淺談基于問題解決的卡文迪什扭秤實驗教學

摘"要：“最美十大實驗”之一的卡文迪什扭秤實驗被選入了2019年人教版高中物理必修第二冊教科書的“拓展學習”模塊。但在高中物理教學中，關于卡文迪什扭秤實驗的實驗研究較少。首先，本文從經典卡文迪什扭秤實驗的原貌入手，描述了卡文迪什扭秤裝置構造及其發展歷史。其次，本文分析了實驗教學中的難點及其成因，并探討了利用科學方法來解決這些問題。最后，本文旨在通過深刻理解卡文迪什扭秤實驗，為教學實踐提供創新性啟示。

關鍵詞：物理實驗教學；卡文迪什扭秤實驗；問題解決；教學研究

卡文迪什扭秤實驗不僅在物理學史上有著重要的地位和深遠的影響，還對當下的物理教學有著重要的實踐意義。該實驗的設計與操作中遇到了許多實際問題，運用科學方法來解決這些問題的過程成為了實驗教學的優秀素材，這有助于培養學生解決實際物理問題的能力。

1"卡文迪什扭秤實驗原貌

1.1"測量引力常量的歷史困難及原因

經典力學奠基人牛頓在提出萬有引力定律后，一直被引力常量的測量難題困擾，他終生都未能解決這一難題。歷史上有人嘗試利用山體的引力測量引力常量，但未能得到精確結果。直至1798年，卡文迪什才第一次得出較為精確的引力常量數值。結合前人研究成果和物理學史記載，測量困難的原因主要有以下四個方面。

第一，萬有引力十分微弱。萬有引力是四種基本相互作用力中最微弱的，只有在質量巨大的物體之間，引力的作用效果才變得明顯。與生活中常見的電磁力相比，萬有引力要弱得多；通常電磁力比萬有引力強約1039倍（例如單電子與單質子相互作用時）。因此，在測量萬有引力很容易受到諸如電磁力等其他作用力的干擾，從而增加了測量的難度。

第二，引力作用不可屏蔽。任何具有質量的兩個物體之間都存在萬有引力，具萬有引力無法被屏蔽。在任何實驗中，無論我們測量哪兩個物體之間的萬有引力，都會受到周圍所有物體產生的萬有引力的影響［1］，這就給萬有引力的測量帶來了巨大的麻煩。由于萬有引力的不可屏蔽性，我們無法做到在測量中徹底消除其他物體的影響，只能通過一些方法來削弱其他引力的干擾。

第三，引力常量無法用其他基本物理常量表示。由于引力常量十分微弱且難以直接測量，因此，通過探索其他基本物理常量來間接得出其數值也是一種不錯的辦法。但直至今日，人們都沒有找到引力常量與其他基本物理常量之間的關系。所以，這種間接測量的方法目前還行不通。

第四，測量技術水平影響測量結果的精度。引力常量的測量離不開技術支撐，沒有先進的實驗技術很難得出高精度的數值。因此，利用技術改進實驗裝置是提升實驗精度的重要途徑。

1.2"經典卡文迪什扭秤設計

卡文迪什計劃在實驗室中測量引力常量與地球的質量。擺在他面前的首要困難是萬有引力太過微弱。如果在實驗中不能測出物體間萬有引力的大小，甚至連其產生的影響都觀測不到，那一切都是空談。不過，卡文迪什的老師米歇爾在測量磁鐵間的相互作用時發明了一種巧妙測量微小作用力的方法：即把一塊磁鐵用細絲懸掛起來，再用另一塊磁鐵與其發生力的作用，致使細絲發生扭轉；通過測量細絲的扭轉程度，可間接地計算出磁力大小。［2］受到老師這種方法的啟發，卡文迪什設計了一種用于測量萬有引力的扭秤裝置（見圖1）。他用扭絲懸掛起兩端各置一個小鉛球的輕質桿，在兩側用兩個大鉛球吸引小鉛球，使扭絲發生旋轉，這就是卡文迪什扭秤的雛形。

