跨越認知“斷層” 構筑學習序列

【摘 要】學生學習乘法分配律的過程中，常常會出現經歷不完整、理解不到位、聯結不充分等認知“斷層”，造成學生無法靈活運用乘法分配律解決問題。教學時，教師應為學生構筑適合的學習序列，注重表征多元，促進學生經歷完整認知；注重意義建構，促進學生實現知識內化；注重數學聯結，促進學生完成概念抽象。

【關鍵詞】乘法分配律；認知斷層；學習序列

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）41-0051-03

運算律是運算體系中最基本的規律，是簡便計算的重要原理，是提高學生運算能力的基礎，其地位和價值不言而喻。其中，乘法分配律的教學是運算定律教學中的一個重點，對其意義的理解及靈活運用是學生學習的一個難點。

一、乘法分配律的“認知斷層”

從各版本小學數學教材有關“運算律”的內容編排看，都是在學生掌握“整數四則運算法則”的基礎上，單獨安排“運算律”的學習單元，并都將“乘法分配律”放在其他運算律之后，遵從了由易到難的原則。教師在教學中通常采用“不完全歸納”的方式組織學生經歷探索過程，得出乘法分配律（文字表達或者字母等符號表達），即“呈現情境—引出特例—分析比較—提出猜想—舉例驗證—歸納結論—遷移運用”。如此教學，筆者發現學生并不能熟練掌握乘法分配律，特別是難以靈活地遷移運用，用乘法分配律進行簡便計算的錯誤率也是居高不下，究其原因，主要有以下三點。

1.探究過程的“經歷斷層”

乘法分配律是一個充分必要條件，也就是既能從“（a+b）×c”推出“a×c+b×c”，也能從“a×c+b×c”推出“（a+b）×c”，是一個具有“自反性”的真命題。在后續應用乘法分配律簡便計算的過程中也是既有“正用”又有“逆用”，如“（44+4）×25”“36×37+64×37”。學生在探究乘法分配律時（以“蘇教版”為例），先是根據購物的問題情境引出一個特例：（6+4）×24=6×24+4×24，再通過“比一比，等號兩邊的算式有什么聯系？”讓學生發現結果相等，可以用等號連接，然后請學生“寫幾組這樣的算式，算一算，再和同學說說有什么發現。”從而歸納出一般規律。在實際的教學中，我們發現學生“照樣子舉例”時所舉的例子幾乎都是正向的，如“（3+7）×5=3×5+7×5”，學生缺失了反向舉例的過程。同時，教師在歸納出乘法分配律的字母公式時，一般也不去強調乘法分配律可以“正用”，也可以“逆用”。就四年級學生的認知特點而言，所有的學生都能自覺知曉“自反性”是有困難的。學生經歷的缺失導致了學生探究的不完整，造成乘法分配的應用不順暢也就不足為奇了。

2.歸納過程的“理解斷層”

乘法分配律的學習過程是一個學生建構數學模型的過程，是學生在列舉大量實例的基礎上進行合情推理的過程。學生在前期的學習中，經歷了加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律的探索，積累了一定的學習經驗，這些經驗有助于學生概括出乘法分配律的字母表達式。字母表達式只是乘法分配律外在的“形”，對于“從具體到抽象”，“從特殊到一般”的歸納過程，離不開學生對意義的理解。乘法分配律的實質是乘法對加法的分配性質，學生所舉的實例左右兩邊相等的原因都可以用“（a+b）個c分成a個c加b個c”和“a個c加b個c配成（a+b）個c”加以解釋。如“（6+4）×24=6×24+4×24”表示（6+4）個24可以分成6個24加4個24，或者“6個24加4個24”可以配成“（6+4）個24”。教師在實際的教學過程中，如果學生在概括出乘法分配律的字母表達式后就淺嘗輒止，就會缺少對規律的理解內化過程。這種只注重外在的“形”的教學，必然會造成學生只停留在記憶模仿的層面，沒有觸及內容本質的理解，自然也就無法實現知識的遷移。

3.應用過程的“聯結斷層”

小學數學教材中很多內容是按“探索規律+應用規律”的結構編排的，如分數的基本性質，先探索分數的基本性質，再應用分數的基本性質進行通分和約分。乘法分配律等運算律的教材內容編排也同樣如此，先探索乘法分配律，再應用乘法分配律進行簡便計算。在實際的教學過程中，教師常常會發現一部分學生對于應用乘法分配律簡便計算困難重重，特別是解決諸如“99×53+53”這樣的變式練習無從下手。究其原因，是因為探索規律的過程是個“歸納”的過程，雖然部分學生能夠通過探究歸納出乘法分配律，但并不表示所有的學生都能完成抽象，部分學生可能還停留在具體實例的層面。應用規律是一個從一般到特殊的演繹過程，只是機械地去套用“（a+b）×c=a×c+b×c”的字母表達式，當遇到“99×53+53”這樣的變式題時，就會覺得“少了個數”，無從下手。也就是說，探索得出規律后直接進行應用對于學生來說跨度較大，中間的“聯結”環節不可或缺，即將抽象的符號與具體的算式進行對應、切換。如請學生說說“（3+7）×5=3×5+7×5”中的數分別表示的是乘法分配律中的哪個字母，幫助學生在抽象和具體之間建立聯系。

