復合函數的奇偶性與單調性探究

摘要：復合函數在高中知識學習中具有非常重要的地位。文章主要通過高三一輪復習中的三角函數等典型簡單例題分析，得出函數通過加減乘除以及復合等運算后的新函數可直接判斷奇偶性及單調性的規律，方便解不等式及最值等相關問題。

關鍵詞：函數；奇偶性；單調性；復合函數

中圖分類號：G633.6""文獻標識碼：A""文章編號：1673-8918（2024）48-0110-03

一些較復雜的函數求奇偶性以及單調性的問題，需要通過分解成幾個已知單調性、奇偶性的函數之間的運算直接得出結論。文章通過簡單的舉例來得到相關規律，便于學生總結得出復合函數的性質。

一、預備知識

（1）奇函數是指定義域關于原點對稱的函數，如果定義域內任意一個自變量x，都有代數式f（x）=-f（-x）成立，那么f（x）叫作奇函數，且如果定義域包括x=0，則有f（0）=0。

（2）偶函數是指定義域關于原點對稱的函數，如果定義域內的任意一個自變量x，都有代數式f（x）=f（-x）成立，那么f（x）叫作偶函數。

（3）單調遞增函數是指對定義域D內的任意兩個數x1gt;x2都有f（x1）gt;f（x2），則稱f（x）是在定義域D上的是單調遞增函數。

（4）單調遞減函數是指對定義域D內的任意兩個數x1gt;x2都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）是在定義域D上的是單調遞減函數。

二、函數的奇偶性

（一）形如F（x）=f（x）±g（x）的奇偶性（默認定義域關于原點對稱）

1.討論F（x）=｜x3｜±cosx的奇偶性（偶函數±偶函數）

分析：由于F（-x）=｜-x3｜+cos（-x）=F（x），根據偶函數的定義可得原式是偶函數。

2.同理討論F（x）=2x±sinx的奇偶性（奇函數±奇函數）

3.同理討論F（x）=sinx±sinx2的奇偶性（奇函數±偶函數）

通過以上簡單舉例可以得出在函數進行加減法的運算中，只有全是偶函數進行加減運算時，才能得到偶函數；只有全是奇函數進行加減運算時，才能得到奇函數；如果出現奇函數偶函數同時出現加減運算時，整體函數將不具備奇偶性，即函數非奇非偶。

（二）形如F（x）=f（x）×g（x）的奇偶性（默認定義域關于原點對稱）

1.討論F（x）=x3sinx的奇偶性（奇函數×奇函數）

分析：F（-x）=（-x）3sin（-x）=F（x），由偶函數的定義可得原式是偶函數。

2.同理討論F（x）=x2sinx的奇偶性（偶函數×奇函數）

3.同理討論F（x）=x2sinx2的奇偶性（偶函數×偶函數）

根據以上例題可以發現，當基本初等函數相乘時得到的新函數中，只有是一個奇函數和一個偶函數相乘時其結果是奇函數，其余兩種情況兩個奇函數相乘或者兩個偶函數相乘得到的都是偶函數。

（三）形如F（x）=f（g（x））的奇偶性（默認定義域關于原點對稱）

1.討論F（x）=sinx3（奇（奇））

分析：F（-x）=sin（-x）3=-sinx=-F（x），由奇函數的定義可得原式是奇函數。

2.同理討論F（x）=sinx2的奇偶性（奇（偶））

3.同理討論F（x）=cosx3的奇偶性（偶（奇））

4.同理討論F（x）=cosx2的奇偶性（偶（偶））

同樣地，類似上面的形式可拓展到多個基本初等函數復合得到的函數奇偶性。不管偶函數出現的個數，只有內外層函數全都是奇函數復合時，得到的復合函數才是奇函數；只要有一個偶函數出現時，復合的結果就都是偶函數。

三、函數的單調性

（一）形如F（x）=f（x）±g（x）函數加減運算的單調性

例題1已知函數f（x）=3x+tanx，討論函數f（x）在-π2，π2的單調性。

分析：首先觀察定義域，正切函數要求自變量x≠π2+kπ（k∈Z），而題目給出的取值范圍下函數具有意義，可以討論單調性。并且給定區間上函數都隨自變量的增大而增大，所以加法運算結果還是增函數，即增函數加增函數是增函數。

變式：已知函數f（x）=3x-tanx，同理討論函數f（x）在-π2，π2的單調性。

變式：已知函數f（x）=-3x-tanx，討論函數f（x）在-π2，π2的單調性。

變式：已知函數f（x）=-3x+tanx，討論函數f（x）在-π2，π2的單調性。

由此上述變式可得，形如F（x）=f（x）±g（x）函數經過加減運算后的單調性，只有所有函數在給定區間上同時單調遞增時，才可以下結論整個函數單調遞增。同理，所有函數在給定區間上同時單調遞減時，才可以下結論整個函數單調遞減。如果增減函數同時出現，并不能對函數的增減性直接下結論。