由于萬有引力太過微弱，卡文迪什在實驗初期未能觀測到扭絲有明顯的轉動。于是他從扭絲材料的選擇、角度測量的手段和實驗環境的掌控等多個方面，對扭秤進行設計改良。

首先，卡文迪什采用石英絲作為扭絲。扭絲的特性對卡文迪什扭秤實驗極其重要，因為扭絲的熱彈性、滯彈性、易老化以及非線性等特性，都會直接影響引力常量的測量精度。［3］因此，選擇合適的扭絲對實驗的成功起著至關重要的作用?？ㄎ牡鲜仓赃x取石英絲作為扭絲，原因有兩個：其一，石英絲的扭轉常數很小［4］，這意味著即使是很小的作用力也能使其發生扭轉，便于測量扭轉角度；其二，石英絲比金屬材料有更低的內耗，這有利于降低熱噪聲對扭秤運動的干擾和減小滯彈性效應的影響，從而提高實驗精度和測量結果的準確度。

其次，卡文迪什利用光放大法測量扭轉角度。盡管卡文迪什選取扭轉常數很小的石英絲作為扭絲，但由于扭轉的角度較小，依舊難以測量。為了解決該問題卡文迪什試圖用光放大法將扭轉的角度放大［5］，具體做法是在扭絲上安裝一面小鏡子，通過鏡子的反射光的移動來測算扭絲的扭轉角度。如此，微小的角位移經過“光杠桿”的放大作用，就轉換成了坐標紙上顯而易見的光點位移，從而使角度的測量問題迎刃而解。

最后，卡文迪什選擇在封閉黑暗的孤立環境下進行實驗。由于萬有引力不僅十分微弱且不能被屏蔽，而且在實驗過程中，小鉛球必然會受到除大鉛球以外的其他物體的引力干擾。實驗人員和實驗室內的一切物體，甚至連實驗室外物體的移動都會對實驗造成干擾。另外，氣壓、氣溫變化等因素也會對實驗結果的精確度產生影響。為了有效防止了室內氣溫變化等因素產生的空氣流動干擾卡文迪什在封閉黑暗的環境下進行實驗。為了避免周圍物體的引力與地面震動的影響，他在遠處利用望遠鏡對實驗進行觀測，并安裝滑輪系統用來遠程控制實驗中物體的移動。［6］

2"卡文迪什扭秤教學實驗中的困難

雖然教學用的引力常數測定儀在卡文迪什扭秤的基礎上進行了改進，但教師在利用其進行卡文迪什扭秤教學實驗時，還是會遇到很多問題，仍需運用適當的物理科學方法巧妙地解決這些問題。

一是扭轉常量k的測量問題。扭轉常量k是與懸絲自身物理性質相關的物理量，往往無法用測量儀器直接測出。不同的懸絲有著不同的扭轉常量，即使材質與規格完全相同的懸絲，也會因為生產技術與儲存環境的不同存在差異。采用間接測量或替換的方法為解決扭轉常量k的測量問題提供了可能。

二是平衡位置的測定問題。扭秤的平衡位置對實驗的最終結果有著至關重要的影響。但每次調節扭秤后，扭秤都會擺動較長的時間，再加上地面的震動以及其他作用力的影響，使得扭秤很難真正靜止；這對靜態平衡位置的準確測定十分不利。如果能探索一種在擺動過程中即可測量靜態平衡位置的方法，那么扭秤難以靜止的問題便可得到解決。

三是反射光旋轉角的測得問題。扭秤旋轉角度的測量是通過懸絲上的凹面鏡轉換為反射光旋轉角的測量，使得微小的扭秤旋轉角度變為比較易于觀測的反射光旋轉角度。但反射光的旋轉角并不能直接用角度測量工具測出，同時還存在記錄與測量的困難。

3"教學實驗問題的解決

3.1"周期測量法——避開扭轉常數的測量問題

卡文迪什扭秤教學實驗通常依托引力常數測定儀，測定引力常量G值。根據已知扭秤在平衡狀態下必然滿足萬有引力的力矩與扭絲的扭轉力矩相等，用公式表示可得

2GMmr2d＝k·α2。①

（注：其中M、m分別為裝置中大小鉛球的質量，d為小鉛球到懸點的距離，大鉛球從初始位置旋轉到平衡位置時，所觀察到的反射光旋轉角記為α。由于測定儀中與扭絲相連的凹面鏡的作用，扭絲扭轉角度實際是觀察到的反射光旋轉角的二分之一，記為α2。）

