研究生“數值分析”課程教學改革的探索與實踐

［摘 要］ 在專業課程教學中，融入科學研究和思政元素已成為高等教育改革發展的必然趨勢。數值分析是連接數學、計算機科學、工程科學、計算思維、工程思維和邏輯思維之間非常重要的紐帶，其課程教學所體現出來的數學思想和方法已深入各個學科中。針對研究生“數值分析”課程的特點，實施探究性教學，將科研探索和課程思政融入“數值分析”課程教學中，探索以科研助教學、以教學促科研、知識傳授和價值引領有機結合的課程教學改革路徑，培養研究生的實踐能力、創新能力，使其具有扎實的學術研究功底。

［關鍵詞］ 數值分析；教學模式；探究性學習；創新能力；課程思政

［基金項目］ 2021年度廣東省研究生教育創新計劃項目“數值分析研究生示范課程建設”（2021SFKC030）

［作者簡介］ 鄧秀勤（1966—），女（瑤族），廣東連州人，碩士，廣東工業大學數學與統計學院教授，主要從事機器學習研究；劉冬冬（1989—），男，河南商丘人，博士，廣東工業大學數學與統計學院副教授，主要從事數值代數及其應用研究；徐 杰（1980—），男，浙江紹興人，博士，廣東工業大學數學與統計學院講師（通信作者），主要從事計算數學研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻標識碼］ A " ［文章編號］ 1674-9324（2024）43-0117-04 ［收稿日期］ 2023-09-20

“數值分析”既有純數學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用廣泛性與實際實驗高度技術性的特點，是一門與計算機使用密切結合且實用性較強的數學課程［1］。隨著大數據和人工智能的飛速發展，“數值分析”課程教學面臨著新的挑戰。結合學科特點和專業培養目標開展“數值分析”課程教學改革，受到越來越多教育工作者的關注。

傳統的“數值分析”課程教學主要以知識目標為導向，容易過多地強調理論知識和公式推導，忽視實踐環節，難以有效激發學生的學習興趣，教學效果不是很理想。陳明等［2］結合自主探究式學習的教學五要素，構建了基于自主探究式學習的研究生“數值分析”課程教學策略總體思路，取得了良好的教學效果。郭培昌等［3］在研究生“數值分析”課程中實施了探究性學習，向學生提供了具有科研深度兼具專業特色的科研文獻作為閱讀材料，將科研探索融入教學中，全面提升了學生的知識技能和科研水平。張建華等［4］分析了目前課程教學存在的問題，構建了以計算思維和工程思維為核心要素的“數值分析”課程教學改革方法，為新工科研究生創新能力的培養提供了有效的途徑。筆者結合多年的課堂教學和實踐教學經驗，從課程教學模式、理論和實踐與科研融為一體、課程思政和考核方式四個方面進行了研究及探討。

一、構建以問題驅動為導向的探究性教學

在教學過程中，探究性教學要求學生在教師指導下，通過以自主、探究、合作為特征的學習方式對當前教學內容中的主要知識點進行自主學習、深入探究并進行小組合作交流［5］。在以問題驅動為導向的探究性教學中，以問題發現、問題分析、問題解決為主線，師生共同圍繞“問題”開展自主合作探究學習，體現以“學”為中心的教學理念。以問題驅動為導向的課堂教學圍繞學生的學習需求而展開，打破了傳統教學的“壁壘”，避免了教師“一言堂”，有助于在自主探究、合作交流、問題解決的過程中，激發學生強烈的學習興趣和潛能，鍛煉其獨立思考和科研思維能力。