（二）形如F（x）=f（x）×g（x）函數乘法運算的單調性

例題2已知函數f（x）=ex·sinx。求函數f（x）在區間-π2，0上的最值。

解：由于f′（x）=ex（sinx+cosx），令f′（x）gt;0，即sinx+cosxgt;0，x∈-π4，0。

令f′（x）lt;0，即sinx+cosxlt;0，x∈-π2，-π4，∴f（x）在-π2，-π4單調遞減，

f（x）在-π4，0單調遞增，∴f（x）min=f-π4=-22e-π4，f（0）=0，f-π2=-e-π2，∴f（x）max=0。

由此可見，形如F（x）=f（x）×g（x）復合函數的單調性與f（x），g（x）原本的單調性無關。注意不能用同增異減去判斷。這里也特別注意函數乘除法的運算與復合函數的區別。

（三）形如F（x）=f（g（x））復合函數的單調性

例題3函數f（x）=log2（-x2+ax-6）（agt;0，a≠1）的單調減區間是"""。

分析：由于f（x）=log2（-x2+ax-6）（agt;0，a≠1），令t=-x2+ax-6，真數滿足是正數，則令tgt;0時，得x∈（1，6）。再由于外層函數是對數函數，底大于一，所以外層函數是單調遞增函數。想保證復合之后的函數是單調遞減的，保證內函數單調遞減就可以。又由于t=-x2+ax-6是一個二次函數，單調性在對稱軸處發生變化，可解出對稱軸是x=72，

且一元二次函數是開口朝下的拋物線，在x∈1，72時單調遞增，在x∈72，6時單調遞減。

綜合內外層函數，同增異減的原則，f（x）在x∈72，6時單調遞減。

例題4已知f（x）=4sinx+π2sinx+π3-3，求函數f（x）的單調遞減區間。

解：f（x）=4sinx+π2sinx+π3-3=4cosxsinx+π3-3

=4cosxsinxcosπ3+cosxsinπ3-3=2sinxcosx+23cos2x-3=sin2x+3（cos2x+1）-3=sin2x+3cos2x=2sin2x+π3

令t=2x+π3而t關于x是單增的，

要求f（t）=2sint是單減的，則t屬于正弦函數的遞減區間，

有2kπ+π2≤t≤2kπ+3π2即2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，

則函數f（x）的單調遞減區間為：kπ+π12，kπ+7π12。

例題5函數y=sinπ4-2x的單調增區間是"""。

解：函數y=sinπ4-2x，令t=-2x+π4而t關于x是單減的，

要求y（t）單增，則t屬于正弦函數的遞減區間，

即π2+2kπ≤2x-π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ，k∈Z，所以函數y=sinπ4-2x的增區間是kπ+38π，kπ+78π（k∈Z），

故答案為：kπ+38π，kπ+78π（k∈Z）。

（四）形如F（x）=f（x）g（x）復合函數的單調性

例題6已知函數f（x）=xlnx，若關于x的方程［f（x）］2+af（x）+a-1=0有且僅有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍是"""。

解：因為f（x）=xlnx，則f′（x）=lnx-1（lnx）2，

當0lt;xlt;1或1lt;xlt;e時，f′（x）lt;0，當xgt;e時，f′（x）gt;0，

所以f（x）在（0，1）和（1，e）上單調遞減，在（e，+∞）上單調遞增，

且當x→0時，f（x）→0，f（e）=e，故f（x）的大致圖像如圖1所示：

關于x的方程［f（x）］2+af（x）+a-1=0等價于［f（x）+1］［f（x）+a-1］=0，

即f（x）=-1或f（x）=1-a，

由圖可得，方程f（x）=-1有且僅有一解，則f（x）=1-a有兩解，所以1-agt;e，解得alt;1-e。

分式函數在探討單調性時，首先要關注定義域，分母為零的自變量要排除在外。不能只看某個區間上的導函數的正負號，還要結合定義域將區間進行分段討論，并且圖像也要分段畫。

四、結論

文章通過將已知性質的簡單函數進行加減乘除以及復合運算，得到了以下有用的結論。函數進行加減運算時，只有全是偶函數加減才能得到偶函數，只有全是奇函數加減才能得到奇函數。如果出現奇函數偶函數混合做加減運算時，整體函數非奇非偶。當多個函數相乘時，奇數個奇函數相乘得到奇函數，偶數個奇函數乘積得到偶函數。多個函數復合后的奇偶性，只有內外層函數都是奇函數才是奇函數，只要有一個偶函數出現時復合的結果就都是偶函數。只有所有函數在給定區間上同時單調遞增時加減運算后，才可以保持單調遞增。同理，所有函數在給定區間上同時單調遞減時，加減運算后才可以下結論整個函數單調遞減。如果給定區間上增減函數同時出現，進行加減運算是不能對結果的增減性直接下結論。復合函數的單調性滿足同增異減的規則。

參考文獻：

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［4］田發勝.應用函數的奇偶性、單調性解題舉例［J］.中學生數理化：高一使用，2022（10）：6.

作者簡介：張靜恩（1996～），女，漢族，河南濮陽人，珠海市第一中學平沙校區，研究方向：高中數學教學。