GeoGebra軟件在物理高考真題分析中的應用

摘"要：本文結合2020年高考全國Ⅰ卷第18題和浙江1月選考第22題的解答過程，利用GeoGebra軟件模擬帶電粒子在勻強磁場中運動軌跡圓的動態變化，建構直觀清晰的幾何模型，幫助學生解決思維上的難點，培養學生的物理思維。

關鍵詞：GeoGebra軟件；高考真題；帶電粒子；動態圓問題

1"前言

帶電粒子在磁場中運動的“動態圓問題”是高考的高頻考點。在2020年的高考中全國Ⅰ卷第18題、全國Ⅲ卷第18題、浙江1月選考的第22題和7月選考的第22題都考查了不同類型的“動態圓問題”。同時，“動態圓問題”又是學生學習的難點。當粒子的速度大小或方向發生改變時，粒子在磁場中運動的軌跡圓會相應地進行“縮放”或“旋轉”的動態變化。因涉及較為復雜的幾何關系，致使很多學生無法建構正確的物理模型，進而在解答問題上出現困難。利用GeoGebra軟件的動態演示功能，可展示軌跡圓的動態變化過程，把抽象的物理模型顯性化和直觀化，快速創設易于學生理解的學習情境。筆者通過分類討論，梳理高考真題的解答步驟，詳細介紹在GeoGebra軟件中制作帶電粒子在磁場中運動的“動態圓問題”的方法。

2"真題分析

2.1"縮放圓問題（粒子入射速度方向不變，大小改變）

例題"（2020年全國Ⅰ卷第18題）一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，弧ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。［1］在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（""）。"

A. 7πm6qB

B. 5πm4qB

C. 4πm3qB

D. 3πm2qB

2.1.1"問題解析

此題考查的是帶電粒子在有界磁場中的運動。帶電粒子從c點垂直于ac射入磁場，這些帶電粒子的速度方向相同，但具有各種速率，因此運動軌跡各不相同，這構成了一道典型的“縮放圓”問題。粒子進入磁場后，所受的洛倫茲力提供其在磁場中做勻速圓周運動的向心力。通過推理可得粒子的運動周期為T＝2πmqB，在磁場中運動的時間t＝θ2πT＝θmqB。由表達式可知，粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關，只與軌跡圓對應的圓心角有關［2］，對應的圓心角越大，在磁場中運動時間就越長。因此解決此題的關鍵在于尋找軌跡圓對應的最大的圓心角，由于粒子的速度大小發生變化，粒子射出磁場的位置會在半圓邊界上移動，尋找軌跡圓對應的最大圓心角對于多數學生來講存在困難。針對上述困難，可以利用GeoGebra軟件直觀地顯示帶電粒子的動態軌跡，結合數理分析進行解決。

2.1.2"GeoGebra動態演示

第一步，繪制情境。打開GeoGebra軟件，選擇“線段”工具在x軸上繪制線段cd，長度為“12”，再選擇“半圓”工具繪制半徑為“3”的半圓ab。

第二步，繪制縮放圓。選擇“向量”工具過c點畫出垂直cd向上的向量，代表粒子的速度v，再選擇“圓（圓心與一點）”工具在cd上任選一點為圓心O畫圓并與速度v相切作為粒子的運動軌跡，切點為c。拖動O點即可實現軌跡的“縮放”。

第三步，繪制角度。選擇“交點”工具，點擊粒子軌跡圓和半圓ab的相交處，繪制交點A為粒子從半圓ab的出射點，再選擇“線段”工具連接圓心O和交點A，繪制線段OA，最后選擇“角度”工具依次點擊A、O、d三點，繪制角AOd。

第四步，動態演示。將O點從靠近c點處緩慢向d點移動，直觀地模擬粒子速度v緩慢增大，使得軌跡半徑逐漸增大的過程，觀察軌跡變化和∠AOd的變化過程（見圖1），從中可以發現，∠AOd的最大值為60°，故軌跡圓的最大圓心角為θ＝4π3。

第五步，結合GeoGebra動態演示進行數理分析（見圖2）。選擇“線段”工具連接c點和交點A，繪制線段cA，最后選擇“角度”工具依次點擊A、c、d三點，繪制角Acd，粒子從c點進入磁場，從A點離開磁場，可將此題等效為以直線cA為磁場邊界的問題，由于△cOA為等腰三角形，所以∠AOd的大小一定為∠Acd的大小的兩倍，當邊界cA與半圓ab相切時∠Acd最大，最大值β＝30°，故∠AOd的最大值α＝60°。

2.2"旋轉圓問題（粒子入射速度大小不變，方向改變）

例題"（2020年浙江1月選考第22題）通過測量質子在磁場中的運動軌跡和打到探測板上的計數率（即打到探測板上質子數與衰變產生總質子數N的比值），可研究中子（10n）的β衰變。中子衰變后轉化成質子和電子，同時放出質量可視為零的反中微子υe。如圖所示，一些位于P點的靜止中子經衰變可形成一個質子源，該質子源在紙面內各向均勻地發射N個質子。在P點下方放置有長度L＝1.2m以O為中點的探測板，P點離探測板的垂直距離OP為a。在探測板的上方存在方向垂直紙面向里，磁感應強度大小為B的勻強磁場。［3］

已知電子質量me＝9.1×10－31kg＝0.51MeV/c2，中子質量mn＝939.57MeV/c2，質子質量mp＝938.27MeV/c2。（c為光速，不考慮粒子之間的相互作用）

