基于認(rèn)知鞏固 推動(dòng)新知生長

［摘 要］在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一些看似簡(jiǎn)單而直觀的概念，對(duì)學(xué)生來說卻是不小的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)。因?yàn)閷W(xué)生不僅要理解它們的含義，還要能夠運(yùn)用邏輯思維來解決問題。在教學(xué)中，教師基于認(rèn)知基礎(chǔ)，架構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，推動(dòng)知識(shí)體系發(fā)展，幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、高效掌握數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，還能強(qiáng)化其學(xué)習(xí)自信心，獲得全面發(fā)展的機(jī)會(huì)。

［關(guān)鍵詞］認(rèn)知基礎(chǔ)；結(jié)構(gòu)化教學(xué)；生長點(diǎn)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）35-0047-04

數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了數(shù)學(xué)世界的基石，也是構(gòu)建其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要元素。學(xué)生能否深入理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，往往決定著他們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)更復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。乘法作為小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容，它的重要性不言而喻。在“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，筆者主要引導(dǎo)學(xué)生理解乘法的本質(zhì)，即幾個(gè)相同加數(shù)之和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。這種方法不僅有助于學(xué)生建立起數(shù)學(xué)的直觀感受，而且也為其后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、基于“鞏固”與“生長”分析知識(shí)點(diǎn)編排

蘇教版教材二年級(jí)上冊(cè)的“乘法的初步認(rèn)識(shí)”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“100以內(nèi)加減法”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步運(yùn)算學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在低年段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中起到承上啟下的作用。為此，筆者基于“鞏固”與“生長”梳理“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)思路。

（一）梳理知識(shí)體系

乘法的運(yùn)算和應(yīng)用的內(nèi)容貫穿了整個(gè)小學(xué)階段。乘法的基本概念構(gòu)成了學(xué)習(xí)多位數(shù)乘除法、乘法運(yùn)算性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)、小數(shù)和比例等其他主題的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。同時(shí)，乘法又是人們?cè)谌粘Ｉ钪薪鉀Q問題時(shí)經(jīng)常用到的基本技能。蘇教版教材對(duì)乘法相關(guān)內(nèi)容的編排見表1。

“乘法的初步認(rèn)識(shí)”是“表內(nèi)乘法（一）”單元的第一課時(shí)內(nèi)容，也是學(xué)生的數(shù)的運(yùn)算體系的一次重要擴(kuò)充。在此之前，學(xué)生在一年級(jí)學(xué)習(xí)了“100以內(nèi)的加法和減法”，對(duì)幾個(gè)相同的數(shù)連續(xù)相加，以及連續(xù)減去相同的數(shù)的運(yùn)算有了一定的體會(huì)。二年級(jí)“表內(nèi)乘法”兩個(gè)單元是讓學(xué)生建構(gòu)“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”的運(yùn)算模型。在三年級(jí)，學(xué)生通過對(duì)“倍”的理解，解決現(xiàn)實(shí)生活中的相關(guān)問題，建構(gòu)了“倍數(shù)模型”的知識(shí)框架。到了四年級(jí)，乘法模型有助于學(xué)生深入地理解和應(yīng)用乘法運(yùn)算，并運(yùn)用它來分析和解決更多類型的數(shù)量關(guān)系。到了五年級(jí)，依托生活情境，通過對(duì)整數(shù)乘法的意義的進(jìn)一步理解，學(xué)生完成了用字母表示數(shù)的學(xué)習(xí)。此外，在小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，以及圖形面積與體積的計(jì)算中也涉及乘法的相關(guān)內(nèi)容，都可以依托整數(shù)乘法運(yùn)算進(jìn)行知識(shí)體系的架構(gòu)。

（二）理解知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.課時(shí)知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)

“幾個(gè)相同加數(shù)的和”是學(xué)生建構(gòu)乘法概念的重要模式。在教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“幾個(gè)幾相加”的思維轉(zhuǎn)化過程，通過對(duì)乘法含義的分析，提取出“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的數(shù)量關(guān)系（如圖1），形成數(shù)學(xué)模型。

在認(rèn)識(shí)“幾個(gè)幾相加”的基礎(chǔ)上，學(xué)生了解了求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，初步理解乘法的含義，會(huì)讀、寫乘法算式，也知道乘法算式中各部分的名稱，體會(huì)到求幾個(gè)幾相加列乘法算式比加法算式簡(jiǎn)單。

