核心素養(yǎng)指引下的高中數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)

“單調(diào)性”是學(xué)生探究函數(shù)增減過(guò)程的開(kāi)始，是繼續(xù)研究函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，為后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)提供了示范。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解函數(shù)單調(diào)性定義的推導(dǎo)過(guò)程；能用單調(diào)性解決相應(yīng)的一些問(wèn)題。借助函數(shù)圖象，會(huì)利用符號(hào)語(yǔ)言標(biāo)識(shí)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，理解函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的定義，主要應(yīng)用于求函數(shù)的最值問(wèn)題。

2.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察“從已經(jīng)學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)圖象入手，研究函數(shù)的單調(diào)性，再將特殊函數(shù)單調(diào)性逐步擴(kuò)大到一般函數(shù)”的研究過(guò)程，培養(yǎng)他們觀察、分析、歸納、推理的能力。通過(guò)階梯性的強(qiáng)化練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

二、教學(xué)方法

1.啟發(fā)式、討論式教學(xué)法：通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其以獨(dú)立思考和相互交流的形式發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

2.講練結(jié)合法。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

復(fù)習(xí)回顧：之前我們學(xué)過(guò)了函數(shù)的各種表示方法，這節(jié)課進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。其雖然是新課，但是蘊(yùn)含的知識(shí)卻不陌生，我們?cè)缭诔踔芯徒佑|過(guò)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察：利用學(xué)生熟悉的艾賓浩斯遺忘曲線創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生主動(dòng)觀察圖像特點(diǎn)，引出增函數(shù)、減函數(shù)的概念，以此培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。

（二）師生互動(dòng)，形成概念

本環(huán)節(jié)通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)（尤其是二次函數(shù)和反比例函數(shù)），引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；能夠熟練應(yīng)用定義判斷函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性。

師：今天我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性。先看這個(gè)表格和圖象，首先我們注意到表格第一行是時(shí)間，第二行是記憶保留量。根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制成一個(gè)曲線，這個(gè)曲線就是在教育界很有名的艾賓浩斯遺忘曲線。

生：從上面可以看到，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，我們的記憶保留量會(huì)越來(lái)越少。

師：很好，這個(gè)圖象有點(diǎn)類似于我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)函數(shù)呢？

生：反比例函數(shù)。只不過(guò)是其中的一部分，即當(dāng)x>0時(shí)。

師：我們從中能直觀看出來(lái)圖象走勢(shì)，由此，我們還能得到什么結(jié)論呢？

生：在平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意及時(shí)復(fù)習(xí)，這樣才能鞏固前面學(xué)習(xí)的知識(shí)。不及時(shí)復(fù)習(xí)的話，隨著時(shí)間的推移，遺忘會(huì)越來(lái)越多。

師：接下來(lái)，我們通過(guò)初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)來(lái)研究函數(shù)自變量x變化時(shí)，函數(shù)值y如何變化，簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下一次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式：y=kx+b。初中關(guān)于一次函數(shù)圖象我們講過(guò)什么結(jié)論？

生：當(dāng)k>0，b>0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、二、三象限；當(dāng)k>0，b<0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、三、四象限；當(dāng)k<0，b>0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、二、四象限；當(dāng)k<0，b<0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限。

師：我們今天先研究一下y=x+1，剛才同學(xué)說(shuō)了函數(shù)圖象過(guò)一、二、三象限，那么通過(guò)圖象，我們參照艾賓浩斯遺忘曲線還能得出什么結(jié)論呢？

生：隨著x的增大，函數(shù)值y在增大。

師：好，再來(lái)一個(gè)例子，y=-x+1。大家畫出函數(shù)圖象，能得到什么類似結(jié)論？

生：通過(guò)這個(gè)圖象我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著x的增大，y在減小。

師：從中我們可以得出什么規(guī)律呢？

生：y=kx+b，當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大，反之減小。

師：跟b有關(guān)系嗎？

生：沒(méi)關(guān)系。

師：我們?cè)倏匆幌露魏瘮?shù)，大家畫一個(gè)最簡(jiǎn)單的y=x2。

生：我們發(fā)現(xiàn)，在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)y隨著x的增大而減小；對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大。

師：再畫一個(gè)y=-x2。它是一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，從而我們可以得出什么規(guī)律呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)，在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，y隨著x增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)y隨著x的增大而減小。

師：將兩個(gè)結(jié)論整理一下，怎么表達(dá)更合適？

生：對(duì)于二次函數(shù)，開(kāi)口向上時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減小；對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大。開(kāi)頭向下時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x增大而增大；對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x增大而減小。

師：那么，此處的隨著自變量的增大是對(duì)所有的自變量而言，還是只要存在某些自變量變大，函數(shù)值就變大或減小呢？

生：肯定是對(duì)所有的自變量都有的規(guī)律啊！

師：好。“所有”就是任意的意思，從特殊擴(kuò)展到一般，我們給出增函數(shù)、減函數(shù)的概念：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）＜ f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。這是用符號(hào)語(yǔ)言描述的，今后做題的時(shí)候也會(huì)經(jīng)常用到符號(hào)語(yǔ)言，要適應(yīng)、熟悉。

師：下面我們繼續(xù)給出單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)函數(shù)定義。如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。如果一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)具有單調(diào)性，則我們稱此函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。

師：想一想，我們以前是怎么求函數(shù)的最大（小）值的？

生：有圖象看圖象，沒(méi)有圖象看在區(qū)間范圍內(nèi)的增減變化。

師：對(duì)，這個(gè)增減變化就叫某一區(qū)間的單調(diào)性。一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），則稱f（x）的最大值為f（x0），記作f（x）max=f（x0），而x0稱為f（x）的最大值點(diǎn)。設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且x∈D，都有f（x）≥ f（x0），則稱f（x）的最小值為f（x0），記作f（x）min=f（x0），而x0稱為f（x）的最小值點(diǎn)。

