分類討論，解絕對值

【摘要】絕對值是學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的第一個(gè)難點(diǎn)，涉及絕對值的代數(shù)推理題層出不窮，且有一定難度.常見題型是利用絕對值意義、性質(zhì)進(jìn)行條件求值（最值）、化簡求值、解方程等，我們需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行分析演算，進(jìn)行代數(shù)推理.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分關(guān)討論；解絕對值

1 求最值

例1 對于任意有理數(shù)x，代數(shù)式x－3+x+6何時(shí)有最小值？

解析 x－3在數(shù)軸上的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)（3）的距離.x+6=x－（－6）表示動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)（－6）之間距離.x－3+x+6表示動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)（3）與定點(diǎn)（－6）的距離之和，本題并求這個(gè)距離之和的最小值.

當(dāng)x＜－6時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)P（x）在定點(diǎn)（－6）左側(cè)時(shí)，原式=－x+3－x－6=3－2x＞9；

當(dāng)－6≤x≤3時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)P（x）在定點(diǎn)（－6）與定點(diǎn)（3）之間時(shí)，原式=－x+3+x+6=9；

當(dāng)x＞3時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)P（x）在定點(diǎn)（3）右側(cè)時(shí)，原式=x－3+x+6=3+2x＞9，所以－6≤x≤3時(shí)，x－3+x+6有最小值3.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) x－a+x+b（a＜b）在數(shù)軸上表示動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)（a）與定點(diǎn)（b）的距離之和，當(dāng)a≤x≤b時(shí)，其最小值為b－a.

2 解方程

例2 若x+4+x－2=10，求x的值.

解析 本題運(yùn)用零點(diǎn)分段法求解，先確定零點(diǎn)：當(dāng)x+4=0時(shí)，x=－4；當(dāng)x－2=0時(shí)，x=2.這樣x的不同取值分成三種情況：x＜－4，－4≤x＜2和x≥2.

（1）當(dāng)x＜－4時(shí)，原方程化簡為：－（x+4）－（x－2）=10，解得x=－6；

（2）當(dāng)－4≤x＜2時(shí)，原方程可化簡為：x+4－x+2=10，無解；

（3）當(dāng)x≥2時(shí)，原方程化簡為：x+4+x－2=10，解得x=4.

綜上，x=－6或4.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 零點(diǎn)即令絕對值等于0的未知數(shù)的值.解決此類問題先找零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)分段，確定不同的取值范圍，然后根據(jù)取值范圍和絕對值的意義進(jìn)行化簡，并解方程.

3 化簡求值

例3 有理數(shù)a，b，c滿足a+b+c=a－b+c，且b≠0，則a－b+c+1－b－2的值為.

解析 化簡求值前需要去掉每個(gè)絕對值符號，那么要對每個(gè)絕對值內(nèi)的每個(gè)式子進(jìn)行性質(zhì)符號分析.

（1）當(dāng)a+b+c≥0時(shí)，a+b+c=a+b+c，則已知等式化為a+b+c=a－b+c，即b=－b，所以b=0，與題目中“b≠0”矛盾；

（2）當(dāng)a+b+c≤0時(shí)，a+b+c=－（a+b+c），那么已知等式化為：－a－b－c=a－b+c，則－a－c=a+c，即a+c=0，將其代入已知等式a+b+c=a－b+c得b=－b，又b≠0，所以b＜0，

所以原式=0－b+1－b－2=1－b+b－2=－1.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 要化簡絕對值需要分析每個(gè)絕對值符號內(nèi)的式子的性質(zhì)符號，不能確定其正負(fù)的，要進(jìn)行分類討論.

例4 若a，b，c均為整數(shù)，且a－b+c－a=1，則a－c+c－b+b－a的值為.

解析 因?yàn)閍，b，c均為整數(shù)，而a－b≥0，c－a≥0，a－b為非負(fù)整數(shù)，c－a為非負(fù)整數(shù)，那么寫成0與1的和的形式，即a－b=1，c－a=0或a－b=0，c－a=1.

（1）當(dāng)|a－b|=1，|c－a|=0時(shí)，c=a，a=b±1，

所以原式=0+|a－b|+|b－a|=0+1+1=2；

（2）當(dāng)a－b=0，c－a=1時(shí)，a=b，

所以原式=a－c+c－a+b－a=1+1+0=2.

綜上，原式＝2.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 若m，n為整數(shù)，且m+n=1，由絕對值的非負(fù)性及兩個(gè)整數(shù)之和為整數(shù)可知，m＝0，n＝1或m=1，n=0.對本題還可以變式，如：若a，b，c均為整數(shù)，且a－b2025+c－a2024=1，則a－c+c－b+b－a的值為.（本題解答過程與上面解答完全一致）.

4 條件求值

例5 已知m=|a+b|c+2|b+c|a+3|c+a|b，且abc＞0，a+b+c=0.設(shè)m共有x個(gè)不同的值，若在這些不同的m值中最，大的為y，則x+y=（ ）

（A）4. （B）3. （C）2. （D）1.

解析 因?yàn)閍+b+c=0，則a+b=－c，b+c=－a，c+a=－b，

那么m=|－c|c+2|－a|a+3|－b|b=cc+2aa+3bb，

而a+b+c=0，且abc＞0時(shí)，則a，b，c中只能是：兩負(fù)一正.

（1）當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，則m=－1+2×1+3×（－1）=－2；

（2）當(dāng)b＞0，a＜0，c＜0時(shí)，則m=－1+2×（－1）+3×1=0；

（3）當(dāng)c＞0，a＜0，b＜0，則m=－1+2×（－1）+3×（－1）=－4.

所以m值中最大的y=0，又x=3，所以x+y=3.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 利用已知條件，將每個(gè)較復(fù)雜的分式轉(zhuǎn)化成稍簡單的分式：aa，bb，cc，又每個(gè)分式前的系數(shù)因數(shù)相同，需對a，b，c的性質(zhì)符號分別分類討論，再進(jìn)行求值.

例6 已知a，b，c，d都為有理數(shù)，abcd＞0，a+b+c+d＜0，求aa+bb+cc+dd+|abcd|abcd的值.

解析 由abcd＞0，則這四個(gè)數(shù)可以是同為正、同為負(fù)、兩正兩負(fù)，又a+b+c+d＜0，又要排除“同為正”的情況，所以只有“四個(gè)同為負(fù)”和“兩正兩負(fù)”的情形.

（1）若a，b，c，d同為負(fù)，原式＝－1+（－1）+（－1）+（－1）+1=－3；

（2）若a，b，c，d中兩個(gè)大于0，另兩個(gè)小于0.

令a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且使a+b＜c+d，

原式=1+1+（－1）+（－1）+1=1.

若a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a+b＞c+d時(shí)，不合題意，舍去.

綜上，原式＝1或－3.

經(jīng)驗(yàn)總結(jié) 根據(jù)已知條件中的“四個(gè)數(shù)之積為正”“四個(gè)數(shù)之和為負(fù)”，我們要列舉所有可能情況，再根據(jù)各種情況進(jìn)行化簡求值.

5 結(jié)語

涉及絕對值的化簡問題一般分為三步：（1）利用絕對值的定義或性質(zhì)判斷所含字母或式子的符號，一般要分類討論；（2）依據(jù)去絕對值法則去掉絕對值；（3）根據(jù)題目意圖求代數(shù)式的值或化簡代數(shù)式.