深度學習理念下高中生數學思維能力培養的路徑探究

數學思維能力是數學學習的核心和關鍵，也是21世紀數學教育的重要目標之一．然而，傳統的數學教學往往過于注重知識的灌輸和應試技巧的培養，忽視了學生數學思維能力的培養．在深度學習理念下，教師應通過引導學生深入思考、獨立探究和綜合運用知識的方式，激發學生的思維潛能，提升學生的數學思維能力．因此，結合深度學習理念，加強對學生數學思維能力的培養，對于促進學生數學素養的全面發展具有重要的意義．

1 引例《誘導公式二、三、四的推導》

下面先以高中數學中的《誘導公式二、三、四的推導》為例來闡述深度學習理念下的高中生思維能力的培養．

誘導公式是三角函數單元的重要部分，教學中如果直接給出公式讓學生死記硬背，學生是無法真正掌握的．要想讓學生能夠靈活運用誘導公式，首先要讓學生理解公式的推導過程．以正弦為例，首先給出下面式子：

sin（α+2kπ）=sinα，k∈Z．sin（α+π）=?sinα．

sin（-α）=?sinα．sin（π-α）=sinα．

讓學生觀察并思考正弦函數F（x）=sinx有什么性質？進而余弦函數、正切函數有什么性質？

通過觀察學生會發現等式左邊都是正弦函數的形式，等式右邊有的是sinx，有的是sinx?，有點像函數性質中的奇偶性即對稱性問題．根據以往的學習經驗可知圓最重要的性質就是對稱性，其中包括中心對稱與軸對稱（關于x軸對稱、關于y軸對稱），恰好三角函數與圓的關系密不可分，特別是和單位圓的關系．

以中心對稱為例，引入單位圓與角α，如圖1，設銳角α的終邊與單位圓交于點P1，角π+α的終邊與單位圓交于點P2．教師給出推進式問題，讓學生思考并回答：

問題1 α與π+α的終邊有什么關系？

答 關于原點對稱．

問題2 α與π+α的終邊與單位圓交點有什么關系？

答 關于原點對稱，即若P1（x，y），則P2（-x，-y）．

問題3 α與π+α的三角函數值有什么關系？sinα=y，sin（π+α）=?y，sin（π+α）=-sinα；cosα=x，cos（π+α）=?x，cos（π+α）=-cosα；tanα=y/x，tan（π+α）=y/x，tan（π+α）=tanα．

問題4 角α只能是銳角嗎？

答 與角α終邊相同的所有角．

綜上可以得到誘導公式二sin（α+π）=-sinα；cos（α+π）=-cosα；tan（α+π）=tanα．

接著為了檢驗學生是否真正理解并掌握公式的推導，讓學生以公式二的推導為例，類比推廣，自行設計問題、解決問題得出公式三、公式四：

設計1 公式三．

如圖2，在直角坐標系內，設銳角α的終邊與單位圓交于點P1，角?α的終邊與單位圓交于點P2．

問題 ①α與?α終邊有什么關系？

②α與?α終邊與單位圓交點有什么關系？

③設α的終邊與單位圓交于點P1（x，y），?α的終邊與單位圓的交點P2的坐標是什么？

④α與?α的三角函數值有什么關系？

進而依次得到①終邊關于x軸對稱．

②交點關于x軸對稱．

③P2（x，-y）．

④sinα=y，sin（-α）=?y，sin（?α）=-sinα；cosα=x，cos（-α）=x，cos（-α）=cosα；tanα=y/x，tan（-α）=?y/x，tan（-α）=-tanα.

最后得到公式三sin（?α）=-sinα；cos（?α）=cosα；tan（?α）=-tanα．

設計2 公式四．

如圖3，在直角坐標系內，設銳角α的終邊與單位圓交于P1，角π?α的終邊與單位圓交于P2．

問題 ①α與π?α終邊有什么關系？

②α與π?α終邊與單位圓交點有什么關系？

③設α的終邊與單位圓交于點P1（x，y），π?α的終邊與單位圓的交點P2的坐標是什么？

④α與π?α的三角函數值有什么關系？

進而依次得到①終邊關于y軸對稱．

②交點關于y軸對稱．

③P2（-x，y）．

④sinα=y，sin（π-α）=y，sin（π-α）=sinα；cosα=x，cos（π-α）=-x，cos（π-α）=-cosα；tanα=y/x，tan（π-α）=?y/x，tan（π-α）=-tanα.

