一圖一專題：二次函數(shù)專題復習走向縱深的嘗試

二次函數(shù)是初中階段要求掌握的三大基本初等函數(shù)之一，在初中數(shù)學知識體系中具有舉足輕重的地位，蘊涵的知識和數(shù)學思想豐富，是高中進一步開展函數(shù)學習的基礎(chǔ)．筆者通過對“一圖”進行添枝加葉，讓二次函數(shù)專題復習走向縱深，帶動學生思維的發(fā)展．本文呈現(xiàn)專題的教學簡案，并給出教學反思，與更多的同行研討．

1 教學目標

（1）掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，學會運用不同的方法確定二次函數(shù)解析式，理解二次函數(shù)與一元二次方程的相互聯(lián)系；

（2）親歷二次函數(shù)圖象融合幾何圖形的研究過程，進一步提升觀察圖形、分析圖形的能力，體會數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法；

（3）體驗數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系，學會重構(gòu)二次函數(shù)解決問題．

2 重、難點分析

教學重點 將常見幾何圖形融入二次函數(shù)圖象中發(fā)現(xiàn)和解決問題．

教學難點重構(gòu)二次函數(shù)解決問題．

3 教學活動

題目引入如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為D（1，-4），與y軸相交于點C（0，-3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

問題1 求拋物線的解析式．

設(shè)計意圖 學會求二次函數(shù)解析式為解決二次函數(shù)綜合題奠定基礎(chǔ)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式有三種常見形式（一般式、頂點式、交點式），根據(jù)已知條件選擇合適的形式，本題已知頂點坐標，選用頂點式比較簡單．

師生活動 教師引領(lǐng)學生先回顧待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的基本步驟，列舉二次函數(shù)解析式常見的三種形式，知道一般式適合三點坐標、頂點式適合頂點坐標、交點式適合交點坐標的解題通法，再由學生獨立完成，教師簡單點評．

問題2 求A，B兩點的坐標．

設(shè)計意圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點特征是縱坐標等于0，即y=0，把y=0代入二次函數(shù)解析式得一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的解就是交點的橫坐標，把方程的解變成坐標的形式，用從特殊到一般的邏輯，以數(shù)形結(jié)合思想為指導，為圖象作為聯(lián)系函數(shù)和方程、不等式的橋梁奠定基礎(chǔ)，探究并理解一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系．

師生活動 學生觀察函數(shù)圖象，說出二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點坐標的特征，列出方程求解，教師進行個性化輔導．

問題3 在x軸上是否存在點K，使KC+KD最短？如果存在，求出點K的坐標；如果不存在，請說明理由．

變式 在x軸上是否存在點K，使ΔKCD的周長最小？如果存在，求出點K的坐標，并求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

設(shè)計意圖 將飲馬問題置于二次函數(shù)中，通過尋找對稱點，畫出所在直線，再用一次函數(shù)知識求出點的坐標，變式中還要構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段的長．

師生活動 教師與學生一起回顧飲馬問題，它就是“兩點之間線段最短”的實際應用，尋找函數(shù)圖象中與之關(guān)聯(lián)的兩個點及一條線，畫出圖形，再由學生獨立求直線的函數(shù)關(guān)系式及點K的坐標；變式題先給學生獨立思考5分鐘，找出它與問題3的聯(lián)系與區(qū)別，選一位學生分享解題思路．

問題4 如圖2，作直線BC，在直線BC下方的拋物線上找一點P，過點P作x軸的垂線，與直線BC相交于點Q，求線段PQ的最大長度．

變式 如圖2，作直線BC，在直線BC下方的拋物線上找一點P，使ΔPBC面積最大，求P點的坐標及ΔPBC面積的最大值．

設(shè)計意圖 將線段置于二次函數(shù)中，通過點的坐標構(gòu)造新的二次函數(shù)求最值，變式中將三角形置于二次函數(shù)中，通過“化斜為直”的方法分割三角形求面積的最大值．

師生活動教師稍作提示，假設(shè)P點橫坐標為t，讓學生把P，Q兩點的坐標表示出來，構(gòu)建新的二次函數(shù)求最值，教師再介紹“化斜為直”轉(zhuǎn)化思想，這里“斜”指的是與坐標軸不平行的直線（線段），而“直”指的是與坐標軸平行或垂直的直線（線段）．“化斜為直”轉(zhuǎn)化思想常用來解決函數(shù)綜合題中的線段長度、幾何圖形面積最值或點的存在性問題[1]．學生掌握好方法后小組合作探究變式題，派一個小組的代表展示成果．

問題5 如圖2，若點T在拋物線上，且∠TCB=45°，求點T的坐標．

變式 如圖2，若點T在拋物線上，且∠TCB=15°，求點T的坐標．

設(shè)計意圖 將特殊的角置于二次函數(shù)中，求角的另一邊所在直線與拋物線的交點坐標，變式中還用到了三角函數(shù)有關(guān)知識，通過分類討論得到角的另一邊的兩種情況．

師生活動先讓學生觀察ΔOBC的形狀，引導學生畫出直線CT，并求出T點的坐標；變式題利用小組內(nèi)組員異質(zhì)的特點，組員在合作研討時互幫互助，分享自己的想法和疑問，再通過小組合作，組員發(fā)揮各自的解決問題能力和創(chuàng)造力，在組內(nèi)合力解決問題．

問題6 如圖3，連接BC，BD，CD，試判定ΔBCD的形狀，請說明理由．

變式 ΔBCD與ΔCOA是否相似？請說明理由．

設(shè)計意圖 將三角形問題置于二次函數(shù)中，利用勾股定理及其逆定理求線段的長并判斷三角形的形狀，變式中出現(xiàn)了三角形相似問題，函數(shù)與幾何融合逐步走向縱深．

