數(shù)形結(jié)合方法與怎樣解題表的互幫互助

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)數(shù)形結(jié)合方法的重要性.喬治·波利亞的“怎樣解題表”經(jīng)過眾多學(xué)者驗證，對提高學(xué)生解題能力效果顯著，本文借助“怎樣解題表”研究了3類數(shù)形結(jié)合的題目，期望給一線教師提供教學(xué)幫助.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；波利亞解題理論；數(shù)學(xué)解題

1 引言

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”學(xué)者們基于不同角度對數(shù)形結(jié)合方法有不同的認識.喬治·波利亞在《怎樣解題》一書中詳細介紹了解題的一般過程，即“怎樣解題表”，分為四個方面：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧.本文將理解題目與擬定方案合并，基于“怎樣解題表”研究用數(shù)形結(jié)合方法解決問題.

2 “怎樣解題表”在數(shù)形結(jié)合方法中的應(yīng)用

2.1 由數(shù)到形

例1 已知x2+y2=4，求2－y+5－2x的最小值.

2.1.1 擬訂方案

由已知可得到一個圓，問題與距離有關(guān)，本題轉(zhuǎn)化為求三點距離之和最小即三點共線，通過相似三角形的性質(zhì)，將線段CA轉(zhuǎn)化為線段CD，進而轉(zhuǎn)為三點共線問題.

2.1.2 執(zhí)行方案

由x2+y2=4，畫一個圓心在原點，半徑為2的圓（如圖1）.

2－y+5－2x

=1－y+1+4－2x+1

=14x2+14y2－y+1+

x2+y2－2x+1=12x2+y－22+

x－12+y2.

轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=4上一點C（x，y）到點B（0，2）和點A（1，0）的距離之和的最小值，因為△OCA相似于△ODC，相似比為2，所以CA=12CD，2－y+5－2x=12CB+CA=12（CB+CD）≥12BD=5.

2.1.3 回顧

本題使用的是數(shù)形結(jié)合中的由數(shù)到形，通過對數(shù)量關(guān)系的分析畫出圖像，然后解答問z55iRllGqvKAVQl9S/zcRhTrc20mN98jGZuxiO+lGrs=題.

2.2 由形到數(shù)

例2 如圖2，AC是四邊形ABCD外接圓O的直徑，AB=BC，∠DAC=30°，延長AC到E使得CE=CD，作射線ED交BO的延長線于點F，BF交AD于點G，若AO=4，求△FGD的周長.

2.2.1 擬訂方案

本題需借助圓的知識解決.連接OD，由已知得△DOC是等邊三角形，可得EF是圓的切線，進一步得所求三角形△FGD是等邊三角形，只需求解一條邊，即可得到三角形的周長.

2.2.2 執(zhí)行方案

如圖3，連接OD，因為AC是直徑，∠DAC=30°，所以∠ADC=90°，∠ACD=60°.因為CD=CE，所以∠E=∠CDE=30°.因為CO=DO，所以∠ODC=60°，所以△DOC是等邊三角，∠COD=60°，所以∠ODE=∠CDE+∠ODC=90°.

因為OD是半徑，所以EF是圓O的切線，因為BA=BC，AO=CO，所以BOAC，∠AOG=∠EOF=90°.因為∠DAC=∠E=30°，所以∠AGO=∠F=60°，∠F=∠FGD=60°，所以△FGD是等邊三角形，F(xiàn)D=FG=DG.

因為OA=4，∠DAC=30°，∠ADC=∠AOG=90°，所以AC=8，DC=12AC=4，AD=3DC=43，AG=2OG，AO=3OG，所以O(shè)G=433，AG=833，所以DG=433，△FGD的周長為3DG=43.

2.2.3 回顧

本題使用的是數(shù)形結(jié)合中的由形到數(shù)，通過圖像分析和作輔助線，發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)量關(guān)系，進而回答問題.

2.3 雙向轉(zhuǎn)換

例3 如圖4，拋物線y=12（x－3）2－1與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D.

（1）試求點A、B、D的坐標(biāo)；

（2）連接CD，過原點O作OECD與拋物線的對稱軸交于點E，求OE的長.

2.3.1 擬訂方案

第一問令拋物線的解析式等于0，點A在點B的左側(cè)，可得A、B的坐標(biāo)，由拋物線解析式可得頂點D的坐標(biāo).第二問通過作輔助線以及三角形相似可求出OE的長.

2.3.2 執(zhí)行方案

（1）由y=0得12（x－3）2－1=0，解得x1=3－2，x2=3+2.又點A在點B的左側(cè)，所以A點坐標(biāo)為（3－2，0），B點坐標(biāo)為（3+2，0）.由拋物線解析式可得D（3，－1）.

（2）如圖5，過點D作DGy軸于點G，設(shè)CD與x軸交于點F，對稱軸與x軸交于點M.由題意得，∠DCG+∠COF=90°，∠EOM+∠COF=90°.

所以∠DCG=∠EOM，所以△DCG相似于△OME，CGOM=DGEM，又y=12（x－3）2－1與y軸交于點C，所以C（072），CG=92，即32=3EM，EM=2，E點坐標(biāo)為（3，2），OE=32+22=13.

2.3.3 回顧

本題使用的是數(shù)形結(jié)合中的雙向轉(zhuǎn)換，既包括由數(shù)到形，也包括由形到數(shù).當(dāng)已知拋物線的解析式求拋物線與某條線的交點、頂點時，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)換成圖像，進行求解；求復(fù)雜圖形中線段的長度可以構(gòu)造已有認知結(jié)構(gòu)中的圖形，借助圖形的性質(zhì)，解決數(shù)的問題.

3 結(jié)語

隨著新一輪課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)題目考查的內(nèi)容既包括知識，更看重能力，因此教師在講解題目時應(yīng)當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐步提升學(xué)生解決問題的能力.

參考文獻：

[1]王元.華羅庚科普著作選集[M].上海：上海教育出版社，1984.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

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