摘要：靜電場是“電磁學”課程的主要內容板塊，靜電場的高斯定理是靜電場的核心內容。靜電場的高斯定理的證明過程有助于學生對該定理的接受、理解和應用，本文提出了一種新的證明該定理的方法，該方法順承球形高斯面的特例而推導，貼合學生的思維而更易于被他們接受，同時，還對教學中該定理是否必需、是否只適用于電荷對稱分布和能否反推庫侖定律等理解難點，以及應用該定理求解對稱分布電荷的電場強度的流程展開了探討和總結，所得結果對改進靜電場高斯定理的教學有參考意義。

關鍵詞：電磁學；靜電場；高斯定理；電通量；物理教學

中圖分類號：O441.1；G642文獻標識碼：A

“電磁學”課程中靜電場的高斯定理屬于該課程的重點和難點。重點而言，一方面，它是有介質存在時的高斯定理的基礎，也在處理導體存在時的靜電場問題中起著關鍵作用；另一方面，它是麥克斯韋方程組中四個方程之一，是處理一般電磁問題的基礎。難點而言，從庫侖定律到電場強度，相對于中學“電磁學”而言，連貫性還比較好，但從庫侖定律到高斯定理，相對于中學“電磁學”則具有一定的進階性，學生掌握起來常常遇到各種各樣的困難，這些困難對于不同的學生可能來自于證明、理解、接受和應用等各個環節。因此，靜電場高斯定理的教學引起了較廣泛的研究［15］，但該定理的證明、理解和應用等仍有值得探討之處。

1靜電場高斯定理的表述

靜電場高斯定理的內容可表述為：靜電場的電場強度在任意閉曲面上的通量等于閉曲面內包圍的電荷的電量代數和除以ε0。數學表達式為：

SE→·ds→=∑iqiε0（1）

其中qi表示閉曲面S內第i個電荷的電量，面元ds→指向閉曲面的外部，閉曲面S又稱為高斯面。

2靜電場高斯定理的證明

高斯定理的證明大致有三種方法，第一種是利用電場線起于正電荷（或無窮遠），止于負電荷（或無窮遠），在無電荷處不中斷的性質［6］，這種方法直觀形象，但邏輯上有問題，因為電場線的這個性質一般要通過高斯定理推出，因而可能構成了循環論證。第二種是利用面積投影以及空間立體角，利用面積的投影和立體角［7］，比較簡明，但學生在理解投影和立體角時，由于這個面積微元的投影與宏觀上面積的投影不太完全對應，并且是曲面微元到曲面微元的投影，加上第一次接觸立體角，感覺隔膜。第三種方法，數學上較為嚴格，但會用到散度和數學上的高斯公式［8］，學生在大學二年級第一學期學習“電磁學”時，這兩個內容還沒有學到或掌握不好。我們提出下面新的證明方法，比較貼合學生的思維，易于學生接受。

2.1點電荷在球形高斯面球心

設電量為q的點電荷位于球形高斯面的球心，如圖1所示，球面半徑為r。在（r，θ，φ）處取面積元ds=r2sinθdθdφ，它的法線指向球面外，可知為e→r。球面上（r，θ，φ）處的電場強度為：

E→=q4πε0r2e→r（2）

此時，面積元ds的通量為：

E→·ds→=q4πε0r2e→r·r2sinθdθdφe→r=q4πε0sinθdθdφ（3）

可見該通量與半徑r無關。整個高斯面上的通量為：

SE→·ds→=Sq4πε0sinθdθdφ=q4πε0∫2π0dφ∫π0sinθdθ=qε0（4）

即點電荷位于球形高斯面的球心時，高斯定理成立。點電荷不在球形高斯面球心時可歸到以下一般閉曲面情況。

2.2點電荷在一般閉曲面的高斯面內

當點電荷q位于一般閉曲面的高斯面S內部時，如圖2所示，我們以點電荷q為球心，作一個半徑較小的球形高斯面S′，該球形高斯面S′完全處于閉曲面S的內部，并以點電荷q為坐標原點建立球坐標系。此時，球形高斯面S′與原來的一般閉曲面S中間形成一個夾層形的空間區域，這個區域內不包含點電荷q，因而沒有電荷。