最后得到公式四sin（π-α）=sinα；cos（π-α）=?cosα；tan（π-α）=-tanα．

授人以魚不如授人以漁，教授學生知識也是如此．教師在深度教學下讓學生經歷思維的形成過程，有利于學生知識的掌握，真正形成深度學習．

2 創設應用情境，培養學生知識遷移能力

創設應用情境在高中數學教學中具有重要的意義．它不僅能夠幫助學生理解數學知識的實際應用，提高學習動力和興趣，還能夠培養學生的知識遷移能力、批判性思維和問題解決能力，以及促進不同學科知識的整合與應用．教師應該積極探索和運用創設應用情境的方法，提高數學教學的質量和效果．例如，在高中數學“二次函數”知識教學時，就可以創設橋梁規劃與建設的應用情境，來培養學生的知識遷移能力，促進數學思維能力的提升．

如某城市計劃修建一座橋梁，現在需要設計一個能承受特定負載的橋梁結構．請問根據拋物線的形狀如何確定最高點以及計算拱橋的承重能力？

在這個應用情境中，學生需要運用二次函數知識來優化橋梁的設計．學生首先需要選擇一個適當的橋梁形狀，如拱橋、懸索橋等．學生可以使用二次函數來描述橋梁的弧線，并根據橋梁的長度和高度等要求，求解二次函數的參數[1]．通過優化參數，得到一個最佳的橋梁形狀．在確定橋梁形狀后，學生需要分析橋梁的力學性能．通過將橋梁分為若干小段，并通過二次函數來描述每一段的曲線形狀．然后，利用二次函數圖象的性質，計算橋梁各個部分的切線斜率、凸凹性等信息，以評估橋梁的穩定性和強度．學生需要確定橋梁能夠承受的最大負載，利用二次函數的頂點來找到橋梁的最高點，并結合重力等物理規律計算橋梁結構的最大負載．通過數學計算和實驗模擬，得出一個最大負載范圍，從而確定橋梁的可靠性．

3 開展探究式教學，培養學生的問題意識

開展探究式教學，培養學生問題意識對于培養學生的數學思維十分重要．教師常說“沒有問題是最大的問題”，學生沒有問題，往往說明學生對知識的學習不夠深入．因此，培養學生的問題意識能夠激發學生的學習興趣和動力，提高學生學習的積極性，培養學生適應未來社會發展的能力．教師應該通過引導學生主動思考和提出問題，創設適合的學習環境和任務，培養學生的問題意識，以提高數學教學的質量和效果．例如，在高中數學“隨機抽樣”的知識教學時，教師可以通過探究式教學，創設問題情境，培養學生的問題意識．

如某汽車零部件制造公司，每天生產10000個零部件，需要進行合格率抽檢．如何設計抽檢方案，來對產品的合格率進行抽檢呢？

首先需要思考，如何確定抽檢樣本的大小與抽樣比例，才能準確地估計零部件的合格率．在探究的過程中學生會思考樣本容量是否與總體規模有關？抽樣比例對估計結果有何影響？面對這兩個問題學生需要收集相關數據，記錄每天生產的零部件數量和合格數量[2]．然后，使用隨機抽樣的方法，從中抽取100個零部件作為樣本，并進行檢查．學生需要利用統計方法，計算出抽檢樣本的合格率，并將這個結果與總體的合格率進行比較．在這一過程中，學生需要討論抽檢樣本的合格率是否能夠準確估計總體的合格率．通過討論發現樣本容量越大，則結果越接近總體合格率．