拉格朗日插值既是數值逼近的重要內容，又是微分方程、數值積分、數值微分的重要基礎。為了讓學生掌握構造拉格朗日插值多項式的核心思想，首先根據互異的兩點唯一確定一條直線的幾何直觀，讓學生由點斜式寫出該直線方程，通過對所構造的一次函數化簡，得出這個一次函數可以表示成兩個線性函數的線性組合，然后啟發學生思考這兩個線性函數有什么性質，進而引出基函數的概念，并重點講清拉格朗日基函數的構造思想。依據這種思路，讓學生構造二次、三次基函數，然后從二次、三次基函數逐漸向高次歸納和推廣。最后，分析討論拉格朗日插值的優缺點，引導學生主動思考、深入探究、自主學習。雖然拉格朗日插值公式結構整齊緊湊、理論分析方便，但公式不具備遞推性，在計算中，當插值點增加或減少時，所對應的基函數需要全部重新計算。為克服這些缺點，就須要構造其他插值方法，從而為講述Newton插值法的構造做鋪墊。此外，可以先舉例說明二次插值比線性插值要精確，隨后提出問題“是不是多項式插值的次數越高越好？”，從而引發學生進一步思考，然后結合Matlab繪制插值曲線來解釋高次拉格朗日插值的龍格現象，進而引出分段線性插值問題，不斷拓展拉格朗日插值多項式的內涵，層層推進，以問題為驅動，引導學生探索嘗試，將科研思想融入教學過程，為今后的科研和學習奠定基礎。

二、強化理論與實踐并重的理念，注重培養學生的創新精神和創新能力

數學不僅是自然科學的基礎，也是人工智能、機器學習、計算機視覺、無人駕駛汽車和數據分析等的技術基礎。“數值分析”是一門集理論和實踐于一體的專業學位課程，具有較強的理論價值和應用價值，是數學和工程科學的紐帶，在培養創新意識、創新能力，以及樹立工程理念上發揮著重要作用。“數值分析”課程最主要的特色便是理論與實踐相結合，數學理論指導算法設計和誤差分析，數值運行結果又驗證理論推導的正確性，在教學中既要重視講透各種數值算法理論，又要重視培養學生的編程計算能力，使學生能將課上所學到的數學算法，通過編程、上機實現，得到計算結果。因為想要編出程序代碼，首先必須透徹理解算法的數學原理，這樣不僅有助于學生理解課堂上的數學理論知識，而且學生可以根據程序代碼的運行結果來比較算法的優劣，直觀感受算法的穩定性、運算量、運算時間等，在程序反復報錯與對錯誤修正中，加深對算法相關數學原理的理解，鍛煉實踐動手能力。譬如，在介紹求解線性方程組的古典迭代法時，布置編程計算題目，分別按照雅可比迭代和高斯—賽德爾迭代格式來求解方程組，讓學生通過實際運算時間來比較兩種算法的漸進收斂速度。這時再與高斯消去法的程序運行結果進行比較，可以使學生直觀感受迭代方法在處理大規模稀疏問題方面的優勢，進而深入分析運算量和存儲量對算法效果的影響［3］。學生通過具體的實踐操作，突破了習慣性認知模式，深刻領會到理論知識和實踐能力的重要性，提升了深度分析問題、大膽質疑問題、勇于創新的能力，提高了數學建模能力和解決實際問題的能力，培養了學術創新精神。

在教學實踐環節，注重數學理論、方法與工程實際的有機融合。通過布置2～3道往年的數學建模題作為課后作業，讓學生自己去探索，從學習過的知識中找思想、找方法、找突破口，極大地激發了學生參加數學建模的興趣。例如，學生積極報名參加每年九月份舉辦的“華為杯”中國研究生數學建模競賽，參賽熱情逐年提升，比賽成績逐年提高。2021年數學建模競賽有3人獲得了二等獎，6人獲得了三等獎；2022年數學建模競賽有15人獲得了二等獎，14人獲得了三等獎。我們期待2023年獲獎人數更多，能有學生沖擊一等獎，實現“零的突破”。

