巧用二次函數求解兩類實際問題

【摘要】 二次函數是初中數學的重要內容之一，在實際問題中有著廣泛的應用．本文通過對初中數學中常見的兩類實際問題進行分析，闡述如何巧用二次函數求解這些問題，旨在幫助學生更好地理解和掌握二次函數的應用，提高解決實際問題的能力．

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題方法

在初中數學的學習中，二次函數是一個關鍵的知識點，且在實際生活中有著廣泛的應用．通過巧用二次函數，可以有效地解決許多實際問題，培養學生的數學思維和應用能力．因此，深入研究運用二次函數求解實際問題具有重要的意義．

1 用二次函數求解體育運動問題

例1 如圖1，某滑雪比賽滑道分為四段區域，運動員從助滑區AB的臺端A點出發，在助滑道AB上獲得高速度，至跳臺區BC依靠慣性配合身體動作躍向空中，從跳臺區的末端C點飛出后，身體以拋物線軌跡在空中飛行，最后落在著陸區斜坡CD上，并在終點區DE上停留等待裁判根據運動員的飛行距離和動作完美情況來評分．已知著陸區斜坡CD的坡度均勻，CD的垂直高度CF為60m，水平距離DF為80m．某位運動員的一次動作中，在離開跳臺末端C點后水平前進了20m時，高度恰好升高了20m達到拋物線的最高點P．

（1）請你建立合適的平面直角坐標系，并寫出拋物線的表達式；

（2）運動員在著陸區斜坡CD上著陸，可以利用斜坡的角度進行有效的緩沖，若在終點區DE上著陸，則會增加受傷風險．請你判斷這位運動員此次動作會在哪個區域著陸，并說明理由．

解析 （1）以點F為原點，地平線DG為x軸，豎直CF為y軸建立平面直角坐標系，則P20，80．

設拋物線y=ax－202+80，

將點C0，60代入函數表達式，

得60=a0－202+80，

解得a=－120．

所以，拋物線的表達式為y=－120x－202+80．

（2）在（1）的基礎上，由題意，得D0，80．

因運動員落地即為y=0，

即0=120x－202+80，

解得x1=－20（舍去），x2=60．

由60<80，可判斷這位運動員此次動作會在著陸區斜坡CD上著陸．

評析 本題考查了二次函數在體育運動問題中的應用．第（1）問中，利用待定系數法進行解答即可；第（2）問中，由題意，得D0，80，運動員落地即為y=0，解出x的值即可進行判斷．

2 用二次函數解決拋體運動問題

例2 如圖3所示，某種發石車是古代一種遠程攻擊的武器，發射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發射點30m時達到最大高度40m．將發石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為50m，與地面的豎直距離為10m，AB是高度為9m的防御墻．若以點O為原點，建立如圖4所示的平面直角坐標系．

（1）求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；

（2）試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；

（3）在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．

解析 （1）設石塊的運動軌跡所在拋物線的解析式為y=ax－302+40a≠0，

把0，0代入，

得900a+40=0，

解得a=－245，

所以y=－245（x－30）2+40，

即y=－245x2+83x．

（2）把x=50代入y=－245x2+83x，

得y=2009=2229，

2229>10+9，

所以石塊能飛越防御墻AB．

（3）設直線OA的解析式為y=kxk≠0，

把50，10代入，得10=50k，

得k=15，

故直線OA的解析式為y=15x，如圖5．

設直線OA上方的拋物線上的一點M的坐標為t，－245t2+83t，

過點M作MN⊥x軸，交OA于點N，交x軸于點D，則Nt，15t，

MN=－245t2+83t－15t

=－245t2+3715t

=－245t－11142+136940，

因為－245<0，

所以，該函數圖象開口向下，MN有最大值，

當t=1114時，MN取最大值，最大值為136940．

所以，在豎直方向上，石塊飛行時與坡面OA的最大距離是136940米．

評析 本題主要考查了二次函數在解決拋體運動中的巧妙應用．正確確定石塊運動軌跡所在拋物線的解析式是解題關鍵．確定拋物線方程后，可運用二次函數的圖象和性質，并結合實際問題的要求進行解題．

3 結語

二次函數在初中數學中具有重要的地位，巧用二次函數可以有效地解決體育運動、拋體運動等實際問題．在教學過程中，教師要注重基礎知識的教學，引導學生分析問題，加強練習與鞏固，結合實際生活幫助學生更好地理解和掌握二次函數的應用，提高學生解決實際問題的能力．相信通過不斷的學習和實踐，學生能夠更加熟練地運用二次函數來解決各種實際問題，為今后的學習和生活打下堅實的基礎．

參考文獻：

[1]呂強.用二次函數解決實際問題兩例[J].中學生數學，2022（24）：11-13.

[2]周康寶.巧用二次函數 妙解實際問題[J].中學數學，2024（14）：81-82.

[3]劉祥貴.例說用二次函數的知識解決實際問題[J].新課程學習（下），2012（02）：40-41.