突出本質 深度自主 發展素養

單元教學課的開展目的不僅是為學生解決本節課的“眼前問題”，更重要的是通過數學知識的整體建構和經驗方法的總結，引導學生準確把握知識的實質內涵和生成路徑，滲透數學基本思想方法和關鍵能力的培養，實現教育價值。近期再次觀看全國教書育人楷模李庾南老師展示的“怎樣研究幾何圖形——以平行四邊形為例”的示范課，感受頗多。李老師以學習幾何圖形為主題，以平行四邊形為例，基于對數學本質的深刻理解，與學生深度對話，在探索平行四邊形的定義、性質、判定等知識關聯中發展學生素養。筆者認為這不僅體現了教育名家對“掌握基本方法，熟悉基本套路”教學的追求，更體現了教育名家對教學知識系統的深刻理解。筆者現整理三個教學片段，分享個人反思，以期對一線教師，尤其是對青年教師有所啟發。

一、教學片段

片段1：回顧定義，獲得研究對象

師：同學們，今天我們一起來研究怎樣學習幾何圖形。對于一個新的幾何圖形，我們首先要把它的基本特征用數學語言表達出來，這種表達就稱為圖形的定義，然后要分析定義的條件有幾個要素。現在以平行四邊形為例進行研究。

師：如圖1，請同學們觀察黑板上的幾何圖形，它的組成要素有什么特征？

生：它是四邊形，而且有兩組對邊分別平行。

師：那么用數學語言如何來表達它的這種特征呢？

生：有兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。

師：這個命題的條件是什么？

生：條件是一個四邊形的兩組對邊分別平行。

師：是的。條件有兩個，第一是四邊形，第二是兩組對邊分別平行。這個定義還可以用符號語言來表達，如圖1，在四邊形ABCD中，因為AB∥CD，AD∥BC，結論：這個四邊形是平行四邊形。

片段2：關聯聯想，探究研究對象

師：如果告訴你這個幾何圖形是平行四邊形，你能說出對邊的位置關系嗎？

生：兩組對邊分別平行。

師：所以在研究幾何圖形的時候要知道定義的雙重作用：定義中的條件不僅是這個圖形判定的原始方法，也是這個圖形所具有的基本性質。那就先從基本性質出發，由兩組對邊分別平行能推導出什么關系？

生：數量關系。

師：數量關系通常研究的是線段和角。我們運用平行的性質“兩直線平行，同旁內角互補”，能得到什么結論？

生：因為AB∥CD，所以∠B+∠C=180°，因為AD∥BC，所以∠C+∠D=180°，所以∠B=∠D，理由：同角的補角相等。同理，∠A=∠C。

師：由此我們得出平行四邊形的兩組對角分別相等。

師：另外，兩直線平行，內錯角相等。要形成內錯角，就要有截線，如何構造這條截線？

生：如圖2，連接對角線AC。

師：由AD∥BC，推出∠1=∠2。由AB∥CD，推出∠BAC=∠ACD，對角線將平行四邊形分成了兩個全等三角形，此時可以推導出組成平行四邊形有關要素的數量關系嗎？

生：兩組對邊分別相等。

師：同學們，平行四邊形的兩組對邊分別平行對兩條對角線的數量關系與位置關系有沒有影響呢？從數量關系來看，平行四邊形的兩條對角線相等嗎？

生：不相等。

師：為什么不相等？

生：連接BD，想要證明BD=AC，如圖3，就要證明△ABC和△DCB全等，條件已經有AB=CD和BC=CB，還要有一個夾角相等，即∠ABC=∠BCD=90°，但條件中并沒有告訴我們這兩個角是90°，因此不能推導出對角線相等。

師：接著我們來思考平行四邊形的兩條對角線的位置關系，請同學們以小組為單位討論交流。

生：我們發現對角線AC和BD相互平分。

師：你們怎么知道的？

生：由平行四邊形兩組對邊分別平行且相等，得到AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，進而得到∠1=∠2，∠ABO=∠CDO，可以證得△ABO≌△CDO，即AO=CO，BO=DO。

師：是的，平行四邊形兩條對角線的相交是特殊相交——互相平分。這樣我們就得到平行四邊形的三個性質命題。這三個性質命題的條件只有一個：四邊形是平行四邊形。結論是：兩組對邊分別平行且相等、兩組對角分別相等、兩條對角線互相平分。

片段3：逆向思考，升華研究對象

師：剛才所得到的性質定理都是由兩組對邊分別平行作為基礎，所以平行四邊形的定義是一棵大樹，三條性質是長出來的枝。研究平行四邊形的判定也要類比這樣的方法。根據定義，我們就要研究一個四邊形需要具備什么樣的條件才能夠得到兩組對邊平行。聯想平行線的判定：“同旁內角互補，兩直線平行”，此時這個四邊形要具備什么條件？

