基于三構三備的“平方差公式”教學案例分析

“三構三備”在初中數學教學中，強調了知識、能力與情感三方面的綜合構建.知識構建要求教師設計教學活動，使學生通過探究和實踐深入理解數學概念，形成系統的知識體系；能力構建則聚焦于培養學生的邏輯思維、問題解決能力和創新能力，促進其獨立思考和自主學習的能力；情感構建則關注學生的學習態度和價值觀，通過創造積極的學習環境，激發學生的學習興趣和自信心.在備課過程中，教師需將這三方面有機結合，制定相應的教學策略，確保學生在知識掌握、能力提升和情感認同上全面發展，從而實現真正的素質教育.

1 創設生活情境，探索并發現平方差公式

案例一假設小明和小紅分別擁有一個正方形，小明的正方形的面積是a2，小紅的正方形的面積是b2（如圖1）.如果將這兩個正方形疊起來，再把不重合的部分通過剪切拼在一起，使其變成一個新的長方形，那么這個長方形的面積是多少呢？

首先，教師通過展示問題，引導學生關注兩個正方形面積（分別為a²和b²）的圖形表示，提出問題：

“如果我們將這兩個正方形疊起來，再把不重合的部分通過剪切拼在一起，使其變成一個新的長方形，

這個長方形的面積將是多少？”

教師鼓勵學生獨立思考并分享自己的想法，激發他們的探究興趣.在接下來的活動中，教師組織學生分組，給每組提供紙片和畫筆，

讓學生親自繪制兩個正方形，并嘗試將它們拼接成一個長方形（如圖2）.通過動手操作，學生不僅能夠直觀地理解正方形的面積，還能思考長方形的長和寬應該如何確定.

在討論過程中，教師巡視，傾聽學生的探討，并引導他們注意合并后的長方形的長和寬的關系.教師可以提出引導性問題，如：“合并后長方形的長和寬分別是多少？你們是如何得出這個結論的？”通過這樣的引導，學生逐漸認識到長方形的面積可以表示為（a+b）（a-b）.接著，教師引導學生總結并驗證這一公式，引導他們推導出平方差公式a²-b²=（a+b）5（a-b），并強調這一公式的實際意義與應用.

為了鞏固知識，教師設計了一些實際問題，要求學生利用平方差公式解決.例如，給出不同邊長的正方形疊在一起后不重合部分的面積計算.學生在小組中討論并展示解題過程，教師對每組的思路給予反饋，進一步強化他們的理解.在教學的最后，教師組織全班進行反思，讓學生分享學習過程中的收獲和感受，增強他們對數學的興趣和情感認同.

通過這一整體化的教學過程，學生不僅掌握了平方差公式的推導過程，還在動手操作和小組討論中提升了邏輯思維能力與團隊合作精神，真正體現了“三構三備”理念下的有效教學.整個教學過程貫穿了知識構建、能力培養與情感認同，使學生在真實的情境中深刻理解和運用數學知識.

2 以提高題為例，鞏固平方差公式的應用

案例二利用平方差公式，將多項式4x²-9y²進行因式分解.

創設目的：通過提高題的形式，將平方差公式與因式分解相結合（如圖3），考查學生的綜合應用能力，并提高學生的思維能力和解題技巧[1].

筆者將通過提高題幫助學生鞏固平方差公式的應用，具體分析如何用平方差公式對多項式4x²-9y²進行因式分解.首先，教師導入主題，提醒學生回顧平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b），并強調在因式分解中如何運用這一公式.教師接著提出問題：“我們能否將多項式4x²-9y²進行因式分解？”鼓勵學生獨立思考，并在黑板上寫出他們的想法.

隨后，教師組織學生分組討論，要求他們思考如何將這個多項式轉化為平方差形式.學生經過討論如何識別平方數，發現4x²可以表示為（2x）²，9y²可以表示為（3y）².在小組討論中，教師巡視并指導，關注學生的思維過程.適時提問.如：“你們如何確認這些平方數的？”這樣的引導可以幫助學生更深入地理解因式分解的關鍵.

