例談遞推思想在初中數學解題中的應用

【摘要】遞推思想是一種重要的數學思維方式，它通過逐步推導和歸納，將復雜的問題分解為簡單的問題，從而找到解決問題的有效方法．在初中數學解題中，遞推思想的應用廣泛，本文對遞推思想在初中數學解題中的應用進行探討．

【關鍵詞】遞推思想；初中數學；解題技巧

1 依據遞推思想探究數字規律

例1 觀察下列等式：已知：a2－b2＝（a-b）（a+b）；a3－b3＝（a-b）（a2+ab+b2）；a4－b4＝（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）；a5－b5＝（a-b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）……小明發現其中蘊含著一定的運算規律，并利用這個運算規律求出了式子“29－28+27－26+…+2－1”的值，這個值為 .

解析 由題意，得29+28+27+26+…+2+1=（2-1）（29+28+27+26+…+2+1）=210－1，

即29+28+27+26+…+2+1=210－1①，

設29－28+27－26+…+2－1=k②，

由①+②得：2×29+2×27+…+2×2=210－1+k，

210+28+…+22=210－1+k，

即28+26+…+22+1=k③，

由①-②得：2×28+2×26+…+2×22+2×1=210－1－k，

即29+27+…+23+2=210－1－k④，

由④-③得：29－28+27－26+…+2－1=210－1－k－k，

所以210－1－k－k=k，

解得：k=210－13．

評析 本題考查了對數字規律的探究、平方差公式的運用、等式的性質、解方程，根據題目中給定的等式，根據遞推法探究其規律，求得29+28+27+26+…+2+1=210－1是解題的關鍵．

2 依據遞推思想探究坐標的規律性

例2 如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線OP與x軸的夾角為30°，點B1在x軸上，且OB1=2，過點B1作B1A1⊥OP交OP于點A1，以A1B1為邊在A1B1右側作等邊三角形A1B1C1；過點C1作OP的垂線分別交x軸、OP于點B2，A2，以A2B2為邊在A2B2的右側作等邊三角形A2B2C2，過點C2作OP的垂線分別交x軸、OP于點B3，A3，以A3，B3為邊在A3B3的右側作等邊三角形A3B3C3，…，按此規律進行下去，則點A3的縱坐標為 ，點A2021的縱坐標為 ．

解析 因為B1A1⊥OP，

所以∠OA1B1=90°，

因為∠POB4=30°，OB1=2，

所以△A1B1C1的邊長A1B1=12OB1=1，

OA1=22－12=3，

所以點A1的縱坐標為12OA1=32，

因為等邊三角形A1B1C1，

所以A1B1=A1C1=1，∠B1A1C1=60°，

因為∠OB1A1=60°，

所以∠B1A1C1=∠OB1A1，

所以A1C1∥x軸，

所以∠A2A1C1=∠POB4=30°，

因為∠A1A2C1=90°，

所以A2C1=12，A1A2=32，

所以OA2=OA1+A1A2=3+32=332，

所以點A2的縱坐標為12OA2=334，A2C2=A2B2=33OA2=32，

同理得：A2A3=334，

所以OA3=OA2+A2A3=332+334=934，

所以點A3的縱坐標為12OA3=938，…，

所以點An的縱坐標為2n+132n，

所以點A2021的縱坐標為22021+1322021．

評析 本題考查等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是根據遞推法探究點A1，A2，A3…的縱坐標的規律，屬于中考常考題型．根據特殊直角三角形的性質，求出OA1，OA2，OA3，…，可得點A1，A2，A3的縱坐標，從而得出An的縱坐標，即可求出答案．

3 依據遞推思想探究邊長的規律性

例3 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=33x－33與x軸交于點B1，以OB1為邊長作等邊△A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊△A2A1B2，過點A2作A1B2平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊△A3A2B3，…，則等邊△A2016A2017B2017的邊長是 ．

解析 因為直線l：y=33x－33與x軸交于點B1，

所以B11，0，OB1=1，△OA1B1 邊長為1，

因為直線l：y=33x－33與x軸夾角為30°，∠A1B1O=60°，

所以∠A1B1B2=90°，

因為A1B2∥x軸，

所以∠OB1A1=∠B1A1B2=60°，

所以∠A1B2B1=30°，

所以A1B2=2A1B1=2，△A1B2A2的邊長為2，

同理可得：A2B3=2A2B2=22，△A2B3A3的邊長為22，

由此變化規律可得：△AnAn+1Bn+1的邊長是2n，

所以△A2016A2017B2017的邊長為22016．

評析 本題主要考查了遞推思想和等邊三角形性質的運用，解決這類問題的關鍵是根據等邊三角形的性質，運用遞推法找出規律，求得△AnAn+1Bn+1的邊長為2n．先從特殊得到一般探究規律后，利用規律解決問題即可．

4 結語

遞推思想在初中數學解題中的應用廣泛，通過逐步推導和歸納，可以將復雜的問題分解為簡單的問題，從而找到解決問題的有效方法．在解題過程中，識別問題中的遞推關系、逐步推導和歸納總結是解題的關鍵．熟練掌握遞推思想不僅有助于提高解題效率，還能培養學生的邏輯思維能力．教師在教學中應注重培養學生的遞推思想，通過不斷地習題練習和引導，使學生逐漸掌握這種重要的數學思維方式．同時，學生也應該在平時的學習中多加練習，通過解決實際問題來提高自己的解題能力和邏輯思維能力．