4 開展小組項目研究，培養學生的合作意識

合作意識作為數學思維的內涵之一，對學生的數學能力和以后的職業發展都有著重要的影響．在高中數學教學中應當通過項目研究的方式，培養學生的團隊意識．在學習“橢圓”的性質時，教師以此為項目，對學生進行小組劃分，從而培養學生的數學研究能力和合作意識．首先提供幾個涉及橢圓的實際問題給學生，然后讓學生自主選擇一個問題作為研究課題．如橢圓軌道上衛星的運動問題、橢圓形體的建筑設計等．將學生組成小組，每個小組負責一個橢圓項目的研究．在小組內學生可以互相合作，做好分工解決問題．例如，學生A負責收集和整理橢圓的相關理論知識，學生B專注于收集實際數據，而學生C負責進行圖表的繪制和數據分析等．通過小組合作，學生可以相互協助、交流思想，培養合作意識和團隊精神．

鼓勵學生到實際場景中進行調研和觀察，以便收集橢圓相關問題的實際數據．參觀橢圓形建筑物，測量其形狀和尺寸，或者使用軟件或儀器對橢圓軌道上衛星的軌跡進行觀測和記錄[3]．通過實地調研讓學生更深入地了解橢圓，并將理論知識與實際問題聯系起來．利用收集到的數據，進行橢圓性質的分析和討論．例如，使用數學工具或軟件，進行數據的處理和圖表的繪制，探索橢圓的性質和特點．同時，就研究結果進行分析和討論，從而更好地理解橢圓在實際問題中的應用．每個小組需要準備一個研究報告，包括問題的描述、研究方法、數據分析和結論等．在班級中分享本小組的研究成果，展示報告，并與其他小組交流和討論．這樣的分享活動可以促進學生之間的交流與學習，吸取其他小組的思路和觀點．

5 細化評價元素，鼓勵多元思維表達方式

將數學思維能力分解為不同的評價元素，例如問題解決能力、推理能力、創造能力、溝通能力等．為每個評價元素設計具體的指標，使學生能夠明確自己在不同能力方面的表現．這樣一來，學生不僅僅關注于答案的正確與否，還能理解并努力培養自己在其他方面的數學思維能力．鼓勵學生通過不同的方式展示自身的數學思維．評價形式包括書面作業、口頭報告、展示和討論、實際項目等．通過提供豐富的評價形式，學生可以根據自己的優勢和興趣，選擇適合自己的方式表達數學思維，如文字、圖表、圖象、表格等．教師可以要求學生使用不同的方法解決同一個問題，鼓勵學生發現和探索多種解決路徑．同時，還可以鼓勵學生通過自己的思考，設計新的解決方法，并說明其優勢和適用范圍．這樣做可以培養學生的創造思維和探索精神．

組織學生進行小組討論、合作項目和對等評價等活動，鼓勵學生共同學習、思考和解決問題[4]．通過與他人的學習交流，學生可以獲得不同的思維觀點和解決思路，從而拓展自己的數學思維方式．在評價過程中，教師應及時給予學生詳細和具體的反饋．對于不同的評價元素，教師可以提供針對性的指導和建議，幫助學生了解自己的優勢和改進方向．通過細化的反饋，學生可以更好地認識自己的數學思維水平，作進一步的完善和發展．

6 研究結論

基于深度學習理念的教學模式能夠有效提升學生的數學思維能力，教師應注重激發學生的自主學習意識和能動性，引導學生進行探究性學習和思維訓練．此外，教師需要因地制宜地運用多種教學手段和策略，創設靈活多樣的教學情境，培養學生的綜合應用能力和創新思維．因此，在數學教育中應落實深度學習理念，提高學生的數學思維能力．

參考文獻

[1]嚴澤嵩．核心素養下高中數學高效課堂構建策略分析[J]．基礎教育論壇，2023（23）：98-99

[2]高婷．核心素養下高中數學課堂如何培養及提高學生的自學能力[J]．考試周刊，2023（49）：81-84

[3]于立婷．新高考下高中數學一題多變的訓練策略分析[J]．數理天地（高中版），2023（23）：48-50

[4]黃章灼．“問題導引”開啟學生“數學思維”[J]．讀寫算，2023（33）：62-64

（本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題“深度教學理念下縣域高中學生數學思維能力培養研究”（課題編號：Fjxczx23-059）階段性研究成果）