三、堅持教研相長、以研促教的教學理念

在課程教學中融入科學研究已成為高等教育改革發展的必然趨勢。在課程中引入學科前沿，將科研項目和成果融入課堂教學，提升教學水平和科研意識，實現對學生基礎科研能力和實踐能力的培養以及終身學習能力的提高是我們追求的目標。在教學中，把“數值分析”課程內容結合到教師的科研項目中是踐行教學與科研同向而行的一個非常好的突破口，為了強化“數值分析”課程以科研助教學、以教學促科研的教學理念，加強學生的科研意識，培養學生的創新精神，充分發揮科研項目的育人功能。筆者鼓勵研究生參與自己的國家自然科學基金科研項目“高階Markov鏈的張量低秩逼近模型及其在大規模隨機游走中的應用”以及廣州市科技基金項目“大規模稀疏隨機張量模型的理論和數值分析及其在數據分析中的應用”的研究中，引導研究生進行自主探索和學術創新。用迭代法解線性方程組是“數值分析”中很重要的理論知識，高斯-賽德爾迭代法和松弛法是迭代法中經典的算法之一。通過引導學生利用“數值分析”知識點進行深入思考、理論驗證、程序實現以及教師的點對點指導，有助于讓研究生清楚地看到“數值分析”課上所學的理論知識、算法分析與編程技術能直接應用于科研項目的問題解決中，極大地激發了研究生參與項目研究的信心和積極性，鍛煉了學生的實踐動手能力和科研創新能力，為學生日后參與科研工作奠定了扎實的專業基礎，進一步提高了課堂的教學效果。譬如，2021級研究生唐舒婷針對多重線性PageRank問題，結合松弛技術，提出了一種新的張量分裂算法——基于分裂迭代算法求解多重線性PageRank問題，并給出嚴格的收斂性分析，該文已投我國計算數學領域頂刊《計算數學》。2021級研究生利錦軒研究了一種求解m張量多線性系統的預條件分裂迭代法，并通過數值算例給出了迭代張量的比較結果，證明所提方法的有效性，該文已被國外期刊錄用。這些都是教師和學生不斷交流、思想碰撞產生火花的成果，據不完全統計，2020級42位學碩研究生中有35人公開發表了學術論文，其中20篇是SCI期刊論文；2021級53位學碩研究生已發表了25篇論文，其中有18篇是SCI期刊論文。2019級畢業生共29人，讀博只有3人；2020級畢業生共42人，選擇繼續讀博深造的有11人，2020級研究生讀博升學率為26.2%。

筆者在如何把“數值分析”的理論和實踐與科研融為一體方面做了一些嘗試，取得了可喜的成效。如何進一步把“數值分析”與科研實踐相結合，充分發揮教學與科研的協同育人功能，是筆者今后要進一步探討的課題。

四、深挖思政元素，使課程思政有效融入課程教學

課程思政是一種教育教學理念。新時代的課程思政建設，應圍繞立德樹人根本任務，加強課程思政建設，更加注重思想引領［6］。2016年，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調，“要用好課堂教學這個主渠道”“其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應”［7］?！皵抵捣治觥闭n程蘊含著許多重要的數學思想和方法，可以從中挖掘出思政元素，促進學生對問題來源和數學思想的理解，從而使其更好地掌握數學思想和算法精髓。譬如，北宋文學家蘇軾所寫的“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中”，描繪了廬山隨著觀察者角度的變化，會呈現出不同的風景。在介紹利用基函數的方法構造Hermite插值時，可以適時地引入這首古詩［8］，因為在構造Hermite插值函數時，要“橫著”寫出須滿足的條件，但是卻要“豎著”用這些條件。利用這首古詩不僅加深了學生對基函數方法的理解，而且加強了對學生的傳統文化教育，讓學生在潤物無聲中領略到了中華優秀傳統文化的博大精深，可以用文學的語言將數學的原理解說得有理、有情、有趣。再譬如，秦九韶算法蘊含了豐富的愛國主義教育元素，在講解避免誤差危害的算法設計原則時，重點介紹可減少運算次數以減少計算誤差的秦九韶算法，介紹秦九韶是我國南宋時期著名的數學家。通過穿插相關數學史，以激發學生科技報國的家國情懷和使命擔當，增強其民族自豪感。

