“根號2是無理數”的若干證法

[2]是人類最早發現的無理數之一。公元前500年左右，人們就會證明[2]是無理數。要想證明[2]是無理數，一般用反證法。

一般來說，反證法的步驟如下：①假設原命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出與基本事實、定理、定義、法則或已知條件等矛盾的結論；③由矛盾的結論判定步驟①中的假設不正確，進而肯定原命題的結論正確。

我們一般從代數的角度證明[2]是無理數，證明如下。

證明1：先假設[2]是有理數，那么它可以表示成[qp]，其中p與q是互質的兩個正整數。于是[qp2]=（[2]）2=2，所以q2=2p2。于是，q2是2的倍數，所以q也是2的倍數，可設q=2m，所以（2m）2=2p2，化簡得p2=2m2，于是可得p也是2的倍數。這說明p與q有大于1的公因數2，與假設中的“p與q是互質的兩個正整數”矛盾，從而可知“[2]是有理數”的假設不成立。所以[2]是無理數。

證明2：仍假設[2]是有理數。那么[2]=[qp]，其中p與q是互質的兩個正整數，所以q2=2p2。在十進制中，整數的平方的個位上的數是0、1、4、5、6、9之一，平方數2倍的個位上的數是0、2、8之一。左右兩邊相等，也就是說q2和2p2的個位都是0。這說明p和q有公因數5，與“p與q是互質的”矛盾。同樣得證。

那么，還有沒有幾何方法證明[2]是無理數呢？

美國加州州立大學薩克拉門托分校的杰伊·卡明斯提出了用幾何證明[2]是無理數的方法，其本質上還是反證法。

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圖1" " " " " " " " " " " " " " 圖2

證明思路如下：如圖1是一個等腰直角三角形，其直角邊長為1，斜邊長為[2]。假設[2]是有理數，則必定存在一個邊長全是正整數的等腰直角三角形。我們假設圖2就是一個邊長全是正整數的等腰直角三角形，且為這樣的三角形中周長最小的，其周長等于2m+h。經過如圖3的作圖過程，我們又構造了一個邊長全是正整數的等腰直角三角形（圖4中的陰影部分），周長等于h，其周長比原三角形的更小，這與原三角形的周長為最小矛盾。從而可知“[2]是有理數”的假設不成立。所以[2]是無理數。

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圖3

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圖4

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）