反比例函數綜合問題的解題策略

【摘要】本文通過對反比例函數與一次函數交點問題、圖象面積問題以及與幾何圖形的綜合應用進行分析，總結出有效的解題方法，以幫助學生更好地掌握反比例函數綜合問題的求解．

【關鍵詞】初中數學；反比例函數；解題策略

反比例函數的綜合問題通常涉及多個知識點的融合，具有一定的難度和挑戰性．因此，掌握反比例函數綜合問題的解題策略對于提高學生的數學思維能力和解題能力具有重要意義．

1 反比例函數與一次函數的交點問題

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數y=kx（x>0）的圖象分別與AB，BC交于點D和點E32，4，且點E為BC的中點．

（1）求反比例函數的表達式和點D的坐標；

（2）若一次函數y=2x+m與反比例函數y=kx（x>0）的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上D，E之間的部分時（點M可與點D，E重合），直接寫出m的取值范圍．

解析 （1）因反比例函數y=kx（x>0）的圖象分別與AB，BC交于點D和點E32，4，

所以k=32×4=6，

所以反比例函數的表達式為y=6x（x>0）

因為四邊形OABC是矩形，

所以BC∥AO，BA⊥OA.

因為點E32，4，且點E為BC的中點，

所以B（3，4），所以點D的橫坐標為3，

代入y=6x得，y=63=2，

所以D3，2.

（2）當直線y=2x+m經過點E32，4時，

則4=2×32+m，解得m=1；

當直線y=2x+m經過點D3，2時，

則2=2×3+m，解得m=－4.

因一次函數y=2x+m與反比例函數y=kx（x>0）的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上D，E之間的部分時（點M可與點D，E重合），得-4≤m≤1．

評析 本題主要考查了反比例函數與一次函數交點的綜合問題，需要學生靈活運用所學知識解題．第（1）問中，利用待定系數法求出反比例函數解析式，根據矩形的性質得到BC∥AO，BA⊥OA，再由E為BC的中點得到點B坐標，從而得到點D的橫坐標為3，進而求出點E的坐標即可；第（2）問中，求出直線y=2x+m恰好經過D和恰好經過E時m的值，即可得到答案．

2 反比例函數與一次函數圖象面積的問題

例2 如圖2，點A在反比例函數y1=12x（x>0）的圖象上，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，交反比例函數y2=4x（x>0）的圖象于點C，P為y軸上一點，連接PA，PC，則△APC的面積為 ．

解析 連接AO，OC，如圖3，可知點A在反比例函數y1=12x（x>0）的圖象上，點C在反比例函數y2=4x（x>0）的圖象上，AB⊥x軸，

得S△OAB=12×12=6，

S△OBC=12×4=2，

S△AOC=S△OAB－S△OBC=6－4=2，

因為AB⊥x軸，可知AB∥y軸，

所以S△APC=S△AOC=4．

評析 本題考查反比例函數圖象與一次函數圖象的面積問題，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．本題中，連接AO，OC，利用S△AOC=S△OAB－S△OBC，結合三角形面積公式解題．

3 反比例函數與幾何圖形的綜合

例3 如圖4，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn－1An都是等腰直角三角形，點P1、P2、P3…Pn都在函數y=4xx>0的圖象上，斜邊OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x軸上，則點A2018的坐標為 ．

解析 可設點P1x，y，過P1作P1H⊥x軸于H，△P1OA1為等腰直角三角形，

可知x=y，

而y=4x，則x2=4，

得x=2（負值已舍去），

根據等腰三角形的三線合一，得A14，0，

設點P2的坐標是4+m，m，

又y=4x，則mm+4=4，

即m2+4m－4=0，

解得m1=－2+22，

m2=－2－22，

因為m>0，所以m=－2+22，

再根據等腰三角形的三線合一，得A2（42，0）；

同理得點A3的坐標是43，0，以此類推，則An點的坐標是4n，0．

故點A2018的坐標為42018，0．

評析 本題考查了反比例函數與幾何圖形的綜合問題，解決此題的關鍵是要根據等腰直角三角形的性質以及反比例函數的解析式進行求解．首先根據等腰直角三角形的性質，知點P1的橫、縱坐標相等，再結合雙曲線的解析式得到點P1的坐標是（2，2），則根據三線合一求得點A1的坐標；同樣求得A2點的坐標；根據A1、A2點的坐標特征即可類推．

4 結語

反比例函數綜合問題是初中數學中的難點之一，但通過對反比例函數的性質、圖象以及與其他函數、幾何圖形的綜合應用進行深入分析，掌握有效的解題策略和方法，就能夠順利地解決這些問題．在解題過程中，要認真審題，分析圖形，選擇合適的解題方法，注意計算的準確性，同時要善于總結歸納，舉一反三，不斷提高自己的數學思維能力和解題能力．

參考文獻：

[1]吳鳳燕.反比例函數與一次函數綜合問題的解題策略探討[J].數理天地（初中版），2024（16）：29-30.