基于模糊PID算法的平衡車自適應控制

摘 要：為解決兩輪平衡車在行駛中控制難度大的問題，設計了一種非基于模型的比例積分微分（PID）控制策略，避免了基于模型的現代控制方案中存在的設計過程繁雜的問題。針對PID控制穩定性低、自適應性差的問題，本實驗進一步優化出了以位移為反饋的模糊PID控制器。根據平衡車的物理結構，對其進行了數學建模；基于系統的狀態空間表達式，對其作了可控性分析。傳統PID存在的一項艱巨任務是確定控制器的參數，且一旦確定了參數，就很難再重新整定它，故本實驗設計了模糊邏輯控制器（FLC）以更新PID的權重參數 -Kp，Ki和Kd。通過Matlab仿真對比驗證，本實驗得到了PID及模糊PID兩種控制方案下系統的響應與信號跟蹤情況，模糊PID控制相比PID控制具有更好的控制效果：系統的調節速度提高了60%左右，穩定性提高了將近50%。在平衡車的負載重量發生變化的時候，傳統PID控制難以避免地出現階躍響應波動明顯的情況，而模糊PID的系統響應相對平穩。因此，模糊PID控制下的平衡車系統可實現不同承載情況下位移的準確跟蹤，滿足了平衡車對系統穩、快、準的要求。

關鍵詞：模糊 PID 平衡車 仿真 自適應

0 引言

此實驗中系統的被控對象為平衡車，它的模型相當于一個倒立擺系統[1-2]。然而，這個倒立擺系統是不穩定的：如果沒有電動推車的輸入控制電壓，擺桿則會輕易地掉落。倒立擺的平衡狀態需要靠電動推車的移動來維持。另外，該系統的動力學是非線性的。在國內外研究中，這個控制系統的平衡可通過各種算法來實現[3-4]。

在控制工程實際應用中，尤其對于先進控制方案的需求而言，大多數實際過程控制通常都很復雜，且難以建模。在實際應用場景中，隨著負荷變化或工況影響，平衡車的模型特性參數或結構也會發生改變。在平衡車控制問題研究中，前人嘗試了各種基于模型的自適應控制方法，如滑模控制、模型預測控制等；自適應控制運用現代控制理論在線辨識對象特征參數，實時改變其控制策略，使控制系統品質指標保持在最佳范圍內，但其控制效果的好壞很大程度上取決于辨識模型的精度，這對于復雜系統而言是非常困難的。由于被控對象的數學模型無法精確確定， 控制器的整定參數便無法隨環境的變化而改變，致使控制效果難以一直保持最優，且會導致過大的超調和振蕩；然而，PID相對容易簡單，且能快速解決問題；因此，本實驗基于 PID 算法進行了控制器設計；PID參數的整定方法很多，但大多數都以對象特性為基礎。

在傳統的PID控制中，存在一項艱巨的任務就是確定控制器的參數。而且，一旦確定了參數，就很難再重新整定它。PID控制器可能會以多種方式進行調整，包括手工調整、Ziegler-Nichols調整等；然而，傳統的PID控制器的適應性不是很強。為解決此問題，本實驗使用了模糊邏輯控制器（FLC）更新PID的權重 - Kp，Ki，Kd[5]。新的權重使得系統的控制性能表現出更加良好的效果，系統的適應性也得到了顯著的提高。[6]

由于在平衡車實際控制過程中各種輸入輸出信號量及評估參數不易進行定量表示，模糊控制理論為解決這一難題提供了有效方法；因此，本實驗運用了模糊控制理論及其方法，把控制規則的條件、操作等通過模糊集來進行表示，并把與控制相關的模糊控制規則及有關信息作為知識存入控制器的知識庫中，然后控制器根據系統的實際響應情況，自適應地運用模糊邏輯，便可實現對 PID 參數的自動最優化調整，這就是模糊 PID 控制實現平衡車自適應的原理。

1 平衡車的倒立擺模型

1.1 系統的建模過程

平衡車的平衡原理[7]是基于倒立擺[8]的基本運動原理：通過控制桿底部的運動來使擺桿重新豎立起來。在平衡車中，擺桿相當于車身，而桿底部的運動則由電動推車的電機來控制。當小車傾斜時，控制系統會進行判斷，且根據擺桿的傾斜程度來調整電機的輸出電壓，使得小車朝著恢復平衡的方向運動。具體來說，如果小車向前傾斜，控制系統會增加電機的輸出電壓，使得小車向前運動，從而恢復平衡。如果小車向后傾斜，則減緩電機電壓的輸出，使得小車向后運動，從而恢復擺桿的平衡[9-10]。