2.單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

“表內(nèi)乘法（一）”單元編排具體內(nèi)容如圖2所示。

本單元知識(shí)概念的學(xué)習(xí)都是建立在乘法的意義和“幾個(gè)幾相加”模型上的，對(duì)于乘加、乘減的學(xué)習(xí)，學(xué)生可能產(chǎn)生這樣的認(rèn)知沖突，即某一份的個(gè)數(shù)與其他份的個(gè)數(shù)不同，此時(shí)教師可以就乘法的概念進(jìn)行擴(kuò)充，對(duì)乘法的應(yīng)用挑戰(zhàn)再提升一個(gè)難度。

（三）不同版本教材編排

1.從例題對(duì)比看教材

蘇教版、人教版和北師大版教材的例題中，都考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣點(diǎn)，選取了貼近實(shí)際生活的素材和情境作為知識(shí)點(diǎn)的引入，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。不同版本教材都是讓學(xué)生經(jīng)歷從圖到連加算式，再抽象出乘法算式的過程，即“情境圖—求總數(shù)是多少—列連加算式—幾個(gè)幾相加可以用乘法表示”，接著介紹乘法算式的各部分名稱及讀寫法。各版本教材都關(guān)注了加法算式和乘法算式的聯(lián)系，都編排了一道連加算式如何改寫成兩道乘法算式的教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)感受乘法算式的兩層含義做好鋪墊。

2.從習(xí)題對(duì)比看教材

蘇教版、人教版和北師大版教材的習(xí)題都設(shè)置了動(dòng)手操作的內(nèi)容，如“先擺一擺或圈一圈，再寫出算式”。在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)如何求出總數(shù)進(jìn)行及時(shí)總結(jié)并整理，增強(qiáng)了學(xué)生的整理意識(shí)，進(jìn)一步鞏固“幾個(gè)幾相加”模型。

（四）橫向融合結(jié)構(gòu)對(duì)比給教學(xué)的啟示

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出，要讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)的具體計(jì)算過渡到式的抽象運(yùn)算的過程，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。低年段的學(xué)生主要依靠直觀的形象思維來進(jìn)行學(xué)習(xí)，這種思維方式使其更多依賴于事物本身的具體形象和觸感來理解抽象的概念。對(duì)此，教師要采用出示圖片、提供故事情境、實(shí)物操作等手段，幫助學(xué)生建立起對(duì)知識(shí)的理解和感受，從而促進(jìn)他們從直觀到抽象的思維過渡。教材的編寫遵循了這一規(guī)律，即從具體的數(shù)數(shù)體會(huì)數(shù)的組成，再到從動(dòng)態(tài)情境中感受加減法的含義，最后從幾個(gè)相同加數(shù)連加的過程中體會(huì)乘法的含義，建立乘法的數(shù)學(xué)模型。

二、于“鞏固”中從學(xué)情走向知識(shí)

（一）順利過渡

乘法的初步認(rèn)識(shí)是建立在對(duì)加法意義理解上的一次提升。對(duì)乘法基礎(chǔ)的理解是建立乘法知識(shí)系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)，也是掌握整數(shù)四則混合運(yùn)算中的一個(gè)重要基礎(chǔ)。為確保學(xué)生能夠順利地從舊知過渡到新知，教師在教學(xué)策略上應(yīng)精心策劃，洞察并利用新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生不斷更新知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓新知不是簡(jiǎn)單地被接納，而是被重構(gòu)為對(duì)舊知的深化理解和拓展應(yīng)用。

通過一年級(jí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)能夠看圖列出連加算式，并正確計(jì)算。學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生也積累了“觀察圖片—找到相關(guān)數(shù)學(xué)信息—解決實(shí)際問題”的能力。部分學(xué)生也在生活或提前學(xué)習(xí)中，對(duì)乘法有了一些初步的了解，但僅限于對(duì)乘法口訣的記憶。了解學(xué)生的實(shí)際基礎(chǔ)，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，這對(duì)教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)來說非常重要。為此，在教學(xué)新知前，筆者對(duì)所教授班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前調(diào)查。

【前測(cè)題】

①擺1個(gè)六邊形用（ ）根小棒，擺4這樣的六邊形需要（ ）根小棒。

②4×2表示什么意思？請(qǐng)你寫一寫、畫一畫。

題①旨在考查學(xué)生對(duì)乘法含義的理解，當(dāng)學(xué)生通過數(shù)數(shù)或者連加算式發(fā)現(xiàn)每份數(shù)相同的時(shí)候，能否想象轉(zhuǎn)換成乘法模型，解決實(shí)際問題；題②是讓學(xué)生用自己的方式表達(dá)對(duì)乘法含義的理解，了解學(xué)生對(duì)乘法含義的理解程度。

