培養學生數學“量感”的幾種路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知，是通過視覺、觸覺等多種感官對物體的大小、多少、輕重、厚薄等的感性認識。量感的形成可以通過直觀感知、測度體驗、測算提升等幾個層次的活動來實現。那么，教學中如何培養學生的“量感”？筆者以“認識周長”教學為例，談談培養學生“量感”的一些方法。

一、在畫中感知“量”

感量操作是學生“量感”建立的基石。“對‘單位量’的感受與體驗及“對‘累計量’的感受與體驗”是感量的兩種形式。“單位量”重在引導學生建立“標準”，“累計量”旨在讓學生對于“大小”“多少”“快慢”等從模糊的定性到精準的定量的提升。“認識周長”這節課承載著培養學生量感及對“累計量”精準定量。

如，在教學“認識周長”一課時，基于學生的生活經驗，選擇學生最為熟悉的“400米比賽”作為導入，動態演示學生跑400米的過程，學生充分調動自己的視覺、聽覺等多種感官，在“觀—思—悟”中準確判斷出：從起點出發繞著操場的邊線一圈回到起點就是操場的一周；“起點”可以是邊線上的任意一點，只要能繞著邊線一圈“回到這一個起點”就是這個操場的一周，明確“一周”的概念。在實景操作的基礎上，教師還設計“動手描一描”活動，引導學生在圖形上找一周，從具象到抽象過渡。

這種從“直觀表象”到“抽象表象”的過程中，學生有效建立“單位量”的表象，也為建構“累加量”埋下伏筆。

二、在量中體驗“量”

“周長”本質是長度單位的累加。學生能夠感知基本的長度單位并理解概念背后的本質是度量。史寧中教授曾指出：度量是數學的本質，是人創造出來的認識數學進而認識現實世界的工具；度量的本質在于對事物的某些指標進行量化，以及對量化順序的感知。如，在教學“認識周長”一課時，我們著重從以下三方面入手，增強學生量感素養。

（一）實踐操作，體驗量感

親歷度量過程，直觀體驗事物的可測量屬性及大小，是培養學生量感的必要環節。教師應注重引導學生經歷量感學習的觀察、體驗和頓悟過程，提供可視的探究活動；再通過實驗、推理、比較、聯想等策略，引領學生建立量感、精準量感，讓量感學習真實可見。三年級的學生已經有了“度量”的經驗，在此基礎上設計“動手量一量”的活動，給每個小組提供豐富的感性材料（三角形、長方形、圓形）引導小組合作探究。

學生通過動手量直邊的圖形感知直邊圖形的周長是“線累加”的過程，在經歷操作測量曲邊圖形的過程，感悟“化曲為直”的思想。學生在操作中不僅合理估計培養估算意識，同時在探索中發展了量感。

（二）引導交流，強化量感

“周長”本質的理解，它需要學生經歷“讀取信息—加工信息—表達想法”，即從直觀到抽象的過程。教學時，教師將上述三種圖形的一周全部取下貼到黑板上，原來“曲的、不規則的、幾條線段”，經過“化曲為直”“長度累加”具象變成一條看得到、摸得著的“直線”，而學生在觀察中會發現周長的本質就是“線的長度”，求圖形的周長就是把圖形每一條邊線的長度累加起來的過程。學生在個性化的實踐和探究中豐富了“感量”經驗，同時也促進了量感的形成和提升。

（三）聯系生活，強化量感

1. 找準“累計量”。周長是單位長度的累加，為了精準量感，首先應找準“累計量”。為了強化學生對“周長”這一概念的認知，筆者先設計了“五角星”（如圖1），并對學生提問：“下列哪個選項所示是五角星的周長？”

生1：選A，因為五角星上的線都是它的周長。

生2：選B，因為周長是指“封閉圖形的邊線一周的長度”，只跟“邊線”有關，跟其他的線沒有關系。

作為感知素材，學生必須先突破“線”這個枷鎖找出正確的“累計量”。現實問題和原有經驗的碰撞，能讓學生在活動中引發自我反思和培養批判精神，使學生在教師的引導和自我的內化過程中，獲得解決新問題的經驗，實現經驗由低層次向高層次的豐富和升華。通過辨析，學生進一步明晰核心概念“周長即是特殊線段的長度”。

2. 找準“長度量”。“線”與“面”二者同時存在于圖形中，“面”于視覺效果而言是更清晰的感知，而“線”是一條彎彎繞繞不易察覺的存在。所以筆者將“面”這一極為容易混淆的概念引入設計了“創圖形”的活動。

活動內容：用這一條線創造一個有周長的圖形。

問：這些圖形的周長相等嗎？

生1：不相等。圖形比較大的周長大，圖形比較小的周長小。

追問：圖形比較大指的是什么大？

生1：面比較大。

生2：不管圍成的是什么圖形，它們都是用“同樣長”的線段圍成，所以周長一定相等。

學生的視覺感知帶給了他們一種錯誤的認知：面大周長就長，面小周長就短。應從周長的本質出發：度量這些不同圖形的周長就是在度量這些圖形“一周”的長度，而它們的“一周”都是“同樣長”的一條線即它們的周長相等。鞏固周長概念的內涵，發展概念的外延，面的大小對周長的長短是沒有影響的，學生在度量之前應先明確度量的對象，這一環節的設計目的是引導學生從概念本義上理解“長度量”的特征，學生能深刻理解周長含義，學生的量感再次得到發展。

三、在比中辨析“量”

對于學生來說直觀形象是他們的認知特點，學生在計算圖形的周長時最直接的方法是線段的累加。當學生進行兩個圖形的周長對比時，通常采用兩種思辨方法“合”與“分”。先“量”再“加”后進行比較即是“合”的過程；通過“觀察—猜測—推理”后進行“平移”再“比較”即是“分”的過程。在“對比周長”的過程中不僅培養了學生的觀察能力，還發展了學生的推理意識。筆者提供了兩個圖形（如圖2和3），供學生對比探究。

首先，找圖3的“一周”在哪里，而后采用不同的方法進行思考。方法一：采用“合”的思維進行比較，即先量出“一周”中各條線段的長度再把它們加起來；方法二：采用“分”的思維進行比較，即通過“平移”將兩個不同的圖形改變至有更多相同屬性的圖形后再比較，也就是圖形對應邊的長度相等，圖形的周長就相等。

其次，為了內化學生對周長的認知，出示圖4并追問：現在圖4這個圖形變得很細很細了，周長還會一樣嗎？在視覺上給學生制造一個更大的沖擊，如果這個面變得很小很小呢？引導學生思考，還能通過平移得到對比結果嗎？學生在這一環節中經過了圖形變式導致認知矛盾的產生，再到方法滲透改變圖形從而達到認知矛盾化解，最終得到對比結果。學生在這一感性對比的過程中獲得了理性的認識，量感得到了進一步培養。

最后，出示“凹”“凸”（如圖5）這兩個圖形的周長對比，學生有了“分”的思維概念后，通過平移改變圖形的形狀再對比。操作前猜測平移后可以得到兩個一樣的長方形，他分析的依據是，一個是向下多了3條線段，一個是向上多了3條線段，兩個圖形多出來的3條線段又是一樣的。動手操作后發現：“凹”的周長比“凸”的周長更長，平移后“凸”字正好能變成一個長方形，而“凹”字平移成一樣大的長方形后還多了兩條邊。學生的學習狀態不能止于“形式把握”，而是將知識的內在本質聯系起來，引導學生學以致用，同時善于猜想、觀察、實踐，并最終得出結論，培養了學生的推理能力，發展了量感。