′B=∠DE′C=∠E′DC.

根據全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABE′≌△DCE′，從而AE′=DE′.

根據同一三角形中等邊對等角，可知∠DAE′=∠ADE′.又∠EAB=∠EDC=90°，由等量減等量其差相等，得∠EAD=∠EDA，根據同一三角形中等角對等邊，可知AE=DE.

與解法1相比，證明步驟減少了，證明過程更加簡潔明了.但輔助線添設的還是較多，能否減少輔助線呢？

思路3：構造平行四邊形.由上述兩種解法得到啟示，要證AE=DE，實質是將二者放在同一個特殊圖形內研究，除了三角形，還可以將它們放在同一個四邊形內.由解法2發現，取BC中點E′，連接AE′，DE′后，問題就由證明線段相等轉化為證明四邊形AEDE′是平行四邊形.

解法3：如圖6，取BC的中點E′，連接AE′，DE′.根據全等三角形的判定定理（SAS），可以得到△ABE′≌△DCE′，從而AE′=DE′，∠BE′A=∠CE′D.

根據題中所給條件，可得∠BAE′=∠AE′B=∠DE′C=∠E′DC=30°，從而∠AE′D=120°.

又已知∠EAB=∠EDC=90°，所以∠EAE′=∠EDE′=60°，進而∠E=120°.

根據“同旁內角互補，兩直線平行”，可得AE∥DE′，AE′∥ED，從而四邊形AEDE′是平行四邊形，進而AE=DE′，DE=DE′，所以AE=DE.

解法3克服了分割成三角形的思維定勢，拓展了證明的思路，直觀上減少了輔助線的數量.下面我們繼續探究，是否添加一條輔助線即可？

思路4：利用補形的方法構造特殊圖形.進一步反思解法1～3發現，證明兩條線段相等實質是把已有的圖形分割成基本圖形去研究.由此滋生出補形的想法，進而將已知圖形補形成不同的基本幾何圖形，從而簡化證明過程.通過解法1和2得到啟示，連接AD，要證明結論，

只需說明AD∥BC即可，根據已有的條件無法直接證明.而要證AD∥BC，自然會想到平行線的判定定理（內錯角相等，兩直線平行）.觀察圖7發現，∠ABA′=∠DCD′=60°，AB=CD.因此延長BC，構造直Rt△AA′B和Rt△DCD′，問題可以得到解決.

解法4：如圖7，連接AD，過點A作AA′⊥BC，交CB的延長線于點A′，過點D作DD′⊥BC，交BC的延長線于點D′.由∠AA′B=∠DD′C=90°，可得AA′∥DD′.又∠ABA′=∠DCD′=60°，AB=CD，所以△AA′B≌△DD′C，從而AA′=DD′.

根據平行四邊形的判定定理可得ADD′A′為平行四邊形，則AD∥BC.繼而得到∠BAD=∠CDA=60°，從而∠EAD=∠EDA，則AE=DE.

解法5：如圖8，兩邊延長線段BC，過點A作AA′⊥A′C于點A′，過點D作DD′⊥BD′于點D′.分別延長A′A，D′D，過點E作A′D′的平行線，分別交A′A，D′D的延長線于點于A″，D″.

根據題目中的已知條件可得到A″A′⊥A′D′，D′D″⊥A′D′，即∠A′=∠D′=90°且A′A″∥D′D″，又A′D′∥A″D″，從而四邊形A′A″D″D′為矩形，進而A″A′=D″D′，∠A″=∠D″=90°.

易知AA′=DD′，從而A″A=D″D.又∠A″AE=∠D″DE=60°，根據全等三角形判定定理（ASA），可得Rt△EA″A≌Rt△ED″D，從而AE=DE.

解法4和解法5實質上是在原有五邊形的基礎上對圖形進行補形，構造了特殊的圖形——矩形.因此自然想到是否還有其他的補形方法？

思路5：關注特殊角進行補形.根據解法4利用∠ABC和∠DCB的外角等于60°這個特殊角，將BC邊向兩邊延長，使五邊形補形為△EMN.

解法6：如圖9所示，延長EA，[JP]ED分別交直線BC于點M，N.

結合題目中的已知條件，可得∠ABM=∠DCN=60°，則∠M=∠N=30°.

根據同一三角形中等角對等邊，可得EM=EN.

根據全等三角形的判定定理（AAS），可以得到△AMB≌△DNC，從而AM=DN.

由等量減等量其差相等，得到AE=DE.

將五邊形補形構造成等腰三角形，解題步驟簡單明了，極大地提高了解題速度.進一步思考，∠ABC和∠DCB的外角都有兩個，是否可以利用另一個外角來構造圖形呢？

解法7：如圖10，延長AB，DC交于點P，連接EP.

顯然△PBC是等邊三角形，從而可得BP+AB=CP+CD，即AP=DP.

根據直角三角形全等的判定定理（HL），可得Rt△EAP≌Rt△EDP，所以AE=DE.

3 思考

“一題多解”是從不同角度分析問題，根據所給信息，應用已有的數學知識、經驗，通過觀察、推測和想象，沿著不同方向思考、重組已有信息，獲得多種解法的過程，對培養學生的思維有顯著效果[3].上述探求七種解法的過程中，以“問題”為導引，層層推進，克服思維定勢，逐漸由分割過渡到補形，掌握化歸思想的實質，從而實現從“一題多種解法”到“多解歸為一法”的轉化，提高發現、提出、分析和解決問題的能力.

進一步反思上述七種解法，以解法6和7為最優解法，但學生不易想到，主要原因是學生沒有補形的意識，以及缺少必要的思維訓練，導致思維固化在圖形分割，尤其傾向于分割為三角形.而初中數學教學中相關的訓練素材并不少，如人教版初中數學八年級上冊“探索多邊形的內角和”這節課.縱觀課堂教學發現：在探究多邊形內角和時，多數教師引導學生把多邊形分成若干個三角形，強調分割成三角形的不同方法，而忽視了補形方法的滲透，導致學生喪失了克服思維定勢和深刻認識化歸思想的大好機會[4]，這也正是學生在解題過程中出現問題的結癥所在.同時，隨著近年來“一題一課”活動的興起[5]，以題促教，從解法研究逐漸走向教學研究為我們思考課堂教學提供了新的視角.

參考文獻：

[1]李萍，蘇耀忠.側重學科素養 體現開放探索——2015年山西省中考試題變化與特點分析[J].山西教育（管理），2015（9）：28-30.

[2]波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]程華.從“一題多解”審思解題教學的思維培養[J].數學通報，2020，59（8）：50-54.

[4]王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發式教學的數學思想教學設計——以“化歸思想”為例[J].教學與管理，2015（1）：57-59.

[5]張海營.解題研究：從“一題多解”到“多解歸一”[J].中學數學教學參考，2021（30）：50-51.