通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維方式主要分為以下幾個(gè)層次（見表2）。

（二）鞏固新知

學(xué)生在接受調(diào)查反饋后，會(huì)主動(dòng)審視自己對(duì)新知識(shí)的掌握程度，進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。這樣的自我檢查機(jī)制促使學(xué)生能夠更加牢固地掌握新知。為此，筆者在課后進(jìn)行了學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)調(diào)查。

【后測(cè)題】

①

（ ）個(gè)（ ）相加

加法算式：

乘法算式：□○□=□（ ） 或 □○□=□（ ）

② 5×20表示什么意思？請(qǐng)你畫一畫。

③ 一共有（ ）個(gè)，我是（數(shù) / 算）出來的。我的算式是

（圈出你的方法，并在圖上畫一畫，表示算式的含義。）

對(duì)于題①，學(xué)生都能正確列出加法算式和乘法算式，并將加法和乘法的含義聯(lián)系起來（如圖3）。

對(duì)于題②和題③，學(xué)生的思維方式主要分為以下幾個(gè)層次（見表3）。

依據(jù)這些學(xué)情調(diào)查和學(xué)評(píng)調(diào)查，筆者可以對(duì)照《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求開展教學(xué)，進(jìn)行定量和定性相結(jié)合的評(píng)價(jià)，聚焦于學(xué)生對(duì)于乘法知識(shí)結(jié)構(gòu)的梳理、從而幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維能力。

三、于“生長”中從技能走向素養(yǎng)

在設(shè)計(jì)作業(yè)內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)注重加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“幾個(gè)相同加數(shù)之和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”概念的理解，使學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)清晰的乘法運(yùn)算模型，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。在本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上，筆者采取以下策略來進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

（一）關(guān)注開放性練習(xí)，培育數(shù)感

數(shù)感指的是對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟，在實(shí)踐中具有重要意義和價(jià)值。本節(jié)課程重點(diǎn)研究乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)相同數(shù)的連續(xù)相加。教師要在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)乘法時(shí)引導(dǎo)他們牢固地建立起“第一個(gè)乘數(shù)是表示相同的加數(shù)，第二個(gè)乘數(shù)是表示相同加數(shù)的個(gè)數(shù)”的關(guān)系，其中最重要的數(shù)量關(guān)系就是要突出“幾個(gè)幾相加”?；诖?，筆者在課堂教學(xué)中給學(xué)生補(bǔ)充了一些開放性練習(xí)（如圖4）。

開放性的練習(xí)設(shè)計(jì)不僅要注重學(xué)科知識(shí)的融合，更要致力于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用直覺理解數(shù)學(xué)概念的能力。通過這樣的練習(xí)，學(xué)生能夠依據(jù)其對(duì)“5個(gè)2相加”的直觀感受，自然而然地發(fā)掘出解決復(fù)雜問題的數(shù)量關(guān)系，從而促進(jìn)數(shù)感的發(fā)展。

（二）聚焦創(chuàng)造性練習(xí)，培育應(yīng)用意識(shí)

教學(xué)低年段時(shí)，教師要避免讓學(xué)生進(jìn)行枯燥的、抽象的數(shù)字運(yùn)算，而是要把學(xué)生的注意力集中在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的結(jié)合點(diǎn)上，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思維。

如在教學(xué)中，讓學(xué)生根據(jù)4×5編一道實(shí)際問題，并寫一寫、畫一畫。這樣具有創(chuàng)造性的練習(xí)設(shè)計(jì)既能激發(fā)學(xué)生的生活體驗(yàn)，又能促使他們思維的再生長。在學(xué)習(xí)中，提出問題的重要性遠(yuǎn)勝于解決問題。有的學(xué)生會(huì)根據(jù)課堂教學(xué)中出現(xiàn)過的情境提出“每組小雞有5只，4組一共有幾只小雞？”的問題，或是畫出用實(shí)物圖表示的問題。還有一部分學(xué)生則提出“1個(gè)鬧鐘5元，買4個(gè)鬧鐘多少錢？”“每個(gè)瓶子里有4顆糖，5個(gè)瓶子里有多少顆糖？”等問題。

綜上所述，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要通過反復(fù)打磨，不斷優(yōu)化教學(xué)過程，從宏觀上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，找出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)出知識(shí)的“鞏固”和“生長”兩種價(jià)值導(dǎo)向，力求讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的實(shí)質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí)和了解，從而使他們的創(chuàng)新思維得到發(fā)展，最終構(gòu)建“適合兒童的數(shù)學(xué)課堂”。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 宋乃慶，張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2008.

[3] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

（責(zé)編 李琪琦）