對于點電荷q在該夾層區域內的電通量，從q位于球形高斯面的球心時的情況可以看出，對半徑為r以及半徑為r+dr的球形高斯面，點電荷場強的通量都為qε0，即半徑為r以及半徑為r+dr的球面間的夾層空間的電場通量為零。因而，由球對稱性，對于如圖3所示半徑為r和r+dr間的每個體積元r2sinθdθdφdr，點電荷q的電場在其表面上的通量為0，因為整個r和r+dr間的夾層可看作是由這些體積元組成的。也就是說，在以點電荷q為坐標原點的球坐標系中，點電荷的場強對于任意不包含該點電荷的體積元r2sinθdθdφdr的表面的通量為零。這由（3）式，并考慮到體積元四個側面與徑向平行也可得知。

對于球形高斯面S′與一般閉曲面S中間的夾層區域，從數學上求體積的過程中可知，它的體積可由體積元r2sinθdθdφdr積分而成，也就是說，該夾層空間區域可由體積元r2sinθdθdφdr堆砌而成。這樣，點電荷的電場在每個體積元的表面的通量都為零，因而在整個夾層空間區域的表面通量為零，而夾層空間的表面由S和S′構成，若取S′的法線方向朝向夾層，而背離電荷q，S的法線背離夾層和電荷q，則有：

S+S′E→·ds→=E→·ds→+SE→·-ds→=0（5）

由點電荷q位于球形高斯面球心時的情況，且S與S′均為閉曲面，可得：

SE→·ds→=E→·ds→=qε0（6）

即點電荷q位于一般曲面高斯面的內部時，高斯定理也成立。

對于點電荷在一般閉曲面外以及點電荷體系和連續帶電體的情況的證明，限于篇幅，可參照文獻［7］的方法處理。

3靜電場高斯定理的理解

3.1為什么需要高斯定理？

由庫侖定律和疊加原理，原則上可以求解已知電荷分布情況下的電場，高斯定理屬于求電場的簡便方法，從物理上看似乎不必要。但是，由高斯定理可以根據電場分布計算電荷分布，而直接由庫侖定律和疊加原理卻難以做到，并且對于不少情況，由高斯定理可以得到的結果，直接由庫侖定律和疊加原理卻難以得到，例如，靜電平衡導體的許多性質和場強的邊值關系等。此外，“電磁學”研究的重心是“場”，而對于“場”的研究，需要確定“場”的通量和環流，在考察“場”的通量時自然演化到高斯定理。最后，麥克斯韋將靜電場的高斯定理推廣到時變電場情形，它成了電磁場理論的一塊基石，對整個物理學的發展產生了重大影響，并對人類社會的發展產生了劃時代的影響。

3.2高斯定理只適用于電荷對稱分布的情況嗎？

教材上應用高斯定理求電場的例題，均是針對電荷分布具有對稱性或可以轉化成具有對稱性的情況，而電荷分布不對稱時求不出場強，因此，同學們得出“高斯定理只適用于電荷對稱分布的情況”的結論。這個結論當然不正確，從高斯定理的證明過程可看出，它的成立與電荷分布對稱與否無關，因此，高斯定理在電荷分布不對稱時也適用。只是當電荷分布不對稱時，單獨應用高斯定理一般求不出場強，但結合靜電場的環路定理再加上適當的邊界條件可以求出。并且對于個別電荷分布不對稱的情況，單獨應用高斯定理也可求出電場，如靜電平衡導體外緊靠導體表面處的電場。