師生活動 教師先讓學生回顧判定直角三角形的方法，再計算ΔBCD三邊的長，判定出它的形狀；變式題讓學生獨立完成，教師簡單評講．

問題7 如圖4，在拋物線的對稱軸上是否存在點H，使ΔHAC是等腰三角形？如果存在，請求出點H的坐標；如果不存在，請說明理由．

設(shè)計意圖 將等腰三角形置于二次函數(shù)中，等腰三角形兩邊相等，利用勾股定理可表示線段長，再用分類討論與方程思想求解．在分析題目過程中教會學生學習的基本策略和方法，培養(yǎng)學生思維的敏捷性．

師生活動 學生動手操作容易畫出圖形，但學生不易想出計算方法，需要教師引導，最后的計算留給學生完成．

問題8 點M為x軸上的一個動點，點N為拋物線上的一個動點，使M，N，C，B構(gòu)成平行四邊形時，求點M的坐標．

設(shè)計意圖 將平行四邊形置于二次函數(shù)中，分類討論可能出現(xiàn)的情況，利用平行四邊形邊及對角線的性質(zhì)，通過平移的方法求點的坐標．要引導學生在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，逐步完善原有知識網(wǎng)絡(luò)，并進行有效遷移和應用．

師生活動 回顧平行四邊形的性質(zhì)，教師先分析其中的一種情況，剩余的情況由學生合作探究，教師協(xié)助各小組并進行個性化輔導，最后點評兩個小組的成果．

問題9 如圖6，點E是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），EF//BC交AC于點F，當ΔECF面積最大時，求動點E的坐標．

設(shè)計意圖 將幾何復合知識置于二次函數(shù)中，平行可得相似，利用相似三角形的面積方面的性質(zhì)重構(gòu)二次函數(shù)求解．通過動態(tài)探究，讓學生進一步感受到幾何圖形與函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系，增加學生思考的深度和廣度．

師生活動 教師沿著平行→相似→面積的思路，和學生合作思考，不斷尋找合適的解決問題思路，從尋找解決問題方法過程中鍛煉學生的創(chuàng)造性思維和能力，最后由學生對解法進行總結(jié)反思．

4 教學反思

4.1 把握學情，尋找關(guān)聯(lián)點

在教學過程中，深入了解學生的學情是至關(guān)重要的．只有準確分析學生的學業(yè)水平和學習需求，才能夠為他們提供更加有效的教學．因此，在備課之初，教師應該精準地了解所任教班級學生的實際情況，以便根據(jù)教學目標進行有針對性的教學設(shè)計．一圖一專題教學設(shè)計的核心思想，即要以學生為主體，以發(fā)展他們的數(shù)學思維為導向，根據(jù)不同學生的需求尋找關(guān)聯(lián)點．通過將瑣碎零散的知識點整合為一圖一專題的形式，以便可以使教學更加精于心、簡于形，避免無效勞動和重復勞動．這樣的教學設(shè)計不僅可以減輕學生的學業(yè)負擔，還可以幫助他們從“題海戰(zhàn)術(shù)”中跳出來，走向充滿張力、優(yōu)質(zhì)的高效課堂[1]．

本文結(jié)合二次函數(shù)特點，采用“一圖一專題”的形式，篩選一個綜合性較強的典型二次函數(shù)圖象為主線，從線段、角、三角形、四邊形等一系列知識點的串聯(lián)中逐步過渡到數(shù)學思想方法的歸納提升．讓學生在知識體系升華中提升思維，體驗數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)，提高教學效率．

4.2 精心選圖，發(fā)現(xiàn)生長點

選圖應以學生為主體，以促進他們數(shù)學思維的發(fā)展為導向，并以不同學生獲得不同發(fā)展為目標．因此，在選圖時注重質(zhì)而非量，遵循深入淺出的原則．一圖一專題的關(guān)鍵在于選圖，選取具有典型性、綜合性和延伸性的圖，可以以圖引題，以題引知識點和方法[2]．

本文以二次函數(shù)圖象為出發(fā)點，融入了多個幾何知識點，如飲馬問題、線段長度、三角形的周長和面積等，滲透了數(shù)形結(jié)合思想和“化斜為直”的方法．通過精心選圖，引導學生在知識梳理的基礎(chǔ)上進行過程和方法的提煉，從而真正達到既概括知識又總結(jié)數(shù)學思想的目的．

4.3 適當變式，緊扣目標點

變式問題的設(shè)計應促進問題的細化，讓學生更深層次地理解學習目標，同時也鍛煉他們自主尋找解題方法的能力，增強他們的思維素質(zhì)．然而，變式問題的設(shè)置必須服務(wù)于教學目標，不能停留在簡單變式上循環(huán)，以免導致課堂乏味．因此，需要在教學設(shè)計中合理地進行問題的變式，使其更有針對性、更具挑戰(zhàn)性，以激發(fā)學生的學習興趣，促進他們的思維發(fā)展，從而更好地達到教學目標．

本文設(shè)計了一系列變式題目，如求三角形的周長、面積等，引導學生運用所學知識解決更復雜的問題，提高了他們的解決問題能力．這些變式題目既豐富了教學內(nèi)容，又使學生在解決問題的過程中不斷提升自己的數(shù)學能力．

參考文獻

[1]朱露璐．大單元視角下函數(shù)復習課的教學實踐與思考——以“二次函數(shù)圖象性質(zhì)及簡單的幾何綜合”為例[J]．數(shù)學通訊，2023（23）：56-60

[2]蔡勇．以圖促教，以圖促學：“一圖一課”的教學案例[J]．中學數(shù)學，2023（20）：30-31