初中數學有關圓的解題教學實踐

【摘要】圓屬于初中數學課程中的一項重要內容，雖然學生在小學時期就有接觸，但初中階段圓的相關知識難度與深度均有提升，對他們的學習能力有著更高要求．再加上圓不僅特殊，相關題型同樣特殊，還會涉及其他幾何圖形與元素，解題難度增大，對其的觀察能力、思維水平和運算能力均有著較高要求．基于此，本文主要對初中數學有關圓的解題教學進行深入分析和研究，同時分享一些解題實例以供參考．

【關鍵詞】初中數學；圓；解題技巧

在初中數學解題訓練中，教師需高度重視有關圓的題目，雖然題型變化多樣，但是“萬變不離其宗”，終歸考查的是圓的相關知識，教師可開展專題訓練，組織學生共同總結圓的解題技巧，使其掌握更多解題竅門，為中考做準備．

1 運用圓的基礎知識，解答定值試題

圓作為一種比較常見的幾何圖形，是平面幾何中基本圖形之一，具有多個獨特的性質與規律．如圓是定點距離等于定長的點的集合；圓的內部可以看作是圓心距離小于半徑的點的集合；圓的外部能夠看作是圓心距離大于半徑的點的集合；同圓或等圓的半徑相等．在初中數學有關圓的解題教學中，教師在平時教學中幫助學生理解與掌握圓的性質與規律，帶領他們求解有關定值的問題，使其通過逐步推導論證的方式解題，無需過多運算[1]．

例1 已知有一個⊙O，CD是⊙O的一條弦，AB是該圓的一條直徑，其中AB與CD是垂直關系，垂足為E點，如果AB=10，CD=8，那么AE的值是什么？

解 根據題意畫出圖1，連接OC，

因為⊙O的直徑AB=10，

所以OA=OB=OC=5，

又因為AB⊥CD，

所以E點是弦CD的中點，

由于CD=8，

則CE=DE=4，

在直角三角形OCE中，結合勾股定理可得OC2=CE2+OE2

代入相關數值后求得OE=3，

這時AE=OA－OE=5－3=2，

另外一種情況如圖2所示，

AE=OA+OE=5+3=8，

所以AE的值是2或者8．

2 根據實際解題需求，添加輔助線解題

縱觀當前初中數學幾何題目，不少都與圓有所關聯，從基礎型到綜合型均有所涉及．對于基礎型題目，大多學生都能夠輕松處理，不過面對綜合型題目時，他們往往不知所措，無法快速找準解題的突破口，不僅計算過程繁瑣，還容易出現錯誤．而且圓的題目通常會同其他平面幾何圖形或直線、函數等知識組合成比較復雜的試題，這時教師可提示學生根據實際需要添加一些輔助線，輔助他們順利求得結果，使其解題自信得以強化[2]．

例2 如圖3所示，兩個以O為圓心的同心圓半徑分別是a和b，且a<b，AC為小圓的直徑，點B位于小圓之上，直線BC同大圓相交于P，Q兩點，將線段AP，AQ分別連接起來，請證明：

（1）PB·BQ的值是一個定值；

（2）△APQ各邊的平方和是一個定值．

解 （1）過點B作大圓的直徑MN，與大圓分別相交于M，N兩點，

由此能夠得到PB·BQ=MB·BN，

根據題意可知MB=b－a，

BN=b+a，

則PB·BQ=MB·BN=（b－a）·（b+a）=b2－a2，

所以PB·BQ的值是一個定值．

（2）連接AB，

因為AC是小圓的直徑，

所以AB⊥BC，

在Rt△ABP中，根據勾股定律可得

AP2=PB2+AB2，

在Rt△ABQ中，AQ2=BQ2+AB2，

所以在△APQ中，

AP2+AQ2+PQ2

=PB2+AB2+BQ2+AB2+（BQ+PB）2

=2（PB2+AB2+BQ2）+2BQ·PB

=2［AB2+（BQ-PB）2］+2BQ·PB

=2（AB2+BC2）+6BQ·PB

=2AC2+6BQ·PB

=2（2a）2+6（b2-a2）

=2a2+6b2，

所以△APQ各邊的平方和是一個定值．

3 歸納圓的相關知識，靈活解題

針對初中數學中圓的解題教學，為幫助學生更好地解題，教師需引領他們認真歸納與圓有關的知識內容，系統化地研究圓，包括圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角，點與圓、直線與圓的位置關系，正多邊形和圓的關系，以及圓的弧長與扇形面積等．在解題訓練中，教師應當引領學生根據題目，靈活、恰當地選擇和使用圓的相關知識，使其確定最佳解題方案，形成簡潔、清晰的解題流程，促進他們快速突破解題障礙[3]．

例3 如圖4所示，AB是半圓O的直徑，線段AP是經過點A的半圓切線，在弧AB上面任意選擇一個不與A，B兩點重合的C點，過C點畫半圓的切線CD，與線段AP相交于D點，再過點C畫線段CE和直徑AB垂直，垂足為點E，把BD連接起來，同線段CE相交于F點，假如點C不是弧AB的中點，請證明CF=FE始終成立．

解 把BC連接起來，且加以延長，同AP相交于G點，連接AC，

因為AD和CD都是半圓O的切線，

所以AD=CD，∠DAC=∠DCA，

又因為AB是半圓O的直徑，

所以∠ACB=∠GCA=90°，

所以∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°，

所以∠DGC=∠DCG，

所以在△GDC中，GD=DC，

因為AD=CD，

所以AD=GD，

因為AP是半圓O的切線，AB是半圓O的直徑，

所以AB⊥AP，

因為AB⊥CE，

所以AP∥CE，

所以CFGD=BEAB=EFAD，

又因為AD=GD，

所以CF=FE．

4 結語

總而言之，在初中數學解題訓練活動中，教師應格外關注有關圓的試題，圍繞圓設計專題練習，組織學生認真觀察、分析、研究和歸納圓的有關題目，深度挖掘題干和圖象中的有用信息及條件，以掌握牢固的圓的規律、定理和性質等，尋找解題的切入點，根據實際情況巧妙添加輔助線，使其找到更加簡潔與方便的解題思路，以此不斷提升他們的數學解題水平．

參考文獻：

[1]左朋法.初中數學解題教學中“圓”的解題解析[J].數理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[2]陸燕.對初中數學解題教學的思考與優化[J].中學數學，2023（20）：79-80.

[3]陳莉.新課標背景下初中數學解題教學策略[J].亞太教育，2023（17）：118-120.