例談運(yùn)用二次函數(shù)解決生活中的常見問題

【摘要】二次函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．本文首先闡述二次函數(shù)的重要性及其應(yīng)用策略，然后通過具體實(shí)例分析二次函數(shù)在解決利潤(rùn)最大化和運(yùn)動(dòng)軌跡等生活常見問題中的應(yīng)用，進(jìn)一步展示二次函數(shù)的實(shí)用性和重要性．

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活．二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛．通過建立二次函數(shù)模型，可以解決許多生活中的實(shí)際問題，如利潤(rùn)最大化、運(yùn)動(dòng)軌跡等．本文將通過具體實(shí)例，探討二次函數(shù)在生活中的常見應(yīng)用．

1 二次函數(shù)的重要性及應(yīng)用策略

二次函數(shù)的重要性不言而喻．首先，從知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度來看，二次函數(shù)是對(duì)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等知識(shí)的深化和拓展．它將代數(shù)與幾何緊密結(jié)合，通過拋物線的形式展現(xiàn)了函數(shù)的變化規(guī)律．學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，需要綜合運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、方程求解、圖形分析等多種數(shù)學(xué)方法，從而提升了邏輯思維能力和綜合解題能力．其次，二次函數(shù)在中考中占有較大的比重．無論是選擇題、填空題還是解答題，都經(jīng)常涉及二次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容．掌握好二次函數(shù)，對(duì)于學(xué)生在中考中取得優(yōu)異成績(jī)至關(guān)重要．

二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用也十分廣泛．例如，在商業(yè)領(lǐng)域中，企業(yè)可以利用二次函數(shù)來確定最優(yōu)的銷售價(jià)格，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化．通過建立利潤(rùn)與銷售價(jià)格之間的二次函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的最大值點(diǎn)，從而確定最佳售價(jià)．在工程設(shè)計(jì)中，二次函數(shù)可以用來計(jì)算拋物線形狀的橋梁、拱門等建筑物的參數(shù)．此外，二次函數(shù)還可以應(yīng)用于物理5nA+MzWffWEMQkq4qCN8EA==學(xué)中，如描述物體的拋體運(yùn)動(dòng)軌跡等．

為了更好地掌握二次函數(shù)，可以采取以下應(yīng)用策略．首先，要扎實(shí)掌握二次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)．理解二次函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式等不同形式，掌握拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等特征．通過大量的練習(xí)，熟悉二次函數(shù)的圖像變換規(guī)律，如平移、對(duì)稱、縮放等．其次，要注重與實(shí)際問題相結(jié)合．在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過程中，多關(guān)注生活中的實(shí)際問題，嘗試將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型進(jìn)行求解．這樣不僅可以加深對(duì)二次函數(shù)的理解，還能提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．最后，要善于總結(jié)歸納．在解題過程中，要總結(jié)不同類型問題的解題方法和技巧，形成自己的解題思路．同時(shí)，要將二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系．

2 二次函數(shù)解決生活中常見問題的案例分析

2.1 利潤(rùn)最大化問題

例1 天貓“天天特價(jià)”網(wǎng)店銷售某款打底裙，每件售價(jià)60元，每星期可賣300件，為促銷，該店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查反映，每降價(jià)1元，每星期可多賣30件，已知該款打底裙每件成本40元，天貓規(guī)定售價(jià)不得低于成本價(jià)，設(shè)該款打底裙每件售價(jià)x元，每星期的銷量為y件，每星期的銷售利潤(rùn)為w元．

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．

（2）求w與x之間的函數(shù)解析式，并求當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）若該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于6480元的利潤(rùn)，請(qǐng)直接寫出每件售價(jià)x的取值范圍．

解析 （1）y=300+3060-x=-30x+210040≤x≤60．

（2）W=x－40－30x+2100=－30x－552+6750，

因?yàn)椋?0<0，開口向下，40≤x≤60，

所以，當(dāng)x=55時(shí)，w有最大值，Wmax=6750元，

即每件售價(jià)定為55元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為6750元．

（3）根據(jù)題意知，－30x－552+6750≥6480，

解得52≤x≤58．

點(diǎn)評(píng) 在商業(yè)活動(dòng)中，經(jīng)常需要考慮如何實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化．本題解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目中的相等關(guān)系，并據(jù)此列出二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)“實(shí)際銷售量=原銷售量+30×下降的價(jià)格”可得函數(shù)解析式；根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；根據(jù)題意列出不等式－30x－552+6750≥6480，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得出x的范圍．

2.2 運(yùn)動(dòng)軌跡問題

例2 在某次測(cè)試中小周投擲出的實(shí)心球所經(jīng)過的路線是如圖1所示的拋物線，已知實(shí)心球出手時(shí)離地面1.6m，當(dāng)實(shí)心球行進(jìn)的水平距離為3m時(shí)實(shí)心球達(dá)到最大高度2.5m．

（1）求實(shí)心球行進(jìn)的高度ym與行進(jìn)的水平距離xm之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）如果實(shí)心球測(cè)試的優(yōu)秀成績(jī)至少是8.2m，那么小周在這次測(cè)試中成績(jī)是否能達(dá)到優(yōu)秀？請(qǐng)說明理由．

解析 （1）由題意知，該拋物線經(jīng)過點(diǎn)0，1.6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為3，2.5，

設(shè)該拋物線的解析式為y=ax－32+2.5，

將0，1.6代入解析式，得1.6=a0－32+2.5，

解得a=－0.1，

所以，實(shí)心球進(jìn)行的高度ym與行進(jìn)的水平距離xm的函數(shù)解析式為y=－0.1x－32+2.5；

（2）不能達(dá)到優(yōu)秀，理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，－0.1x－32+2.5=0，

解得x1=8，x2=－2（舍去），

所以小周在這次測(cè)試中成績(jī)?yōu)?m，

因?yàn)?<8.2，

所以，小周在這次測(cè)試中成績(jī)不能達(dá)到優(yōu)秀．

點(diǎn)評(píng) 本題從生活實(shí)際問題出發(fā)，考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．第（1）問中，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出頂點(diǎn)式，再將拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；第（2）問中，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再與優(yōu)秀成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較即可．

3 結(jié)語

通過以上實(shí)例可以看出，二次函數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用．在解決實(shí)際問題時(shí)，可以通過建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解問題的最優(yōu)解．在建立二次函數(shù)模型的過程中，需要根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，合理設(shè)未知數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行分析求解．同時(shí)，也應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活是緊密聯(lián)系的，只有將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際生活中，才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用．總之，初中二次函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際生活中都具有重要的地位．通過掌握二次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，采取有效的應(yīng)用策略，可以更好地理解和應(yīng)用二次函數(shù)，為今后的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

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