情境感悟 意義建模

［摘 要］教師要挖掘知識的本質(zhì)，抓住知識的內(nèi)涵，探究現(xiàn)實情境蘊含的數(shù)學規(guī)律，引導學生經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”的過程，感悟數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的模型意識，發(fā)展學生的高階思維和核心素養(yǎng)。文章從引入情境、化繁為簡、抽象概括、變式應用四個層次對“數(shù)學廣角——植樹問題”展開教學，并闡述如何培養(yǎng)學生的模型意識。

［關鍵詞］植樹問題；數(shù)學模型；情境

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）35-0057-04

數(shù)學模型將抽象的數(shù)學理論變成一種具體可感的圖形。要培養(yǎng)學生的模型意識，就要在真實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索運用基本的數(shù)量關系、幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識方法，綜合分析與解決問題，增強應用和創(chuàng)新意識。

“數(shù)學廣角”的“明線”涵蓋了數(shù)學知識，“暗線”則將數(shù)學模型融入實際場景，涵蓋了多種數(shù)學思想，如建模、數(shù)形結(jié)合等，旨在引導學生通過實踐活動提高數(shù)學能力，讓學生理解并運用知識。

一、引入情境

數(shù)學模型使數(shù)學知識回歸真實情境，建構(gòu)了數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。現(xiàn)在很多領域都會用到數(shù)學語言，除了數(shù)學符號，主要通過建立數(shù)學模型來刻畫研究對象的性質(zhì)、關系和規(guī)律。生活中有很多現(xiàn)象與“植樹問題”類似，例如爬樓梯、鋸木頭、裝路燈、擺花、掛燈籠等，這些現(xiàn)象都蘊含間隔數(shù)與物體數(shù)量之間的關系，理解“植樹問題”的解決方法和策略，實現(xiàn)從“會解一道題”到“會解一類題”。

師（出示2個人夾球跑的圖片，圖略）：最近學校舉行了運動會，大家最喜歡玩“夾球跑”的游戲。看這幅圖，你能看到什么信息？

生1：有2個人，1個球。

師：如果3個人夾球跑，需要幾個球？4個人夾球跑呢？5個人夾球跑呢？……

師：10個人夾球跑需要多少個球？

生2：9個球。

師：如果有15個球，那這一組一共有多少人？

生3：16人。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生4：1個球夾在2個人中間，球的數(shù)量比人數(shù)少1。

師：請用自己的話總結(jié)這個游戲的相同點。

生5：每兩個人之間有一個空格，中間夾著一個球。

師：在數(shù)學中，這種空格叫作間隔，今天我們就學習與間隔相關的問題。

【設計意圖】由學生最喜愛的游戲“夾球跑”導入，先觀察2人夾球跑，得出只需要1個球的結(jié)論，再解決3人、4人、5人夾球跑的問題，接著提出“10個人夾球跑需要多少個球？”的問題。為了引出“間隔”的概念，教師沒有直接給出解釋，而是引導學生觀察夾球跑的圖片，讓學生發(fā)現(xiàn)它們之間的共同點，從而引出“間隔”的含義。

二、化繁為簡

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出，學生要能在解決問題的過程中體會解決問題的道理，解釋計算結(jié)果的實際意義，感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的關聯(lián)，初步形成模型意識。在小學階段，數(shù)量關系是學生形成模型意識的重要載體。尋找數(shù)量關系的過程中，我們需要引導學生運用化繁為簡思想來探尋數(shù)量關系。

師：在100米長的小路一側(cè)種樹，每隔5米種1棵（兩端都種），一共要種幾棵樹？

（分析題意，討論間隔、間距、兩端都種的含義）

生1：“每隔5米”是間距。

生2：每兩棵樹之間的空地是間隔。

生3：“兩端都種”的意思是這條路的首尾都要種。

師：那么要種多少棵樹？

生4：100÷5＝20（棵）。

生5：21棵。

師：請大家畫一畫，看看哪個答案是正確的。

生6：紙?zhí)×耍?00米太長了，畫不下。

生7：可以只畫一小段。

師：把小路的長度改為20厘米，畫一畫，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學生畫圖后發(fā)現(xiàn)，每個間隔的長度是5厘米，20厘米中有4個這樣的間隔，一共要種5棵樹）