當學生討論出4x²-9y²=（2x）²-（3y）²后，教師引導他們應用平方差公式，得出因式分解結果（2x-3y）（2x+3y）.教師在此過程中強調每一步的邏輯關系，確保學生理解每個環節的重要性.

接下來，教師設計了幾道類似的練習題，讓學生在小組中解決，鞏固對平方差公式的理解和應用.每組學生可以選擇不同的多項式進行因式分解，教師巡視并提供即時反饋，鼓勵學生分享他們的解題思路和方法.

最后，教師組織全班討論，詢問學生在解題過程中的收獲與困惑，促進他們對解題技巧的反思.通過這一過程，學生不僅鞏固了平方差公式的應用，還提高了綜合運用能力和思維能力，進一步培養了團隊合作精神和自主學習的意識.

通過這一整體化的教學過程，教師與學生之間形成了良好的互動[2]，學生在探索中掌握了因式分解的技巧，真正體現了“三構三備”理念下的有效教學，促使學生在知識、能力和情感上全面發展.

3 根據教材創新題目，拓展平方差公式的應用

案例三王師傅家有一個長方形的花園，花園的長為（a+b）m，寬為（a-b）m.如果王師傅將花園的長度和寬度都增加2 m，擴大后的花園面積增加了多少？

創設目的：根據教材創新題目，將平方差公式應用到實際生活中，通過解決實際問題來拓展平方差公式的應用，同時培養學生的創新思維.

在基于“三構三備”理念的教學過程中，我們將通過王師傅的花園案例，拓展平方差公式的應用.首先，教師介紹王師傅家花園的情況，明確花園的長度為（a+b）m，寬度為（a-b）m.教師問：“同學們，王師傅的花園原來的面積是多少？”通過提問，引導學生主動思考.學生可能回答使用乘法，教師進一步鼓勵他們想象這個長方形的實際情況，讓學生討論在實際生活中如何計算面積，鼓勵他們表達想法.

接下來，教師引導學生計算原面積.教師可以問：“如果我們將這個長方形的長和寬相乘，得到什么？”學生在討論中得出原面積的表達式.此時，教師注意引導學生對長方形面積的理解，強調面積的實際意義而不是直接給出公式，鼓勵他們在小組內分享思路.

在確認原面積后，教師引入新問題：“如果王師傅將花園的長度和寬度都增加2 m，大家覺得新的面積如何計算？”這時，教師可以讓學生通過繪圖（如圖4），

手動增加長和寬的數值，以可視化的方式幫助他們理解變化.教師巡視指導，詢問學生新長方形的長和寬分別為多少，引導他們思考如何計算新的面積.

學生在小組中討論，教師鼓勵他們交流各自的計算過程，特別是如何將增加后的長度（a+b+2）和寬度（a-b+2）結合起來.教師可以詢問：“你們認為這個新長方形的面積比原來的大了多少？”引導學生推導出新面積后，再計算面積的增量.

當學生在討論中得出新面積的表達式時，教師再一次強調面積變化的實際意義，引導學生關注面積增加的數值和實際情況之間的聯系.教師可以問：“你們覺得面積增加了多少呢？我們如何得到這個結果？”通過對話，引導學生總結和反思這一過程.

最后，教師組織全班討論，鼓勵學生分享在解決這個實際問題過程中的發現與收獲，激發他們的創新思維.可以提問：“哪位同學能想到與這個問題類似的其他情境？”這樣可以幫助學生拓展思維，發現數學在生活中的更多應用.

通過這一整體化的教學過程，教師與學生之間形成了良好的互動，學生在實際情境中理解和掌握了平方差公式的應用，提升了問題解決能力與創新思維，真正體現了“三構三備”理念下的有效教學.

參考文獻：

[1]林佳佳.核心素養視角下的初中數學公式教學——以“平方差公式”為例[J].初中數學教與學，2021（4）：31-33.

[2]蒲大勇.初中數學公式教學的基本過程——以“平方差公式”教學為例[J].數學教學通訊，2023（5）：14-18.