科研是一場永無止境的探索?！皵抵捣治觥闭n程與現代科學技術進步緊密相連，在教學中須積極融入科學研究精神和創新創造精神。例如在講授數值積分時，首先給出非等分求積節點的機械型求積公式，然后講解等距求積節點的牛頓-柯特斯求積公式，介紹幾種低階的求積公式，再介紹復化求積公式，最后在介紹變步長的求積公式的基礎上，導出龍貝格求積公式。這是一個求積精度不斷提高的過程。通過對求積公式進行不斷優化的循序漸進的過程，向學生闡釋什么叫科學研究無止境，從而激發學生的學習興趣，培養學生的科學探索精神。“數值分析”課程中很多重要的定理和公式是以數學家的名字命名的，如高斯積分公式、牛頓迭代法等，在教學實踐中融入著名科學家的勵志事跡，可以激發學生為國家崛起而努力奮斗的科學創新精神和時代責任感，實現思想的共鳴，真正將價值導向與知識導向相融合，起到很好的思政教育效果。

五、多元化的課程考核方式

閉卷考試是主要的傳統考核方式，在這種考核方式下，一些學生可采用考前突擊的方式獲得較高的分數。公正的考核評價體系是課程教學運行的重要環節，不僅直接影響學生學習的積極性和主動性，也是教師教學效果的重要體現。目前，研究生“數值分析”課程采用多元化的考核評價體系，即上課考勤（5%）+作業（10%）+課程實驗（15%）+期末考試（70%），其中課程實驗，學生可以根據專業背景自主選擇題目，通過數值實驗完成作業。

結語

本文立足于廣東工業大學數學專業研究生的實際情況，針對“數值分析”課程的學科特點，將科研探索和課程思政融入教學中，真正將知識導向與價值導向相融合，激發了學生自主學習的熱情，提升了學生的創新能力和科研能力，有效地提高了教學質量和教學效果。

參考文獻

［1］李慶揚，王能超，易大義.數值分析［M］.5版.北京：清華大學出版社，2021：3.

［2］陳明，伍建林，舒丹，等.基于自主探究式學習的研究生專業課程教學策略探析：以“工程數值方法”課程為例［J］.當代教育理論與實踐，2020，12（2）：123-128.

［3］郭培昌，高世臣，廉海榮，等.研究生“數值分析”課程教學研究初探［J］.數學學習與研究，2021（29）：26-27.

［4］張建華，趙靜.新工科背景下研究生數值分析課程教學改革探索［J］.高教學刊，2023，9（18）：146-149.

［5］何克抗，吳娟.信息技術與課程整合的教學模式研究之三：“探究性”教學模式［J］.現代教育技術，2008（9）：5-10+27.

［6］教育部.關于印發《高等學校課程思政建設指導綱要》的通知：教高〔2020〕3號［A/OL］.（2020-06-01）［2023-08-20］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html.

［7］習近平在全國高校思想政治工作會議上強調 把思想政治工作貫穿教育教學全過程 開創我國高等教育事業發展新局面［N］.人民日報，2016-12-09（1）.

［8］閔杰，李璐，歐劍.《數值分析》課程思政教學改革研究與實踐［J］.大學數學，2020，36（6）：40-45.

The Exploration and Practice of Reform on the Teaching of Numerical Analysis for Post-Graduates

DENG Xiu-qin， LIU Dong-dong， XU Jie， ZHAN Rui

（School of Mathematics and Statistics， Guangdong University of Technology， Guangzhou，

Guangdong 510006， China）

Abstract： Integrating scientific research and ideological and political elements into professional course teaching has become an inevitable trend in the development of higher education reform. Numerical Analysis serves as an important link connecting mathematics， computer science， engineering science， computational thinking， engineering thinking， and logical thinking， and its mathematical ideas and methods are deeply embedded in various disciplines. In this paper， aiming at the characteristics of the graduate course Numerical Analysis， an exploratory teaching model is implemented to integrate scientific research exploration and elements of curriculum ideology and politics into the teaching of Numerical Analysis. A course teaching reform method is constructed， which combines research-assisted teaching， teaching promoting research， knowledge imparting， and value guidance， aiming to cultivate the practical ability， innovation ability， and solid academic research foundation of graduate students.

Key words： Numerical Analysis; teaching pattern; exploratory learning; innovation ability; curriculum ideology and politics