將①子進一步變形為

G＝kαr24Mmd。②

教學實驗中，扭絲的扭轉常數k的測量是一個不易解決的難題。不過，扭轉常數k的確定依賴于扭擺周期。用累計法測量扭擺周期，不僅可以巧妙地避開扭轉常數k的測量難題，還能在引力常量的表達式中消去小鉛球質量m，使得計算更加方便。

有學者指出，可以利用查表法獲取石英絲的扭轉常數。［7］然而，查表法看似方便，實際上并不可靠。因為不同石英絲有不同的物理參數，如純度、長度、直徑和生產日期等均存在差異，這些差異會使扭轉常數存在差異，所以不能用一個統一的數值來代表所有石英絲的扭轉常數。況且，查表法的前提是有表可查，我們往往無法查到實驗所用的石英絲扭轉常數的可靠記載。鑒于以上情況，為尋找更科學可靠的方法，下文再次分析實驗原理。

每次調整扭秤時，它都會因為微小擾動而往返扭轉運動。在忽略空氣阻尼的情況下，扭秤轉動為角簡諧運動。扭絲在恢復力的作用下，繞豎直軸的方向做往復扭轉運動。

由胡克定律可知

M＝－kθ，③

式中M為扭絲的回復力矩、k為扭轉常數、θ為扭絲的扭轉角度。

根據轉動定律可得

M＝Iβ，④

式中的β為扭轉運動的角加速度，I為與扭絲相連的輕桿與小鉛球構成的系統繞豎直軸的轉動慣量。

如果忽略輕桿的質量，則有

I＝2md2，⑤

式中的m為小鉛球的質量、d為小鉛球到懸點的距離。

由角加速度的定義，可得

β＝d2θdt2。⑥

聯立③④⑥式，可得

d2θdt2＝－kθI，⑦

令ω2＝kI，則有

d2θdt2＋ω2θ＝0。⑧

由此式可知，扭絲的往返扭擺運動，具有角簡諧運動的特性。類比簡諧運動的通解，扭絲的扭擺運動可表示為

θ＝Acos（ωt＋φ），⑨

式中的A為角振幅，ω為角速度，φ為角初相位。由簡諧運動的周期公式，可得

T＝2πω＝2πIk。⑩

該式可變形為

k＝4π2IT2。B11

聯立②⑤B11式，可得

G＝2π2r2dαMT2。B12

由B12式可知，經過一系列替換后，引力常數的表達式中消去了扭轉常數k，引入了扭擺周期T。因此，并不需要直接測出扭轉常數k的值，只需要測出T后，代入⑩式，便可以計算出引力常量的數值。所以，測量扭轉周期T成為關鍵問題。

在實際情況下，扭絲受到空氣摩擦等阻力的影響做阻尼擺動。但是，在誤差允許范圍內可以認為其擺動的周期與理想周期相等；進而可以用實際扭擺的周期作為T，代入B12式進行計算。

由于扭秤的扭擺周期較短，直接用秒表進行測量會產生較大的誤差。因此，我們可以采用累積法進行周期的測量。選取扭秤擺動的幾個周期（例如5個周期）進行觀測，從扭秤進行第一個周期運動時開始計時，直到觀測過程的最后一個周期運動結束時停止計時，所得時間記為t。用時間t除以扭秤在觀測過程中運動的周期數n，便可以得到扭秤擺動的平均周期，即T＝tn。通過巧用累積法得到的平均周期，所以有效地減小測量誤差，提高了引力常量測量的精確度。需要注意的是，在觀測過程中，我們要合理選擇觀測周期，避開小鉛球撞擊扭秤玻璃外殼的情形。

3.2"等比法——解決平衡位置的測量問題

在教學實驗中，每次調節扭秤后，扭秤都會進行長時間的扭擺，并不會馬上靜止在平衡位置。因此，如何確定其平衡位置就成了一個新難題。在扭秤的動態過程中，采用等比法可以巧妙地解決這個難題。由于空氣的阻尼系數很小，若等待扭秤徹底靜止下來再去測量其平衡位置是一件十分耗時且麻煩的事情。除此之外，扭秤還會受到地面震動等其他外界因素的干擾，要想使其徹底靜止下來是極其不易的。