若質子的動量p＝4.8×10－21kg·m·s－1＝3×10－8MeV·s·m－1。

（1）寫出中子衰變的核反應式，求電子和反中微子的總動能（以MeV為能量單位）；

（2）當a＝0.15m，B＝0.1T時，求計數率；

（3）若a取不同的值，可通過調節B的大小獲得與（2）問中同樣的計數率，求B與a的關系并給出B的范圍。

2.2.1"問題解析

求解此題的關鍵是要畫出質子在磁場中運動的動態軌跡，位于P點的質子源在紙面內向各個方向均勻地發射質子，即質子的速度大小不變，但速度可沿紙面內的任意方向，這是一道典型的“旋轉圓”問題。本題對大多數學生來講不太容易理解，原因如下。

問題1：不理解能打在探測板上的質子的發射速度需滿足什么條件。

問題2：不理解質子為什么不能是左右對稱地打在探測板上。

問題3：不理解質子打在探測板上最遠處時對應的圓軌跡是半圓的情況。

問題4：不理解質子打在探測板上的分布是怎么樣的。

顯然板書或紙筆作圖很難將質子的運動軌跡動態地演示出來，而借助GeoGebra軟件可以很直觀地演示質子的動態軌跡，幫助學生解決問題。

2.2.2"GeoGebra動態演示

第一步，繪制情境。打開GeoGebra軟件，選擇“線段”工具，根據比例關系，繪制長度為“8”的線段AB作為探測板；選擇“描點”工具，在距離探測板中心上方“1”處繪制點P作為質子源；選擇“圓（圓心與半徑）”工具，以P點為圓心繪制半徑為“1”的圓；選擇“對象上的點”工具，在圓上任選一點v，用“向量”工具連接Pv，右擊圓后選擇“顯示對象”來隱藏圓，以向量Pv作為質子發射的速度v；選擇“描點”工具繪制出探測板的中點O。

第二步，繪制旋轉圓。選擇“垂線”工具，過點P作Pv的垂線，再選擇“圓（圓心與半徑）”工具，在垂線上任選一點為圓心C畫半徑為“2”的圓，切點為P，注意根據左手定則確定質子的偏轉方向，右擊垂線后選擇“顯示對象”來隱藏垂線，拖動v即可使軌跡圓在紙面內完成360°旋轉，使質子軌跡與探測板相交，再選擇“交點”工具繪制沿偏轉方向過來的軌跡與探測板的第一個交點D作為質子打在探測板上的位置。

第三步，動態演示。選擇“線段”工具，連接C點和D點，C點和P點繪制出線段CD和CP，并設置為虛線，逆時針拖動v，當軌跡和探測板恰好出現交點D時，軌跡與探測板左側相切，說明質子恰好能打在探測板上，如圖3所示。為方便觀察質子打在探測板上的位置變化，可以右擊交點D，選擇“顯示軌跡”，當質子與探測板的交點D恰好要消失時，軌跡與探測板右側相切，說明質子恰好無法打在探測板上的情況。很顯然，質子打在探測板上不是左右對稱的，運動軌跡從“優弧”變為“劣弧”。質子在探測板上的分布圖如圖4所示。

由上述分析過程可知，質子打在探測板的左側OA部分的長度明顯大于右側OB部分的長度且并未超過探測板的最左端，打在左側最遠的情況如圖5所示，軌跡恰好是以PD為直徑的半圓。從左側相切到左側最遠的這部分探測板的長度也可以稱為“二次探測區”。

第四步，結合GeoGebra動態演示進行數理分析。結合圖3，質子恰好打在探測板上的情況，過P點作CD的垂線，垂足為E點，結合直角△PCE可得sinθ＝CECP＝R－aR，即sinθ＝12，故θ＝30°；或直接使用“角度”工具顯示角度大小，數理關系和角度顯示如圖6所示；故能打在探測板上的質子所占的比例為η＝π6＋π＋π62π＝23。要保證計數率不變，就是保證恰好打在探測板上的質子的出射角度不變，始終滿足sinθ＝R－aR＝12，即a＝R2，再結合圖5中的直角△OPD；當磁感應強度B逐漸減小時，質子的運動半徑逐漸增大，恰好打在探測板最左端的質子具有最大的運動半徑Rm，滿足的幾何關系為（2Rm）2＝a2＋L22，最終可求得B≥1540T。

3"結束語

講解一道物理題，離不開條理清晰的解答過程，也離不開簡便直觀的輔助工具。2020年高考全國Ⅰ卷第18題和浙江1月選考第22題看似簡單，實則考查了學生的分析能力、推理能力、作圖能力、動態軌跡的想象能力、數理結合能力。GeoGebra軟件功能強大，簡單易學，利用GeoGebra中的動態演示功能，將帶電粒子在磁場中運動的“縮放圓”“旋轉圓”等動態問題制作成直觀可視化的教學課件，可以有效降低教師的教學難度和學生的理解難度，真正做到突破教學難點，達到事半功倍的效果。

參考文獻

［1］吳迎春，張曉明. 解析法求解2020年高考全國理綜Ⅰ卷第18題［J］. 中學物理，2021，39（3）：60"-61．

［2］李開瑋. 利用動態圓求解粒子在電磁場中的運動問題［J］. 南方農機，2021，52（10）：161"-162．

［3］陶漢斌. 建構物理模型"厚植物理觀念——鑒賞2020年1月浙江選考物理壓軸題［J］. 物理教師，2020，41（5）：84"-86，89．