“從否認到確認”的教學實踐

【摘 要】“面積單位間的進率”是人教版數學三年級下冊“面積”單元的教學內容。其內容設計讓學生對數學事實認識清晰，且認識過程簡單明了，但卻避開了學生可能出現的錯誤。從兒童立場角度，“否認”錯誤是學習中非常重要的認知活動，一定要讓學生經歷在不同可能性中進行比較的過程，讓學生經歷從否認到承認再到確認的過程，從而學會“用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達”。

【關鍵詞】兒童立場 認知邏輯 從否認到確認

“面積單位間的進率”一課的教學以面積含義、常用面積單位的認識，長方形、正方形面積計算為基礎。各個版本的數學教材都明確呈現了其探究路徑和方法，幫助學生在直觀表征的支持下獲得結論。教材這樣編排符合“從已知到未知”的學科邏輯，回答并解釋了1平方分米是多少平方厘米的問題。筆者認為，清楚地指明研究方法會擠壓學生的自主探究空間，讓學生的前期理解無法真實呈現，進而缺失改正錯誤認知的機會。

一、從現象、現狀看問題

“面積單位間的進率”在教學實踐中屬數學事實易達成類型，常見的教學方式有兩種。其一，按教材呈現的學習任務推進學習，通過計算“邊長為1分米的正方形面積是多少”或“用1平方厘米的小正方形紙片鋪1平方分米的大正方形，要用多少張小正方形紙片”，得出1平方分米=100平方厘米。其二，以“猜想—驗證”的教學模式展開。先猜想，再提供1平方分米和若干個1平方厘米的小正方形學具，在拼擺、推理等活動的支撐下自主探究，通過交流討論獲得結論，明確1平方分米=100平方厘米。

按如上第一種方式展開教學，學生的學習過程會很順暢，他們的認知基本不會出現偏差。在學習任務和教師的引導下，學生能夠清楚地獲知結果。按第二種“猜想—驗證”模式展開教學，學生有較多的自主思考空間。通過交流討論，思維清晰的學生會借助拼擺、計算等方式驗證自己的想法并得出結論。如上兩種教學形式，都能讓學生獲知本節課的數學結論，但在之后的練習中，會有學生出現面積單位與長度單位間進率混淆的情況，為什么會出現這樣的情況？

尋其緣由，還要回到學生學習的差異上。第一種，部分學生自身分析思考能力較強，對概念的理解深入、清晰，具有關聯拓展的能力及關聯比較的思維習慣，這些學生基本無須教師引導辨析，就可以清楚區分并扎實掌握。第二種，部分學生分析比較意識不強，但記憶力較好。這些學生雖然沒想明白他人講過的內容，但能記住，其中也分記住推導過程的和只記住結論的，記住推導過程的忘了結論可以再推導，只記住結論的則就是忘了。一旦忘記，遺留在自己頭腦里的錯誤想法就會再次出現而導致錯誤。第三種，分析比較意識淡薄且記憶力也不太好的學生，留存在這些學生頭腦里的更多的是錯誤想法和錯誤邏輯。

不同類型的學生會有各自不同的問題，課堂要立足于關注每個學生，讓每個學生都經歷活動過程。看似順利的課堂，往往都不能做到讓每個學生都受到關注、讓每個學生都有活動、讓每個學生都有機會。

二、從否認到承認再到確認

新的學習總是以原有的學習為基礎，原有的學習可能促進也可能干擾后續學習。學習是人們把現在的感知同過去的有關知識、經驗聯系起來，經過思維加工，從而理解或掌握知識。這種新舊知識的聯系是通過思維活動實現的。學習過程中的思維活動分為兩步：第一步，把新知與舊知都聯系起來，每一次新的思維活動都從已有思維材料、思維方法的積累開始；第二步，進行思維的加工。而學生在進行第二步思維的加工過程中會出現錯誤。

之前學習的如長度單位間的進率等知識，會對學生在探究面積單位間的進率時產生干擾，導致負遷移。如在開課伊始的猜想活動中，學生出現如下想法（表1）。

如果了解認知規律，知道語言有順應替換特點，就會理解面積單位間進率是10這一錯誤猜想。如一個兩歲多的孩子會數1～10后，繼續數11～20，數11～19一點問題也沒有，在數到20的時候他會說“十十”；同樣在十個十個地數數時，也會出現同樣的情況。這樣的例子還有很多，在學生的學習中總會出現，也都屬于簡單的語言替換和學習的負遷移現象。不能用數學的思維去思考就會使這樣的負遷移異常穩定，且不能被輕易打破。正如猜想后學生在自主驗證活動中表現出的問題，學生不能理性思考，仍陷在自己的錯誤邏輯中，甚至用文字、圖形及負遷移的推理去驗證自己的錯誤猜想（表2）。