二、構筑適合學生的認知序列

探究、歸納、應用是學生學習乘法分配律的關鍵環節，前一個環節是實現后一個環節的基礎。學生探究充分才可能實現歸納，學生理解歸納的規律后才能走向應用。

1.探究過程應注重表征多元，促進學生經歷完整認知

乘法分配律是一條“數學”的定律，越是“數學”的就越抽象，越是抽象內容越要借助多元表征來支撐理解。正如美國心理學家布魯納、萊什等認為，多元表征能夠提高對概念的表征水平，概念表征水平越高，對概念的理解越全面和深刻，越有利于提高數學學習的水平。因此，在學生探究乘法分配律時，為學生提供豐富的多元表征是必要的。首先，在引出乘法分配律的“特例”時，可以創設多樣化的現實情境，如類似于“蘇教版”教材中“買衣服”的情境，也可以提供如“北師大版”教材中的“鋪墻磚”的情境，既要關注從現實意義的角度，也要考慮從幾何直觀的層面為學生提供多種“支撐”，引出特例進行分析。其次，在學生舉例環節，既要強調“正向”舉例，又要引導學生“反向”舉例，如“（3+7）×5=3×5+7×5，28×6+28×10=28×（10+6）”，讓學生在舉例的過程中體會到，無論是從“左”到“右”，還是從“右”到“左”，所舉的特例都是成立的。盡管這些特例只是乘法分配律的“外在形式”，但“形”越豐富，越有利于學生經歷完整的認知過程，越有利于學生概括和抽象。

2.歸納過程應注重意義建構，促進學生實現知識內化

歸納是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式。盡管歸納需要建立在大量的特例基礎之上，但如果歸納有了“知其所以然”的理解參與，那么結論的建立才會更深入人心，才會真正內化為學生的認知。因此，在歸納乘法分配律的過程中，無論是對特例還是對結論，都需要進行深度解析，幫助學生理解意義，促進知識內化。如“（6+4）×24和6×24+4×24”可以用“=”連接，不僅僅是因為計算結果相等，還可以從“乘法的意義”進行解釋，“（6+4）×24”表示“（6+4）個24”可以分成“6個24”加“4個24”，或者“6×24+4×24”表示“6個24”加“4個24”可以配成“（6+4）個24”。經歷幾個特例的分析，學生自然會將“乘法的意義”遷移到對結論的分析上，即“（a+b）個c分成a個c加b個c”和“a個c加b個c配成（a+b）個c”。組織學生經歷從特殊到一般的過程，而且這一過程始終伴隨著“意義”理解。

3.應用過程應注重數學聯結，促進學生完成概念抽象

聯結是指學生在概念的各種表征之間建立聯系。乘法分配律的表征比較多元，包括學生列舉的特例，如“（3+7）×5=3×5+7×5”，用語言對乘法分配律進行表述，即“兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加”，以及乘法分配律的字母表達式“（a+b）×c”=“a×c+b×c”。各個表征的抽象程度是有層次的，表征逐步“進階”的過程是學生完成概念抽象的過程。抽象不是一蹴而就的，不同學生的抽象程度不同，有些學生已經完成了符號化的抽象，有些學生卻還停留在形象化的具體實例層面。應用過程中的數學聯結是幫助學生完成概念抽象的有效方式。如先讓學生填一填“（42+35）×2=42×□+35×□”，再讓學生說一說“為什么可以這樣填？”然后讓學生比一比“這個等式中的數字相當于乘法分配律的字母表達式中的哪個字母？”通過操作、解釋、對應等認知活動，在具體的算式表征、語言表征、符號表征之間建立聯系，幫助學生逐步抽象，掌握概念。

“數學本身的一個特點就是抽象性，數學概念的發展也是一個抽象的結果。”乘法分配律本質上是一個抽象的數學概念，它不僅是一個簡單的數學公式，更是對數學運算規律的一種深刻理解和表達。然而理解是一個復雜且循序漸進的過程，不可能一蹴而就，而是需要學生在持續的思考和實踐中逐步深化認識并拓展視野。作為教師，只有根據學生的認知水平、思維發展特點及學習經驗，精心設計教學步驟與活動，才能真正構建出真正貼合學生認知特點的數學教學體系。