基于GGB的指數函數可視化設計與實踐研究

關鍵詞：GeoGebra；指數函數；可視化教學

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）26-0102-03開放科學（資源服務）標識碼（OSID） ：

函數教學貫穿著職校數學教學整個過程，是職校數學教學的重點和核心。函數教學可以讓學生理解生活處處是數學，數學來源于生活。而指數函數是職校數學教學過程中出現的第一個基本初等函數，也是在研究函數的單調性、奇偶性之后的繼而學習的函數。指數函數知識較為抽象，對數形結合要求較高，往往讓學生產生畏難情緒。指數函數的學習可以培養學生數學建模意識，提升學生對“數形結合”思想的理解與應用，這對于職校學生是必要的。值得注意的是，職校學生基礎相對薄弱，數形結合能力不強，給指數函數教學帶來了極大的挑戰。

顯而易見，數學可視化教學有利于知識呈現、學生接受和師生互動。楊海麗[1]指出可視化方式主要有文本表格、圖式和視頻等；廖彩云[2]將可視化工具分為外在表征工具和心理表征工具，其中心理表征工具包括背景、故事、模擬實驗等通用工具和數學史、數學實驗等專門工具；司業佳[3]借助GeoGebra構造了輔助函數教學三個案例，有助于學生概念理解。周后卿、徐幼專[4]將Matlab引入復變函數教學，通過大量的代碼，實現了復變函數可視化教學，促進學生對知識的深入理解；李昌志等人[5]運用Matlab和幾何畫板構建了函數和幾何兩個模塊的教學案例，提升課堂趣味性，引起學生的興趣，提高課堂效率；努爾色曼·買買提[6]編寫了相對應代碼，展示了Matlab在函數及其極限中的應用；高芹[7]將GeoGebra貫穿在備課設計、課上設計和測試反饋三個環節，對中職課堂教學優化顯著；王榮亮[8]基于GeoGebra的中職數學《函數》全過程可視化設計，克服了職校函數教學的抽象性；張茜[9]將Matlab應用到高等數學原理探究、數值計算和數學三大模塊，提升了學生學習效果；袁蘭蘭[10]利用GeoGebra進行數學問題、數學猜想和數學概念可視化設計，更利于學生理解概念，實現知識遷移。韋美成[11]指出GeoGebra具有功能齊全、操作方便、動態交互、易安裝、網上直接使用等優點，也開展了數學教學探究，顯著提高了學生的及格率、優秀率。王榮亮[12]將GeoGebra應用到線性規劃教學過程中，通過實踐表明：GeoGebra的使用可以激發學生學習線性規劃的動力，提升學生的操作能力。

可見，Matlab輔助數學教學可視化對編程要求較高，而GeoGebra 具有交互性能，更易于操作。采用GeoGebra輔助教學，呈現指數函數圖像繪制過程、指數函數單調性及指數函數圖像特征，可深化學生對指數函數的認識，學生對指數函數相關概念、性質與特征理解更直觀、更深刻，進一步體會“數形結合”思想。本文通過指數函數中的4個模塊展示了GeoGebra輔助職校指數函數教學過程，凸顯了GeoGebra的動態功能在教學中的重要作用，為職校數學教學提供一種思路和參考。

1 設計原則

在指數函數可視化案例設計過程中，根據指數函數的教學需要和學生的特點，要充分體現以下4個原則：

1） 注重應用性。數學來源于生活，函數在生活中隨處可見。從細胞分裂引出指數函數的基本概念，有利于培養學生應用數學解決實際問題的能力和素養。

2） 體現直觀性。在學習指數函數之前，學生對指數函數了解相對較少，而學生對純粹的代數推導過程和文字呈現往往會產生排斥心理。故而，將函數圖像有效地呈現出來讓學生通過圖像探討函數的單調性和圖像特征，可以加深學生對函數性質和圖像特征的理解和記憶。

3） 突出主體性。在教學可視化設計過程中要突出學生主體性的原則。突出學生主體性，就是在教學可視化設計過程中讓學生參與教學，與學生產生互動，將課堂交還學生，營造一個學生主動參與、獨立思考的環境，培養學生學習知識的興趣。

4） 強調可操作性。可操作性原則是保證設計的案例能被教師移植、學生參與的一個重要原則。在教學可視化設計過程中，要在保證邏輯性和正確性的基礎上，充分考慮案例可被其他教師所用，易于學生接受并參與操作。

2 可視化模塊與設計思路

指數可視化模塊主要包括案例構建、函數繪制、性質探討和拓展研究等4部分。其中，案例構建模塊主要通過模擬單個細胞分裂過程，讓學生對指數式增長有個直觀的感受。函數繪制模塊以單細胞分裂過程中的指數函數y=2^x為例，通過取值、描點、連線等步驟繪制出函數圖像，引導學生復習函數繪制的三個基本步驟。性質探討模塊通過改變參數，繪制不同底數的指數函數，引導學生觀察不同底數指數函數的單調性、定義域和值域等函數的基本性質。拓展模塊通過繪制底數互為倒數的指數函數，觀察每對指數函數的圖像之間關系，引導學生歸納出指數互為倒數指數函數的圖像特征。可視化模塊和設計思路如圖1所示。