3.3高斯定理可以推導出庫侖定律嗎？

靜電場的高斯定理是從庫侖定律推導出來的，那么，可不可以從高斯定理推導出庫侖定律呢？答案是肯定的。對點電荷應用高斯定理，并考慮到球對稱性（點電荷看作微小球或微小球體），以點電荷為球心作一個球形高斯面可以推出點電荷的場強，再由電場強度的定義可以得到庫侖定律。甚至有將高斯定理作為公理以建立靜電場的理論體系［9］。

4靜電場高斯定理的應用

應用高斯定理處理靜電場問題有已知電荷分布求場強和已知場強求電荷分布兩類，“電磁學”課程主要關注前者。下面通過兩個電荷分布對稱的例子，總結這種問題的求解思路。

例1：如圖4所示，真空中某帶電球體的半徑為R，所帶電量為Q，電荷均勻分布在球體內，求球體內外的電場強度。

解：由于電荷分布具有球對稱，對于點P，其電場強度方向因上下兩半徑球電場矢量疊加將沿徑向e→r。由此，作與球體同心的球形高斯面，如圖4中的S＇和S。當r＞R時：

SE→·dS→=E·4πr2=qε0（7）

可得E→=q4πε0r2e→r。

當r＜R時：

S′E→·dS→=E·4πr2=Q4πR3/3·4πr3/3（8）

可得E→=qr4πε0R3e→r。

例2：如圖5所示，真空中無限大均勻帶電平面，電荷面密度為σ，求平面外各點的電場強度。

解：由對稱可知，平面外任意點的場強方向與平板垂直，并且場強在到平板距離相等處的大小均相等。作如圖5所示的高斯面：與帶電平板垂直且底面積為ΔS和ΔS＇圓柱面S。柱面的側面與場強處處平行，無電通量，只有底面的電通量，故：

SE→·dS→=EΔS+E′ΔS′=2EΔS=1ε0σΔS（9）

可得E→=σ2ε0e→n。

從上面兩例題可知，應用高斯定理求對稱分布電荷的場強的思路是：通過選取適當的高斯面，使高斯面全部與場強垂直，或一部分與場強垂直，一部分與場強平行，而與場強垂直部分高斯面上的場強處處大小相等，從而構成如下流程：

SE→·dSE→與S處處垂直SEdSS上場強處處相等ESdS=ES=1ε0∑iqi（10）

將問題轉變為求高斯面的面積和高斯面內的電荷，從而得出E→。

結語

本文提出了一種新的證明高斯定理的方法，該方法順應球形高斯面的特例，貼合學生的思路，更易獲得學生的認同和接受。同時，對靜電場的高斯定理的理解中的疑難點進行了剖析。此外，通過兩個例題，概括了應用高斯定理求對稱分布電荷的場強的流程。

參考文獻：

［1］馮金明，馬會芳，李甜甜.學生理解高斯定理的困難、成因及應對策略［J］.物理與工程，2022，32（05）：2533.

［2］彭婷，吳維寧，蔡亞璇.電磁學高斯定理學習狀況的研究［J］.教育教學論壇，2020，6（26）：334335.

［3］高景霞，張洋洋，張金平，等.關于大學物理中“靜電場的高斯定理”教學設計［J］.科技視界，2018，8（15）：4648.

［4］何偉巖.用高斯定理計算無限大平板間電場強度［J］.廣西物理，2017，38（Z1）：3740.

［5］路俊哲，武盼盼，柏云鳳，等.淺談高斯定理中高斯面的確定方法［J］.喀什大學學報，2016，21（6）：2325.

［6］程守洙，江之永.普通物理學［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［7］梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［8］謝處方，饒克謹，楊顯清，等.電磁場與電磁波［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［9］DavidKeunCheng.電磁場與電磁波［M］.何業軍，桂良啟，譯.北京：清華大學出版社，2013.

基金項目：湖南省普通高等學校教學改革研究項目（HNJG20210789、HNJG20210790）

作者簡介：王友文（1972—），男，漢族，湖南衡陽人，博士，教授，主要從事電磁學方面的教學。