師：把比較大的數(shù)據(jù)改成比較小的數(shù)據(jù)來研究規(guī)律，這是數(shù)學中的化繁為簡思想。

【設計意圖】化繁為簡思想對學生來說是一種新的解題方法，將題目中的大數(shù)據(jù)改小，容易推導出規(guī)律，并將其應用于實際的情況，從而高效求得結(jié)果，這是學生在解決問題時常用的方法，也是建模過程中常用的策略。

三、抽象概括

學生在數(shù)學思維方面需要經(jīng)歷從具體到抽象、從個別情況到普遍規(guī)律的發(fā)展過程。數(shù)學模型是對一類問題數(shù)量關系的抽象概括，掌握一個數(shù)學模型能解決一類問題。創(chuàng)設真實的問題情境，讓學生嘗試解決，呈現(xiàn)多樣化的算法，在觀察、對比、辨析中總結(jié)“植樹問題”模型。

出示：學校思源樓旁有一條60米長的小路，為增添景觀，學校計劃在小路的一側(cè)種樹，并且要求兩端都要種。請各小組設計一套植樹方案，并填入表格。設計時應當考慮到株距、科學性和美觀性，以確保植樹方案的有效性和可持續(xù)性。

（小組合作，全班匯報交流）

教師板書：

師：在一條直路上種樹，兩端都種，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生1：路的長度除以間距等于間隔數(shù)。

生2：比較表格中間隔數(shù)和棵數(shù)這兩列數(shù)據(jù)，我發(fā)現(xiàn)兩端都種時，棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

（教師總結(jié)并板書：間隔數(shù)=總長÷間距，棵數(shù)=間隔數(shù)+1）

師：這就是我們要學習的兩端都種的植樹問題。

師：以上哪個植樹方案合適？說說你的理由。

生3：我認為間距3米的方案合適，間距剛好，綠化面積大。

生4：間距10米合適，這樣有利于樹木的生長。

……

師：根據(jù)綠化部門的要求，行道樹的種植間距一般是6～8米，這樣既有利于樹木的生長，也能美化環(huán)境。

【設計意圖】歸納法可以分為兩種：完全歸納法，即僅僅從某個特定的數(shù)據(jù)開始，通過分析其內(nèi)部的關系來推斷其本質(zhì)；不完全歸納法，需要從大范圍探索內(nèi)在規(guī)律，并從多個角度推斷本質(zhì)。這個環(huán)節(jié)運用不完全歸納法，通過表格的形式展示方法的多樣化，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出兩端都種的“植樹問題”模型，得出解決問題的策略。

四、變式應用

香港大學比格斯教授首創(chuàng)SOLO分類評價法，根據(jù)學生的回答能力、思路、一致性和相對收斂程度、整體結(jié)構(gòu)的特征，把學習過程分成五個層次：前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)、關聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展。不斷構(gòu)建真實的問題情境，讓學生充分應用模型理解抽象結(jié)構(gòu)，學生的思維水平將從第一層次逐步走向第四、第五層次，慢慢地從具體走向抽象，形成模型意識。

（一）解決同類問題

出示題1：金州路上有100個巨型中國結(jié)，每兩個中國結(jié)之間掛1個燈籠，需要多少個燈籠？

生1：燈籠掛在每兩個中國結(jié)之間，也就是掛在間隔處，100個中國結(jié)之間共有99個間隔，需要99個燈籠。

出示題2：廣場上的大鐘，幾時整就敲幾下，到6時整敲6下，每隔3秒敲一下，第一下和第六下之間間隔幾秒？

師：我們模擬敲鐘，咚……咚……咚……每隔3秒敲一下就是把敲擊后的延長音看成間隔，敲到第六下就不用算其后面延長的聲音，一共有5個間隔，“第一下和第六下之間間隔了幾秒？”求的是5個間隔時間之和，因此一共間隔了3×5=15（秒）。