從以上學生作品可知，長度單位間進率給學生造成了嚴重的負遷移，學生不能以面積概念為起始進行理性驗證；還有學生因混淆周長和面積概念而產生錯誤。這些錯誤都說明學生在某個知識點上存有疑問，如果不解決，這會成為他們后續學習的障礙。

在面對多種猜想的情況下，想確定某個結論是正確的，其內在的思考邏輯不是確認其中之一就可以同時否定其他選項，因為事情的結果并不都具有唯一性。因此，當面對學生的多種猜想時，教師需要關注“否認”，只有讓學生在否認的基礎上，認清自己的問題，通過交流糾正自己頭腦中的錯誤想法并獲得最終的結論，方可獲得毫不猶豫的“確認”。

基于如上認識，為學生搭建更充足的學習空間是很有必要的，可以使學生有機會經歷從否認到承認，最終到確認的過程，從而支持學生不僅獲得面積單位間的進率知識，積累探究經驗，更重要的是促進學生嚴謹思維的形成。為了凸顯對思維的關注，教學時也要有與之匹配的設計。其一，明確提出引導性問題。如1平方分米是等于10平方厘米，還是等于100平方厘米？你否認了哪個結論？又確認了哪個結論？請你想辦法說明。其二，拓展自主驗證空間，只明確學習任務，不指定研究方法，不提供現成學具。如1平方分米等于多少平方厘米？請想辦法說明你的想法，并把你的想法表示出來。因為學習單上沒有為學生提供1平方分米的正方形圖紙（但可以為沒有想法的學生提供1平方分米的正方形圖紙和若干個1平方厘米的貼紙。如有需要，教師可提供學具支持）。如此，可看到學生呈現出的真實的學習過程。

在交流反饋環節，學生借圖說道：“10平方厘米表示10個邊長為1厘米的正方形，而1平方分米是邊長為1分米的正方形，10平方厘米只是那一行。所以1平方分米肯定不等于10平方厘米。有這樣的10行，應該是100平方厘米。”在課堂的總結反思環節，學生說：“通過今天的學習，我知道了1平方分米=100平方厘米，還知道了我在最開始時的想法為什么錯了。”學生的發言讓我們感受到“從否認到確認”這一學習經歷的可貴。

從否認到確認可以說是一個推理過程，從已知的事實或條件出發，通過邏輯或非邏輯的方法，推導出新的結論或結果。在不斷地否定和確定中，得出最終的結論，并堅信結論的正確性。

三、從育人、素養到教學

“從否認到確認”作為一種“如何知道”的認知方式，是把“是什么”視為認知對象，通過對多種可能性的比較和選擇，在確認“不是什么”的基礎上，確認“是什么”。基于這樣認知的教學模式立足于開放性的認知活動，學生借助已有知識及生活經驗可枚舉出不同的可能性，在多種的可能性中否認“是什么”，進而承認“應當是什么”，最終確認“一定是什么”。

“從否認到確認”的教學模式可廣泛應用于不同的內容。如圖1是從“否認到確認”的教學設計框架圖。

郜舒竹、李娟在《平行四邊形的面積：從否認到確認》一文中指出，數學課程與教學應融入“從否認到確認”的認知活動，讓數學學習成為在多種可能性中進行比較和篩選的過程，使“用數學的眼光看，用數學的思維想，用數學的語言說”的活動真實地發生，讓認知成為真正的“過程”。這使得每個學生都被關注，每個學生都有活動，每個學生都有機會。

以“從否認到確認”的教學模式展開教學，能夠聽到不同的聲音、不同的想法，像展開了一場小型的辯論賽，學生借助畫圖、數格子、推理、演算等方式對1平方分米等于100平方厘米的道理進行闡述，在直觀與抽象間不斷關聯，從而對知識有深刻的認識與理解，發展抽象思維，真正用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達。

數學是“利用數學教學，把數學課程內容作為載體，注重的是學生作為人的全面的發展”。可以說，教學過程更是育人的過程。“從否認到確認”的認知過程遵循“為知是什么，先知不是什么”的思維邏輯。強調否認是承認與確認的前提，對“是”的承認與確認需要經歷對“是”的否認。這樣的思考過程與演繹推理過程很相似，都是從一般性的前提出發，經過不斷推導，得出具體或個別結論的過程。這樣的思維方式在日常生活中普遍存在，一個人如果經常使用這樣的推理思維，能夠讓自己的思維更加嚴謹。因此，將這種思維邏輯應用于學生的認知過程與學習活動中，對學生認知能力的提升是十分有益的。

總之，數學課程與教學應當融入“從否認到確認”的認知活動，讓數學學習成為在多種可能性中進行比較和篩選的過程。教師要尊重學生原有認知，使每個學生都受到關注，讓每個學生都有活動且有機會，讓“用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達”真實落地。

【參考文獻】

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