尋找根號(hào)2

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”你會(huì)借助“形”的直觀性，揭示“數(shù)”的內(nèi)涵與深層聯(lián)系嗎？

在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫作數(shù)軸。數(shù)軸直觀呈現(xiàn)了數(shù)與點(diǎn)之間的關(guān)系，將數(shù)形結(jié)合的思想表現(xiàn)得淋漓盡致。我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。那么，你知道數(shù)軸上表示[2]的點(diǎn)在哪里嗎？

幾何的本質(zhì)在于度量，度量的本質(zhì)在于兩點(diǎn)間的距離。如圖1，腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形中，斜邊BC的長(zhǎng)度即為[2]。

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圖1

于是，我們可以嘗試?yán)贸咭?guī)作圖，在數(shù)軸上以0和1之間的距離為一條腰，作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形（圖2）。

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圖2

步驟1：過數(shù)軸上表示1的點(diǎn)A作直線AB垂直于數(shù)軸；

步驟2：以A為圓心，數(shù)軸上0與1之間距離為半徑作弧，與直線AB交于點(diǎn)B；

步驟3：以表示0的原點(diǎn)為圓心，原點(diǎn)與B點(diǎn)間距離為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)P。

點(diǎn)P即為數(shù)軸上表示[2]的點(diǎn)。

看到這里，聰明的你能說說這么作圖的理由嗎？嘗試在圖2中畫出數(shù)軸上表示-[2]的點(diǎn)Q。

那么，除了[2]以外，其他無理數(shù)能否在數(shù)軸上表示呢？

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圖3

你能說出圖3中每一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)嗎？

由勾股定理不難得出，圖3中每一個(gè)直角三角形的斜邊按長(zhǎng)度從小到大排列，依次為[2]、[3]、[4]、[5]、[6]……那么，怎么在數(shù)軸上找到表示[3]、[4]、[5]等平方根的點(diǎn)呢？

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圖4

如圖4，我們過點(diǎn)P作數(shù)軸垂線，過點(diǎn)B作數(shù)軸平行線，兩條直線相交于點(diǎn)C；以原點(diǎn)為圓心，原點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)P’，點(diǎn) P’即為數(shù)軸上表示無理數(shù)[3]的點(diǎn)。

繼續(xù)畫下去，如圖5，用不同顏色呈現(xiàn)作每段弧的過程，我們將得到一組漂亮的“彩虹”。動(dòng)手試一試吧！

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圖5

經(jīng)過多次嘗試尺規(guī)作圖，我們建立了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系。我們利用直角三角形和勾股定理，找到了在數(shù)軸上表示一類無理數(shù)（注意區(qū)分，正整數(shù)的算術(shù)平方根有的并非無理數(shù)，而是有理數(shù)，如[4]=2，[9]=3）的點(diǎn)的方法。

（作者單位：江蘇省昆山市周市中學(xué)）