“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用

【摘要】構造輔助線是初中數學解題中解決復雜幾何問題的常用策略之一，“構造輔助圓”則是構造輔助線的高級形式．通過“輔助圓”的構造不僅能夠使問題變得更加簡單，還能讓學生更好地掌握圓的相關性質以及圓與其他幾何圖形之間的關系，提升學生的幾何問題求解能力．本文通過相關例題對“構造輔助圓”在初中數學解題中的應用進行說明，充分利用典型例題讓學生準確掌握“構造輔助圓”的應用方法，提升學生的解題能力和思維能力．

【關鍵詞】構造輔助圓；初中數學；解題教學

初中數學幾何類試題涉及圓、三角形以及直線相關的問題，需要學生具有較強的空間想象能力與邏輯推理能力才能準確地進行相關問題的求解．“構造輔助圓”是一種較為巧妙的解題思路，充分利用圓的相關性質將試題中的已知條件與求解目標進行有效聯系，使較為復雜的問題變得簡單化，讓學生能夠更加快速準確地進行相關問題的求解．掌握“構造輔助圓”的應用方法能夠讓學生更加靈活地求解幾何問題，全面提升學生的創新思維能力和解決問題的能力，提升學生的解題能力．

1 “構造輔助圓”在求線段長度中的應用

在解決求幾何線段長度的問題中，可以充分利用試題中給出的已知條件并結合圓的相關性質進行輔助圓的構造，再充分利用圓的其他性質就能夠更加快速地進行問題的求解．

例1 如圖1所示，四邊形ABCD中，已知點E為AB的中點，且EA=EB=EC=ED=5cm，同時AE∥CD，線段CB的長度為19cm，線段BD的長度是 ．

解析 傳統的解題過程中，根據試題中的已知關系可以得到△ADE≌△BCE，得到BC=AD=19cm，然后利用勾股定理，過點D作AB的垂線交于點F，這樣就可以構建Rt△AFD和Rt△EFD．設DF的長度為y，EF的長度為x，就可以得到y2=25－x2和y2=19－（5－x）2這兩個式子，求得x的值為3110．然后在Rt△DFB中有BD2=y2+（5+x）2，將相關計算代入就可以得到BD的長度為9cm．這種解題方式計算量較大，dFuKFbU1/yxZEOgF52Hk/NEO3QtX0OWnbgBFyz5evOk=導致學生在計算過程中很容易出現錯誤，并且會花費較多的時間，嚴重影響學生的解題效率和解題的準確性．

采用構造輔助圓解題過程中，充分分析試題中的已知條件，根據EA=EB=EC=ED=5cm，可以知道四邊形ABCD的4個點到點E的長度相等，說明這4個點在以E為圓心，AE為半徑的圓上，構建輔助圓如圖2所示．根據圓的性質可以知道∠ADB=90°，所以△ADB為直角三角形，根據AE∥CD能夠得到AD=BC=19cm，然后利用勾股定理就可以計算出BD的長度為9cm．

反思 本題充分利用點E到點A，B，C，D的距離相等關系來進行輔助圓的構造，然后利用AB為圓E的直徑關系得到∠ADB=90°，再根據勾股定理計算出BD的長度．該解題方式有效地簡化了試題的計算量，能夠有效提升學生的解題速度與解題準確性．

2 “構造輔助圓”在求角的度數中的應用

在求角的度數或者證明兩個角相等的幾何問題中，可以充分利用圓的定義中關于角的相關定義快速進行問題的求解．

例2 如圖3所示，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，直線AP在△ABC的外側，點D與點B關于直線AP對稱，連接CD交AP于點E，連接BE，求證∠BAC=∠BEC．

解析 傳統解題過程中，要證明兩個角相等，主要通過三角形相似或者角的度數進行求證，本題沒有告訴三角形中相關角的度數，所以需要通過三角形相似進行證明．設AB與CD的交點為F，可以知道∠BEF=∠CFA，同時根據點D和點B關于直線AP對稱，可以知道AD=AB，DE=BE，從而得到∠EBA=∠ADC．因為AB=AC，所以AD=AC，所以△ADC為等腰三角形，所以∠ADC=∠ACD，所以∠EBA=∠ECA．根據兩個三角形對應的兩個角相等得到△FEB∽△FAC，所以∠BEC=∠BAC．

采用構造輔助圓解題，根據點B與點D關于直線AP對稱，可以得到AD=AB，DE=BE，結合已知條件AB=AC，可以知道AB=AC=AD，所以點B，C，D均在以點A為圓心，以AB為半徑的圓上，如圖4所示．根據圓的定義可以知道∠BAC=2∠BDC，因為DE=BE，所以△BDE為等腰三角形，所以∠EDC=∠EBD.根據三角形的相關定義可以知道∠BEC=∠EDB+∠EBD=2∠EDB，所以∠BEC=∠BAC．

反思 對比構造輔助圓的證明方式與傳統的證明方式，可以發現，構造輔助圓的證明方式充分利用圓的相關定義來將∠BDC和∠BAC進行有效聯系，然后利用等腰三角形關系得到∠BEC與∠BDC之間的關系，實現問題的求證，相較于傳統證明方式中證明三角形相似來判斷角相等的方法更加簡單．

3 結語

綜上所述，構造輔助圓是解決幾何問題的重要策略之一，能夠幫助學生快速解決一些特定類型的數學問題，提升學生的解題能力．在教學過程中，教師需要指導學生了解等角、直角、長度相等等構造輔助圓的相關條件，掌握圓的相關性質和定義，將構造輔助圓應用到幾何解題中，培養學生的創新思維能力，提升學生的解題效率和準確率．

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