出示題3：王老師的家每兩層樓之間有16級臺階。王老師一共走了64級臺階，王老師家在幾樓？

生2（模擬走樓梯的過程，并結(jié)合“植樹問題”模型）：16級臺階是1個間隔，64級臺階就是4個間隔，可以得出王老師家在5樓。

（二）提出同類問題

師：出一道與“植樹問題”同類的題目，考一考你的同學。

生1：在一條長50米的跑道一側(cè)，從頭到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面彩旗？

生2：一輛公共汽車的行駛路線總長度為30千米，每兩站之間的距離均為3千米，這條路線一共設置了多少個站點？

生3：把一根木頭鋸成8段，鋸一次用2分鐘，一共需要多少分鐘？

師：大家學會了“植樹問題”模型，要在各種不同的問題中去感悟、運用這個數(shù)學模型，加深理解。

【設計意圖】《課程標準》指出，數(shù)學作為一門通用的學科，在許多學科中被廣泛應用，運用學過的知識和方法解決簡單的實際問題，養(yǎng)成理論聯(lián)系實際的習慣，發(fā)展實踐能力。教師根據(jù)長度、間隔數(shù)、棵數(shù)三個關鍵因素，創(chuàng)設了掛燈籠、敲鐘、爬樓梯的生活情境，學生學會遷移類推、舉一反三，利用“植樹問題”模型提出其他問題，實現(xiàn)模型思想的萌發(fā)、成熟和發(fā)展，最終在比較、分析的過程中內(nèi)化模型，發(fā)展核心素養(yǎng)。

五、教學總結(jié)

培養(yǎng)學生的模型意識，需要把握三個要點：一是注重在多樣的情境中感知數(shù)學模型的抽象過程，從夾球跑、植樹、爬樓梯、掛燈籠等問題中，強化學生對模型的感覺與體悟；二是注重在建模過程中豐富建構(gòu)數(shù)學模型的具身過程，讓學生經(jīng)歷將生活問題數(shù)學化的過程，解釋生活中的問題，感悟模型的關聯(lián)性、抽象性與豐富性；三是注重在實際運用中感受模型的基本式與變式之間的關系，積累應用模型的經(jīng)驗。

《課程標準》強調(diào)，數(shù)學是一種能夠描述和解釋現(xiàn)實世界的有效工具，它可以幫助人們建立一系列適用于日常生活和其他學科的模型，從而有效解決問題。本節(jié)課緊扣“植樹問題”模型，從表象到本質(zhì)，從特殊到一般，從生活經(jīng)驗到數(shù)學模型，層層遞進，環(huán)環(huán)相扣，為發(fā)展學生的高階思維，設計了引入情境、化繁為簡、抽象概括、變式應用四個教學層次。

層次一：引入情境。引入“夾球跑”游戲情境，目的是使學生初步體驗“植樹問題”中的長度、間隔數(shù)、棵數(shù)等要素，學生體會到生活與數(shù)學的緊密聯(lián)系。

層次二：化繁為簡。目的是使學生在解決“植樹問題”的過程中真實感受化繁為簡思想，步步推理，經(jīng)歷解決問題的過程。

層次三：抽象概括。教學“植樹問題”的目的不是簡單地重復解題，而是讓學生對模型深入感悟，歸納提煉出一般規(guī)律，形成對模型的普適性的深刻感悟。

層次四：變式應用。目的是讓學生用“植樹問題”模型解決生活問題，增強模型應用意識，為形成模型觀念打下堅實的基礎。

整節(jié)課創(chuàng)設多個真實的生活情境，注重識別情境中的信息，根據(jù)信息發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，引導學生經(jīng)歷數(shù)學化的過程。學生運用操作、圖形、符號等多種方式表征題意，分析數(shù)量關系，抽象出“植樹問題”模型，用算式進行表達和解釋，通過比較不同的情境，體會到“植樹問題”模型的普遍性，提升模型意識。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 劉琳娜，劉加霞.模型意識的內(nèi)涵、評價維度及表現(xiàn)標準：以“有趣的搭配”單元為例［J］.小學教學（數(shù)學版），2024（3）：4-8.

［3］ 章勤瓊，陳肖穎.小學數(shù)學模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學：兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標［J］.課程·教材·教法，2024（1）：106-113.

［4］ 吳成業(yè).“數(shù)學廣角”中的數(shù)學思想方法挖掘：以《植樹問題》教學為例［J］.教育研究與評論（小學教育教學），2017（9）：80-82.

［5］ 鄭璘玲.從“個”到“類” 探尋模型建構(gòu)之路：以《數(shù)學廣角——植樹問題》為例［J］.福建教育，2022（1）：55-56.

（責編 黃 露）