轉化思想在初中幾何問題中的運用

【摘要】轉化思想是數學核心素養的重要組成部分，它有助于培養學生的問題解決能力、邏輯思維能力和創新能力.本文以初中幾何中的“圓”為例，探討轉化思想在幾何問題中的運用.通過分析圓的基本性質轉化、圓的位置條件轉化以及圓的應用進階轉化，旨在提高學生的幾何解題能力，培養學生的邏輯思維和創新能力.

【關鍵詞】初中數學；轉化思想；圓的性質

1 引言

轉化思想是解決數學問題的重要方法，尤其在幾何問題中具有廣泛的應用.初中幾何是培養學生空間觀念和邏輯思維能力的關鍵階段，而圓作為幾何中的重要組成部分，其性質和位置條件的轉化對學生解決幾何問題具有重要意義[1].本文將從圓的基本性質轉化、圓的位置條件轉化以及圓的應用進階轉化三個方面進行探討.

2 試題呈現

2.1 圓的基本性質轉化

例1 判斷：若圖1中的三個圓大小相同，則圖中陰影部分的周長相等.

解析 通過觀察圖形，可以發現以下規律：在圖（1）中，陰影區域由四個弧組成，這些弧的總長度恰好等于整個圓的周長.在圖（2）中，陰影區域的外圍長度是圓周長的一半，而內部的三個小半圓弧的總長度等同于一個大半圓的弧長，因此陰影區域的周長與圓周長相等.在圖（3）中，大半圓內部的兩個白色小半圓弧的總長度同樣等于大半圓的弧長，這意味著陰影區域的周長也是圓的周長.由于這三個圖形中的圓大小相同，因此陰影區域的周長相等是正確的.本題主要考查了弧長與圓周長的轉換，可利用l=πd的周長公式，將弧長大小的比較轉化為直徑大小的比較.

2.2 圓的位置條件轉化

例2 如圖2所示，已知拋物線y=－316（x－1）（x－9）與x軸交于A，B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值為（ ）

（A）72. （B）23. （C）412. （D）5.

解析 如圖3所示，連接BG.已知P為AG的中點，D為AB中點，所以PD是△ABG的中位線，則DP=12BG.當BG最大時，則DP最大.由圓的性質可知，當G，C，B三點共線時，BG最大.由題意可知C（5，3），B（9，0），所以BC=32+42=5，故BG的最大值為2+5=7，得到DP的最大值為72.故選（A）.

本題主要考查了拋物線與x軸的交點、三角形的中位線定理、二次函數的性質以及點與圓的位置關系等知識點，有一定難度.解答本題需學會用轉化的思想思考問題.

2.3 圓的應用進階轉化

例3 如圖4，四邊形ABCD是矩形，其中AB=8，AD=12，點E在線段DC上移動，已知四邊形DEFG和四邊形CEHI均為正方形，且在線段DC下方，此時連接GI，并過點B作BJ⊥GI于點J，連接AJ，則：在點E運動過程中，線段AJ的最大值.

解析 因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠DAB=90°，

因為BJ⊥GJ，

所以A、B、J、G四點共圓，如圖5所示，

所以當AJ為直徑時最大，

連接BG，因為∠DAB=90°，

所以BG為直徑，

因為點E是DC上的一個動點，

所以當DE最大時，即DE=AB=8時，BG最大，

此時AG=12+8=20，

所以BG=82+202=429，

所以AJ的最大值為429.

本題關鍵點在于找到輔助圓的位置，將幾何問題轉化為點圓最值問題，從而簡化解題思路.

3 思路解析

圓的周長和面積是圓的兩個基本性質.在解決問題時，可以將圓的周長和面積進行轉化[2].例如，可以利用圓的周長公式l=πd或者l=2πr，進行周長與直徑、半徑之間的轉化，也可以之間由圓的面積公式S=πr2進行面積和半徑之間的轉化.

圓的位置是指在坐標系中的具體位置，這一概念在幾何問題中扮演著關鍵角色.圓在坐標系中的位置是由圓心的坐標和半徑共同確定的.在解決幾何問題時，圓的位置條件轉化是指將圓在坐標系中的位置信息轉換為解題所需的其他幾何條件或代數關系，從而提高解題效率.

圓的應用進階是指在解決某些幾何問題時，通過人為添加的圓，以簡化問題結構，揭示幾何關系，或者轉化為更易解決的問題[3].例如，輔助圓思想是一種高級的幾何解題策略，它通過在原有圖形之外添加一個或多個輔助圓幫助發現和利用幾何關系，從而解決原本難以直接解決的問題.

4 結語

轉化思想在初中幾何問題中有廣泛的應用，尤其是在圓的相關試題里.通過本文的分析可以發現，掌握圓的基本性質轉化、圓的位置條件轉化以及圓的應用進階轉化，有助于提高學生的幾何解題能力，培養學生的邏輯思維和創新能力.在實際教學中，教師應注重引導學生運用轉化思想，提高幾何教學效果.

參考文獻：

[1]劉文.初中數學教學滲透數學思想的路徑探究[J].學周刊，2024（23）：92-94.

[2]蘇玉梅.轉化思想在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2024（13）：36-37.

[3]張紅琴.“轉化思想”在初中幾何最值問題中的應用[J].數學之友，2021（04）：90-92.