例析二元一次方程組的求值題

【摘要】二元一次方程組是初中代數教學的核心內容，也是方程知識的基礎.二元一次方程組求值中，方程組類型不同，求解思路也有所不同，對學生的數學知識、數學思維和數學思想均提出了更高的要求.本文基于二元一次方程組解題實踐，對常見的解題方式展開探究.

【關鍵詞】初中代數；二元一次方程組；解題

二元一次方程組作為初中代數的主要內容之一，在考試中所占據的分值比例比較高.同時，二元一次方程組還是學生學習方程知識、學習二次函數知識的基礎.對此，在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，也提出了明確的教學要求，倡導教師應將教學重點放到二元一次方程組的解法和應用上.鑒于此，針對初中學生在解二元一次方程組時遇到的困難，積極開展解題教學，使得學生通過日常解題訓練，逐漸掌握二元一次方程的求值技巧.

1 消元解題法

在二元一次方程組求值中，消元法尤為常見，主要是同一未知數相等、相反時，即可通過兩個方程式相加或者相減進行消元、解答[1].

例1 如果m為正整數，關于x，y的方程組mx+2y=10①3x－2y=0②有整數解，求m2的值？

解析 在解答該方程組時，即可通過觀察發現，兩個方程式中未知數y的系數相反.因此，即可通過消元法進行解答.

①+②得：（m+3）x=10.

因為m為正整數，因此x=10m+3，

將x=10m+3代入到②中，得出y=15m+3.

又因為x，y為整數，m為正整數，

所以x，y都為正整數.因此，能整除10、15的正整數為5，

因此m+3=5，即m=2，因此m2=4.

2 代入解題法

代入法是解答二元一次方程的基礎，多數學生均可熟練使用.具體來說，在運用代入法解題時，學生應從方程組中選擇出系數相對比較簡單的方程進行變形，之后再代入到另一個方程式中進行求解[2].

例2 若方程組7x－8y=3①，2y+3（7x－8y）=11②，求代數式14x－15y的值？

解析 在解這一方程組時，經觀察即可發現，方程②中含有方程①的元素.因此，在解答問題時，即可采用整體代入的方式，將方程①代入到方程②中進行求解.

將方程①代入到方程②中，即可得出2y+9=11，則y=1，

因此14x－15y=2（7x－8y）+y=2×3+1=7.

3 換元解題法

換元法又被稱為設參數法，在解答二元一次方程組時也比較常見，主要是先假定一個位置參數，以此表示二元一次方程組中的未知數，進而完成題目的解答.

例3 解方程組2（m+n）－3（m－n）=11，3（m+n）+5（m－n）=－12.

解析 在本方程組中，如果直接進行解答，需要先代入或者加減，整個過程相對比較麻煩.鑒于此，即可根據本題目的特點，采用換元法的方式進行解答.

設m+n=x，m－n=y，之后將其代入到方程組中，即可得出：2x－3y=11，3x+5y=－12，

之后解方程組得出x=1，y=－3，

進而可得出關于m，n的方程組m+n=1，m－n=－3，

最終解方程組得m=－1，n=2.

4 其他解題法

在二元一次方程組求解中，無論是哪一方法，其本質都體現了轉化思想，學生需要認真觀察方程組的特點，選擇最佳的解題方法[3].

例4 解方程組x3+y9=10①，y3+x9=10②.

解析 這一方程組比較特殊，將方程①（②）中x，y兩個未知參數對換之后，就會得到方程②（①）.因此，這兩個方程處于等價狀態.針對這一類型的方程組，即可選擇對稱法進行解答：令x=y，之后將其代入到方程①中，即可得出x=y=22.5.

例5 若2023x－2024y=2045①，2024x－2023y=2002②，

求x+21+y－22的值？

解析 在這一題目中，由于x，y的系數和常數項數值比較大，直接采用代入法或者消元法解答，學生將面臨著較大的困難.鑒于此，即可從新的視角進行解答.經分析得知，x的系數和為4047，y的系數和為-4047，常數項的和為4047.因此，即可采用重組方程組的思路進行解答：

①+②得出：4047x－4047y=4047，

即：x－y=1③，

②－①得出：x+y=－43④，

由③④聯立方程組，即可得出x=－21，y=－22，

因此x+21+y－22=0+44=44.

5 結語

綜上所述，二元一次方程組是初中代數教學的重中之重，也是學生學習方程知識的基礎.鑒于此，教師在日常解題教學中，不僅僅要加強二元一次方程組基本概念教學，還應基于典型的練習題展開解題訓練，使得學生在多角度解決二元一次方程組的過程中，逐漸提升自身的數學解題能力.

參考文獻：

[1]張忠偉.巧解與二元一次方程組有關的求值題[J].中學生數學，2024（08）：2-3.

[2]顧金峰.利用二元一次方程組的解的定義求值[J].現代中學生（初中版），2023（16）：37-38.

[3]于志洪.二元一次方程組的九種特殊解法[J].初中學生學習指導，2021（32）：22-23.