3 可視化案

例指數函數教學可視化案例主要包括案例構建、函數繪制、性質探討和拓展研究等模塊。

3.1 案例構建模塊

案例構建模塊主要以細胞分裂為模型。如圖2所示，滑動條i 取值范圍為1～6，每次增加步長為1。通過拖動滑動條，改變滑動條i 的取值；文本表格中x顯示的是分裂的次數，y顯示的是經過x 次分裂后細胞的個數。例如滑動條i=1時，x=1，y=2，代表細胞分裂1 次，得到2個細胞，而當滑動條i=6時，x=1，y=2，代表細胞分裂6次，得到64個細胞。

在細胞分裂過程中，學生可以參與計算經過分裂i 次后的細胞，并根據模擬的動態過程直觀感受到細胞分裂過程中細胞個數以2x形式增長，增長的速度很快。模擬細胞分裂可以激發學生學習動力，培養學生探究精神。

3.2 函數繪制模塊

函數繪制模塊主要復習繪制函數圖像的3個基本步驟：取值、描點、連線。如圖3所示，函數繪制模塊以案例導入中細胞分裂次數和個數為坐標點，然后在繪圖區2中描出對應的坐標點，再進行連線。通過函數繪制模塊，學生可以回顧和鞏固繪制函數圖像的3個基本步驟。

3.3 性質探討模塊

性質探討模塊主要討論不同底數情況指數函數圖像的基本性質。如圖4和圖5所示，本模塊主要分為底數大于1和底數在0和1之間兩種情況。

圖4中，滑動條a 的取值范圍設置為1.1～6，每次增加步長為0.1。通過拖動滑動條a，可以觀察到指數函數圖像在底數大于1情況下函數的圖像。觀察函數圖像后，引導學生總結底數大于1情況下指數函數的定義域為全體實數、值域為（0，+∞）、單調性為單調遞增函數，且底數越大函數圖像也抖，增長速度越快。

圖5中，滑動條a 的取值范圍設置為0.1～0.9，每次增加步長為0.1。通過拖動滑動條a，可以觀察到指數函數圖像在底數在0和1之間的函數的圖像。觀察函數圖像后，引導學生總結底數在0和1之間指數函數的定義域為全體實數、值域為（0，+∞）、單調性為單調遞減函數，且底數越小函數圖像越抖，減少速度越快。

3.4 拓展研究模塊

拓展研究模塊主要研究底數互為倒數的一對指數函數的圖像特征。如圖6所示，滑動條底數a 的取值范圍為1.1～9，每次增加0.1個步長；變量b 設置為底數a 的倒數；A點x 坐標亦采用滑動條，并在圖中繪出點A（x，a^x）和點A1（-x，b^x）。通過觀察繪制底數互為倒數的一對指數函數圖像，以及A和A點之間的關系可以發現當底數互為倒數的一對指數函數的圖像關于y軸對稱。

4 實踐效果分析

為了分析GeoGebra輔助指數函數教學效果，討論GeoGebra是否可以激發和提升職校學生對學習數學的興趣，增強職校學生學習數學的動力，選取j2O/QuzA13bqqgQJuHTkcolKYGn1m2W4zj/jHAneQ1Q=了宿遷科技學校兩個平行班，一個為實驗班，一個為對照班。實驗班的教學老師教學過程中采用GeoGebra輔助指數函數可視化教學模塊，而對照班主要采用傳統的以粉筆和黑板為主導的授課方式。

對比兩個班級學習指數函數前后的兩次周末檢測成績（滿分為50分），如表1所示。兩個班級在實驗前成績沒有顯著差異，但是經過實驗過后可以發現實驗班相對對照班成績有較大差異。這說明GeoGebra 輔助數學教學相較于傳統的板書式授課方式更有利于學生對數學知識的吸收和掌握。

對實驗班的43名學生進行問卷調查，問卷內容包括2個主題，6個選擇題，回收有效問卷43份，統計結果如表2所示。調查結果顯示100%的學生希望使用GeoGebra輔助職校數學教學，95.3%的學生認為在職校數學教學過程中GeoGebra使用可以提高學習興趣，95.3%的學生認為在職校數學教學過程中GeoGebra 的使用有助于學生自身專注度的提升，95.3%的學生認為在職校數學教學過程GeoGebra的動態呈現功能可以幫助對概念的理解，93%學生認可在職校數學教學過程采用GeoGebra以增加互動性并認為這樣可以提升學生的探究能力，88.4%的學生認為職校數學教學過程中GeoGebra的使用可以降低知識難度。有助于學生對知識的掌握。

綜上，在職校數學教學過程中采用GeoGebra，有助于學生對概念的理解、激發學生學習興趣、夯實學生知識基礎。

5 小結

指數函數是職校數學課程中首先接觸到基本初等函數，具有一定的實際應用背景，也關乎學生對函數性質的把握和理解，對數形結合要求也相對較高，在教學過程中應理論性和實踐性相結合。GeoGebra 強大的繪圖功能和動態呈現功能，有助于指數函數教學的可視化，降低知識難度，幫助學生更好地理解概念，提升學生對數學的興趣，培養學生的探究能力。在職校數學教學實踐過程中，應當不斷拓展其應用，更好地提高教學質量。