因此，在實驗中，往往采用在動態過程中確定扭秤的平衡位置的方法。扭秤的平衡位置可以用扭秤處于平衡狀態時反射光的光點位置來表示，記為x0。當扭秤振動衰減到不接觸扭秤的玻璃板外殼后，便可以開始記錄。觀察隨扭秤一起振動的光點的運動情況，當光點第一次達到最大的振幅時，標記其位置并記為x1。之后，光點向反方向運動并達到最大振幅，標記其位置并記為x2，以此類推，就有了x3、x4、x5等數據。將這些數據用平滑曲線連接起來，形成的扭秤阻尼擺動圖像（見圖2）。

根據阻尼擺動的規律可知x0－x2x1－x0＝x3－x0x0－x2。B13

此公式說明，扭擺的振幅按照等比數列的規律進行衰減。因此，我們將這種確定平衡位置的數學方法稱為等比法。只要獲得連續三組符合要求的振幅數據，便可代入B13式求出扭秤的平衡位置。等比法簡便快捷，在實驗中被多次用于平衡位置的測量，極大地提高了實驗的效率和精度。

3.3"幾何法——化解反射光旋轉角的測量問題

利用光放大法測量扭絲的扭轉角度，可以將扭絲的扭轉角度轉換為反射光的旋轉角度進行測量。測量反射光的旋轉角同樣需要借助一些巧妙的方法。扭絲上鏡面的旋轉致使反射光的角度發生變化。需要注意的是，二者變化的角度并不相同。通過仔細觀察實驗裝置后，我們不難發現反射光的旋轉實際上是扭絲上鏡面扭轉角度的2倍。如果我們將鏡面或扭絲的扭轉角度用α2表示，那么反射光變化的角度就是α（見圖3）。

變化前后的反射光與坐標紙（或刻度尺）形成了一個三角形。三角形的頂角極其尖銳，由反射光組成的兩條邊遠遠大于光點在坐標紙上移動所形成的邊。如果將鏡子到坐標紙的距離記為L，坐標紙上光點的移動距離記為S，則有LS。

依據幾何關系，能夠得出

α≈SL。B14

將B12B14式聯立可得

G＝2π2r2dSMT2L。B15

因此，只需測出S與L便能代入公式計算出扭轉角度α。鏡子到坐標紙的距離L可用米尺測出；而坐標紙上光點的移動距離S，則可以在確定平衡位置后通過計算得出。建構幾何三角形計算扭轉角度的幾何法，簡捷地解決了扭轉角度的測量問題。

4"結語

經典卡文迪什扭秤的設計巧妙地運用了轉換法、放大法、平衡法、替代法等多種科學方法，成功克服了測量引力常量的難題。在卡文迪什扭秤的教學實驗過程中，我們巧妙地運用了累積法、等比法、幾何法等科學方法，對實驗進行了細致的處理，使得卡文迪什扭秤在教學環境中得到了成功復原進一步的改進。這樣的處理不僅幫助學生更深入地掌握了卡文迪什扭秤實驗的相關知識，還促進了他們建構完整的物理理論體系，從而達到了優化教學效果的目的。

參考文獻

［1］涂良成，黎卿，邵成剛，等.萬有引力常數G的精確測量［J］.中國科學：物理學"力學"天文學，2011，41（6）：691"-705.

［2］李艷平，申先甲.物理學史教程［M］.北京：科學出版社，2003：107.

［3］黎卿.扭秤周期法測G實驗中的系統誤差研究［D］.武漢：華中科技大學，2013：13.

［4］陳洪云.物理科學方法在卡文迪許扭秤設計及實驗中的妙用［J］.物理教師，2015，36（2）：15"-16，26.

［5］趙海發，金恩培.光放大方法及其應用［J］.物理實驗，2003（1）：45"-46，48.

［6］戎凱.卡文迪許和庫侖，誰動用了誰的智慧［J］.物理教學，2012，34（7）：62"-63.

［7］張欣怡.扭秤實驗蘊含的科學方法及其在高中物理教學中的應用研究［D］.成都：四川師范大學，2020：11.