在這種情況下，我們將考慮一個二維空間中的運動問題，將擺桿的運動范圍限制在圖1中所示的垂直平面中。在該系統中，系統的輸入是水平力F，輸出是擺桿θ的角度位置和電動推車 x的水平位置[11-12]。

本實驗對模型設置了以下參數：

M：電動推車的質量

m：擺桿的質量

b：電動推車的摩擦系數

l：擺桿質量中心到連結處的長度

I：擺桿的轉動慣量

F：施加到平衡車的力

x：平衡車位置

θ：擺桿的擺角。

1.2 系統動力學模型

基于平衡車系統的（F，施加到平衡車的力）輸入數據和（x，平衡車位置）輸出數據，本實驗通過系統辨識方法獲得被控物理系統的近似數學模型：

1.3 傳遞函數到狀態空間的轉換

傳遞函數僅描述了輸入和輸出之間的關系。因此，傳函不是很便于分析其系統的內部屬性。為了方便起見，一個較好的解決方案是把傳遞函數（1）轉換成狀態空間方程的形式[13]。所以：

明顯地，可得到以下形式：

為了得到狀態空間方程，我們令X1=Z，X2=Z，...，Xn=Z（N-1），所以可得到

在這個矩陣中，我們得到：

這里，In-1為單位矩陣。

現在，我們可以將被控對象的傳遞函數（1）轉換為狀態空間形式：

在這里，

1.4 系統可控性分析

為了獲得理想的結果，我們希望在使用狀態反饋過程放置特征根，以證明該系統是完全可控。如果放置特征根從初始狀態到最終狀態的任何狀態都能實現，則該系統是完全可控的[14]。

在方程（6）中，可控性矩陣可以被定義為：

根據可控性理論，只有滿足以下條件，這個系統才是可控的：

在以上系統中，該可控矩陣的秩為：

所以，該系統是可控的。

2 控制方案設計

2.1 PID控制器設計

PID控制方案以其三個參數術語命名，其總和構成了輸出控制變量[15-17]。比例，積分和微分的組合求和可計算PID控制器的輸出[18-20]。這里將ut定義為控制器輸出，PID算法的最終形式是：

在以上公式中，Kp是比例增益，Ki是積分增益，而Kd是微分增益。另外，e（t）表示誤差，t是時間變量，τ是積分部分的變量，該變量的值從0到當前時間t之間變化。

在平衡車中，PID 的作用如下：

比例Kp：比例控制器根據小車的位移來調整電機的輸出。位移偏差越大，比例控制器輸出的控制量也越大，從而快速地使小車向平衡位置移動。

積分Ki：積分控制器用于消除小車在平衡位置附近的靜態誤差。如果存在靜態誤差，積分控制器會根據誤差的積分來調整電機的輸出，使得小車能夠準確地保持在平衡位置。

微分Kd：微分控制器用于提高小車系統的穩定性，減少超調和振蕩。通過位移偏差的變化率，微分控制器可以調整電機的輸出，使得小車的運動更加平穩。

PID 控制器在平衡小車中的參數需要經過實驗和調試來確定，通常需要根據小車的動力學特性和傳感器的反饋來進行調整。通過合理地調整 PID 參數，可以使平衡小車能夠快速、穩定地實現自動平衡，從而實現精準的控制和運動。

對于該系統，PID不同的部分對系統的控制效果具有不同的影響。下表描述了PID各個參數對系統總體的影響：

基于此策略，控制系統的總體設計框圖２如圖所示。

為了獲得最佳PID控制參數，該解決方案之一由線性二次型調節器（LQR）提供，這是一個反饋控制器，其方程式在下面給出。根據連續線性系統的狀態空間方程（6），其代價函數定義為：

最佳控制方法是定義性能索引（代價函數），并搜索最小化該索引的控制u= -Kx。 Q是n×n對稱半正定矩陣，R是M×M對稱正定矩陣。

令，，Ｒ＝１

在Matlab中，我們可使用指令ｋ=lqr（A，B，Q，R）求解以上方程。在以上求解基礎上，我們便可得到KP，Ki，和Kd的最優解。

2.2 模糊PID控制器設計

為解決傳統的PID控制器適應性差問題，本實驗使用模糊邏輯控制器（FLC）更新PID的權重 - KP，Ki和Kd。

組合式的模糊PID控制器如圖所示，輸入r是平衡車所需到達的位置，并且輸出y是小車實際的位置。使用反饋，我們可以獲得系統輸出誤差的輸入和輸出。然后，誤差和誤差的微分可作為模糊控制器的輸入，它決定了 KP，Ki和Kd的更新范圍。

