聚焦倍長中線模型的應用

中線是三角形的重要線段之一，題中若出現三角形的中線或線段中點，常使用“倍長中線法”來添加輔助線.所謂倍長中線法就是將三角形的中線延長一倍，從而構造全等三角形，以便能利用全等三角形的性質去解決問題.延長中線后，一般利用對頂角相等得到等角，利用中線及作輔助線得到等邊，完成“SAS”型全等三角形的構造［1］.以下結合幾則典例作一分析探討！

1 在單一三角形中

單一三角形中的“倍長中線”是最常見的一種情況，也是基本的圖形之一.從這里出發，將逐一探究在其他復雜圖形中，如何遇中線或中點就延長中線構造全等三角形.

2 在矩形中

在矩形中，根據矩形的性質可得對邊平行且相等，如果在平行線之間的線段上有中點，就要延長另一條夾在平行線之間的線段，從而構成“8字型”全等三角形.

評注：本題構造了“8字型”全等三角形之后，要由線段中點得到垂直關系，應聯系等腰三角形“三條合一”的性質，再構造等腰三角形，從而由等腰三角形的性質得到垂直關系.

3 在平行四邊形中

在平行四邊形中，根據平行四邊形的性質可得對邊平行且相等，所以當已知平行四邊形一邊中點時，可以延長夾在另一組對邊之間的線段，使之形成“8字型”全等三角形.

評注：從例2、例3可以看出，雖然圖形變了，需證明的結論變了，但添加輔助線的方法不變，即延長構造“8字型”全等三角形，我們可以從中提取如圖7所示的基本圖形.

4 在一組相似的等腰直角三角形中

在一組相似的等腰直角三角形中，如果有線段的中點，也可以倍長中線，從而構造“8字型”全等三角形.這里雖然沒有平行，但是由全等三角形得到等角后也可得到平行線，從而又一次出現從例3中提取的基本圖形.

評注：本題的三條輔助線各有作用，延長FG與連接EG是根據“倍長中線法”得到的，目的在于構造“8字型”全等三角形，而連DG，BD是為了構造等腰三角形.從這里我們可以看出等腰三角形“三線合一”在證明相等線段與垂直中的價值.

教而不研則淺，研而不教則空，本文摘取教學中的一類試題，由淺入深地論證了如何使用“倍長中線法”模型解決與線段中點有關的問題，有利于拓寬學生思維，發展學生的核心素養［2］.

參考文獻：

［1］孫瑞.巧用中點解決幾何難題［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2018（16）：33-36，41.

［2］李剛.“技巧”變“通法”——“倍長中線”法對三角形兩個性質及其外延的探究［J］.初中數學教與學，2023（12）：36-39.