師：我們來(lái)總結(jié)一下函數(shù)的最值和值域的聯(lián)系與區(qū)別。

1.聯(lián)系：函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對(duì)的是整個(gè)定義域。

2.區(qū)別：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在。（2）若函數(shù)的最值存在，則最值一定是值域中的元素，如函數(shù)f（x）=x3對(duì)任意的x∈R，都有f（x）≥-1，但是f（x）的最小值不是-1，因?yàn)?1不在f（x）的值域內(nèi)。（3）若函數(shù)的值域是開(kāi)區(qū)間（兩端點(diǎn)都取不到），則函數(shù)無(wú)最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值。

師：請(qǐng)大家思考一下，若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（1）<f（2）<f（3），則函數(shù)f（x）在（0， +∞）上 。A.是增函數(shù) B.是減函數(shù) C.先增后減 D.單調(diào)性不能確定

生：函數(shù)的單調(diào)性定義突出了x1，x2的任意性，僅憑區(qū)間內(nèi)有限個(gè)函數(shù)值的關(guān)系，不能判斷函數(shù)的單調(diào)性，故A、B、C不正確，D正確。

師：你回答得很好。判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不能根據(jù)特殊性進(jìn)行判斷。如判斷函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［-1，1］上的單調(diào)性時(shí)，由于-1，0∈［-1，1］，且f（-1）=1>0=f（0），但是我們并不能由此就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間［-1，1］上是單調(diào)遞減的。但若要說(shuō)明函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)遞增（減）的，只需在該區(qū)間上找到兩個(gè)值x1，x2，計(jì)算當(dāng)x1＞x2時(shí)，f（x1）≤f（x2），或f（x1）≤f（x2）成立即可。

師：現(xiàn)在打開(kāi)思路，想一想除了我們學(xué)過(guò)的三個(gè)基本初等函數(shù)，能否構(gòu)造一個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)無(wú)單調(diào)性。

生：有的函數(shù)不具有單調(diào)性。如函數(shù)

y=1，x為有理數(shù)2，x為無(wú)理數(shù) 的定義域是（-∞，+∞），但根據(jù)定義，其無(wú)單調(diào)性可言。

師：好的。繼續(xù)思考，結(jié)合剛才我們講的幾個(gè)函數(shù)圖象，單調(diào)性一定是在整個(gè)定義域內(nèi)呈現(xiàn)的嗎？

生：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，如函數(shù)y=x在整個(gè)定義域（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；函數(shù)y=-x在整個(gè)定義域（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。單調(diào)區(qū)間也可以是定義域的一個(gè)子集，如函數(shù)y=x2-2x+1在整個(gè)定義域（-∞，+∞）上不具有單調(diào)性，但是在（-∞，1］上單調(diào)遞減，在［1，+∞）上單調(diào)遞增。

師：由于函數(shù)在單獨(dú)的一個(gè)x值處無(wú)法定義單調(diào)性，因此寫單調(diào)區(qū)間時(shí)可以包括區(qū)間端點(diǎn)，也可以不包括，但單調(diào)區(qū)間一定不包括使函數(shù)無(wú)意義的x的值，一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)相同時(shí)，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或逗號(hào)連接，如函數(shù)y=■在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，不能表述為函數(shù)y=■在（-∞，0）∪（0，+∞）上單調(diào)遞減。

師：下面我們一起看一道例題。求出函數(shù)f（x）=■在區(qū)間［1，5］上的最大值。

學(xué)生利用初高中銜接課程知識(shí)板書畫出f（x）=■函數(shù)的圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義可知，f（x）=■在區(qū)間［1，5］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1，5］的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即最大值為f（1）=3，最小值為f（5）=■。

師：這說(shuō)明函數(shù)最值可通過(guò)作圖求出，也可以通過(guò)單調(diào)性求出，也說(shuō)明函數(shù)單調(diào)性的判斷是可以通過(guò)作圖來(lái)求解的。但如果要用代數(shù)方法嚴(yán)格證明單調(diào)性該如何進(jìn)行呢？（教師板書單調(diào)性證明過(guò)程，并強(qiáng)調(diào)證明中的注意事項(xiàng)。學(xué)生能接受，但因?yàn)闀r(shí)間原因無(wú)法進(jìn)行一次變式訓(xùn)練。）

師：下面我們一起總結(jié)一下常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性。（見(jiàn)表1）

利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：

（1）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b，c］上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f（x），x∈［a，c］在x=b處有最大值f（b），如下圖所示。

（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b，c］上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f（x），x∈［a，c］在x=b處有最小值f（b）。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課從學(xué)生熟悉的函數(shù)入手，借助圖象讓學(xué)生感受函數(shù)取值隨自變量的變化而變化這一特點(diǎn)，符合學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知。學(xué)生課堂參與度較高，氣氛活躍。但是在關(guān)鍵的概念生成這一環(huán)節(jié)，教師并沒(méi)有放手讓學(xué)生自我構(gòu)建，而是直接給出單調(diào)性的定義，這可能導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)單調(diào)性定義理解不透徹。同時(shí)整個(gè)課堂前面概念生成與辨析這一塊時(shí)間花費(fèi)比較多，導(dǎo)致后面學(xué)生對(duì)具體函數(shù)單調(diào)性證明沒(méi)有得到有效練習(xí)，這些都是需要在今后的教學(xué)中不斷改進(jìn)的地方。

（作者單位：江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)）

編輯：常超波

作者簡(jiǎn)介：郭明龍（1986—），男，漢族，江蘇盱眙人，研究生，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)。