幾何背景下線段最值問題的求解方法

【摘要】本文通過對垂線段最短問題、將軍飲馬問題和旋轉最值問題等的研究，結合相關定理和性質，深入探討在幾何背景下線段最值問題的求解策略．通過豐富的實例詳細闡述了這些方法的應用，旨在幫助讀者更好地理解和掌握求解線段最值問題的技巧．

【關鍵詞】初中數學；線段最值；求解方法

在數學的幾何領域中，線段最值問題是一個重要且常見的研究課題．這類問題不僅在數學理論中具有重要地位，還在實際生活中有著廣泛的應用．因此，掌握線段最值問題的求解方法對于提高數學素養和解決實際問題的能力具有重要意義．

1 垂線段最短問題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，∠BAC=90°，其中D是斜邊BC上的動點，過點D分別作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，連接NM，那么線段MN的最小值為（ ）

（A）125. （B）52. （C）3. （D）4.

解析 因為∠BAC=90°，且AB=3，AC=4，

所以BC=AB2+AC2=5.

因為DM⊥AB，DN⊥AC，

所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，

所以四邊形DMAN是矩形，可得MN=AD.

根據垂線段最短可知，AD⊥BC時AD最小.

此時，SABC=12AB×AC=12BC×AD，

所以AD=AB×ACBC=125，MN的最小值為125，

所以選項（A）正確．

點評 本題考查的主要知識點有：矩形的性質和判定的應用、垂線段最短、勾股定理的應用，熟練掌握這些知識點是解決本題的基礎．本題首先根據勾股定理可以求出BC，然后證明DMAN為矩形，進一步得到MN=AD，最后由垂線段最短即可解題．

2 將軍飲馬問題

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點C在直線MN上，∠BCN=60°，點P為MN上一動點，連接AP、BP．

（1）使AP+BP取最小值的動點P的位置在點C的 側（填“左”或“右”）；

（2）當AP+BP的值最小時，∠CBP= ．

解析 （1）如圖3所示，作點B關于直線MN對稱的點D，再連接AD，交直線MN于點P，此時AP+BP有最小值，此時點P的位置在點C的左側．

（2）當AP+BP的值最小時，

因為點B和點D關于直線MN對稱，

所以∠BCN=∠DCN=60°，

BC=DC，∠CBP=∠D，

所以∠BCD=∠BCN+∠DCN=120°.

因為∠ACB=90°，

所以∠ACD=360°－∠ACB－∠BCD=150°.

因為AC=BC，BC=DC，

所以AC=DC，

所以∠CAD=∠D=15°，

所以∠CBP=∠D=15°．

點評 本題考查了求將軍飲馬問題、軸對稱的性質、等腰三角形的判定與性質等知識．第（1）問中，作點B關于直線MN對稱的點D，連接AD，交直線MN于點P，此時AP+BP有最小值，即可得到點P的位置在點C的左側；第（2）問中，當AP+BP的值最小時，根據軸對稱的性質得到∠BCD=120°，進而得到∠ACD=150°，再證明AC=DC，得到∠CAD=∠D=15°，即可得到∠CBP=15°．

3 旋轉最值問題

例3 如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M點為矩形內一點，E點為BC邊上任意一點，那么MA+MD+ME的最小值為 ．

解析 將△AMD繞點A逆時針旋轉60°得到△AM′D′，如圖5.

由旋轉的性質可知：MD=M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，

所以AM=MM′，

所以MA+MD+ME=D′M′+MM′+ME，

所以D′M′、MM′、ME共線時距離和最短.

由于點E也為動點，

所以當D′E⊥BC時距離和最短，如圖6，D＇E與AD交于點G，

此時易求得D′E=D′G+GE=4+33，

所以MA+MD+ME的最小值為4+33．

點評 本題主要考查了軸對稱、矩形的性質、旋轉變換、等邊三角形等知識點，屬于中考填空題中的壓軸題．添加常用輔助線、構造等邊三角形解決問題、用轉化的思想思考問題是解決本題的關鍵，本題中，△AM′D′是將△AMD繞點A旋轉得到的，所以MD=M′D′，在等邊三角形ADD′和AMM′中，容易得出AM=MM′，進而可得MA+MD+ME=D′M+MM′+ME，容易得：當D′E⊥BC時距離和最短，進而得出D′E，即為MA+MD+ME的最小值．

4 結語

幾何背景下線段最值問題的求解需要綜合運用多種數學知識和方法．通過深入理解相關定理和性質，結合具體的問題情境，選擇恰當的求解策略，能夠有效地解決這類問題．在學習和研究過程中，不斷積累經驗，培養數學思維和創新能力，將有助于更好地應對各種數學挑戰，并將數學知識應用于實際生活中．同時，隨著數學的不斷發展和創新，線段最值問題的研究也將不斷深入和發展，為解決更復雜的數學和實際問題提供有力的支持．

參考文獻：

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