根據 KP，Ki，和Kd不同功能，我們在定義模糊規則時使用的基本思想是根據系統的性能增加或減少 KP，Ki，和Kd的值。例如，如果響應太慢，我們可以增加比例KP的數值和積分Ki的數值；或者，如果誤差很大，我們也可以做類似的整定。因此，本實驗制定了表2的模糊規則。

其中，NB，NM，NS，Z，PS，PM和PB分別是負大，負中，負小，零，正小，正中，正大。這些分別是隸屬函數的輸入和輸出。同理，我們也可以制定?Ki和?Kd的模糊規則。

2.3 定義隸屬函數

如表2所示，模糊邏輯塊中有兩個輸入隸屬函數，誤差（e）和誤差變化（ec）和三個輸出隸屬函數，P參數的變化（?KP），I參數的變化（?Ki）以及D參數的變化（?Kd）。模糊塊考慮了與輸入數據匹配的模糊規則。因此，設計模糊控制器時采取的關鍵步驟是確定哪些變量的狀態影響了系統動態性能，必須將其視為對控制器的輸入信號。隸屬函數在以下圖4至圖8中定義。

3 仿真與結果分析

基于e和ce，?KP、?Ki，和?Kd在不同時刻持續變化，以實現系統的良好動態和靜態控制性能。最后，本實驗獲得了PID控制參數的值。通常，根據e和ce的不同值，控制器需要不同的PID參數設置。模糊PID控制的設計目標是提高穩態控制精度，同時也不會太過于影響系統的動態性能。

根據平衡車的負載重量，針對不同承載情況所需的PID參數，模糊控制器可優化出對應的?KP、?Ki，和?Kd：

不同承載情況下，傳統PID與模糊PID的控制仿真結果如下：

顯然，在圖10中，這兩個系統中的性能都是比較完美的，因此我們不易觀察及計算哪個系統的誤差較小。因此，由于誤差太小，一個相對好的解決方案是將兩種控制器的輸出信號與同一個階躍信號比較。通過對比，我們可以得到：模糊PID的誤差小于傳統PID控制的誤差。此外，我們還可以計算他們的平均誤差，并且清晰地獲取到他們各自的系統響應情況。我們綜合比較圖10、11及12這三種情況，得到系統在模糊PID控制中得到的系統平均誤差為：

平均誤差1 = 2.3154 ×10-6。

傳統PID控制下得到的系統平均誤差為：

平均誤差2 = 4.5560 ×10-6。

為了進行比較，表3總結了兩個控制方案的控制結果。通過對比發現，模糊PID控制不僅可以實現比PID控制器更準確得控制效果，而且還可以大大提高系統的動態性能。這個良好效果的實現是由控制器設計中的模糊控制規則發揮作用的，該規則用于修改PID參數，使系統具有良好的自學習能力和適應性。模糊PID控制的唯一問題是，它需要比傳統PID控制方法承擔更繁重的計算量，這對微處理器芯片所需的算力也提出了更好的要求。

數值仿真研究結果表明，與傳統的PID控制相比，模糊PID控制表現出更高的控制精度。模糊控制器的自我調整和在線更新功能在這個過程中發揮了核心作用。模糊控制規則經過精心調整以產生盡可能小的超調、更小的穩態誤差，以及更小的調節時間。這表明，模糊控制的挑戰在于調整這些控制規則。為了滿足更高控制要求，更多的經驗需要融入到模糊規則的設計與制定中。

4 結束語

本實驗針對平衡車對行駛運動的要求，將模糊PID組合式控制策略運用到了車身的平穩控制中。Matlab仿真實驗表明，模糊PID相比于傳統PID表現出了調節速度更快、穩定性更好的效果。當平衡車的承載情況變化時，PID控制下的系統階躍響應會有明顯變化，而模糊PID控制下的效果較好，這說明模糊PID控制具有較好的自適應能力，保證了系統所需設計要求的同時，并最大程度地減少系統誤差。通過本實驗，我們可以通過模糊邏輯將人類經驗轉移到計算機語言中，實現人類經驗和強大計算能力的完美結合。在這個過程中，我們的關鍵問題是如何定義這些模糊規則和設計隸屬函數，以滿足的系統的功能需求。我們可以繼續嘗試使用多種方式，例如查表法，梯度下降訓練或遞歸最小二乘法等；這些將會是本課題下一階段工作中需要學習和研究的內容。

基金項目：（1）2023年國家級職業教育教師教學創新團隊特色項目（CXTD005）（2）廣東省普通高校青年創新人才項目（2023KQNCX187）；（3）廣東省高等職業院校交通運輸類專業教學指導委員會教育教學改革與研究項目（JTYSJZW2023A01）；（4）2024校級大學生科技課題（GDCP-ZX-2024-026-N2）。

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