生：兩組對角相等，再加上四邊形內角和為360°，就可以利用“同旁內角互補，兩直線平行”來證明兩組對邊平行。

生：根據研究性質的經驗，構造截線，連接對角線AC，如圖2，要證明∠1=∠2和∠BAC=∠ACD，只需要證明△ABC≌△CDA即可，此時還少條件：第一，如果有AD=BC，再加上AD∥BC就可以了；第二，如果用“SSS”來證明這兩個三角形全等，那么這個四邊形要滿足兩組對邊分別相等。另外，如果對角線互相平分，由全等三角形依然可以得到角相等，進而得到兩組對邊分別平行。

師：將上述的幾種思路經過嚴格證明后就能得到平行四邊形的判定定理。顯然，判定定理的條件、結論與性質定理是相反的，所以它們是互逆命題。

二、感悟反思

1.突出學科本質，深度自主建構

何為本質呢？就是一類事物區別于其他事物的標志。平行四邊形區別于其他圖形的標志就是“有兩組對邊平行的四邊形”，這是其他幾何圖形所不具有的。反之，具備這樣的條件，這個幾何圖形就是平行四邊形。所以性質和判定就應該從定義中生長出來，就像植物一樣，定義是根，其余枝干上的研究都是從這個點上長出來的，從這個角度上來講，性質與判定的學習順序其實無本質的區別，它們應該是融為一體的，我中有你，你中有我。定義、性質、判定的教學，其本質應反映數學幾何圖形的內涵，即邊、角、線的位置關系和數量關系。性質和判定的學習要一致，這是數學學習該有的邏輯體系。本節課從邊的相等以及邊的平行角度來研究平行四邊形，通過探究從特殊到一般的關系，追求邏輯連貫和前后一致的幾何教學，在經歷一類圖形的整體研究過程中，關注思想方法在知識建構中的自然滲透。本節課的上位邏輯是平行線的性質及判定，李老師相機引導，深度對話，凸顯知識之間的關聯。

章建躍教授曾說過，理解數學是教好數學的前提。李老師正是站在已經理解數學的高度，抓住數學抽象的特點，關注學生數學思維的發展對學生終身發展的影響來設計教學。我們看到，教育名家從學科內部的聯系來重構教學內容，用教材教，而不是教教材，一氣呵成，把這些知識之間的內在邏輯聯系在整體視角下理清楚，自主建構出新的知識框架，為學生今后學習幾何圖形明確路徑，進而促使學生獲得良好的學習經驗。

2.突出教學本質，深度自主發展

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學教學應該注重數學知識之間的聯系，潛移默化地讓學生感受知識之間的聯系。歐式幾何就是以最基本的定義為地基形成的一座大廈，片段教學中，李老師從觀察圖形邊的關系出發，從中找到教學的邏輯起點——定義，分析定義的雙重作用，從定義出發合理猜想，再進行推理論證。

同時，教是為了不教。教學本質上是師生雙方互動的過程，在這個過程中，教師需要給學生提供指導性的意見，而不是把原生態的問題拋出來消耗學生寶貴的課堂時間。今天雖然以平行四邊形為例，但是它的研究方法是研究幾何圖形的一般方法。如果平行四邊形的邊和角有了特殊的關系，平行四邊形的圖形、性質和判定又會有什么樣的變化？所以教學片段傳達給我們的是對教學本質的理解，即教學過程中的元認知策略，利用類比學習的方法來積累研究平面幾何的套路和思維，從特殊入手，發現共性，抽象概括，從而形成一般結論。經歷了研究平行四邊形的過程之后，學生不僅獲得了新知識，還獲得了研究策略和方法，激發了深入探究的熱情和自信。

通過對李老師這節課的課例設計、教學藝術等分析，筆者獲得的是對自身專業成長的再教育，即從默會知識，到“悠然神會，妙處與君說”的顯性傳遞。學生對知識的學習與探索，在于積累解題經驗，提升解題能力，感悟知識中蘊含的數學思想方法。李老師對數學教學進行高深理解與研究后，再對學生的學情做出正確的評估，建構出學習幾何圖形的通性通法，創設具有概括性、系統性、有梯度的教學環節，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，落實學生的主體地位，凸顯教師的主導作用。學生不僅體會到數學知識內在的邏輯關系和巧妙的研究方法，而且提升了思維境界，為自主發展搭建了更廣闊的平臺。

總之，從學科邏輯到學習邏輯是教師必須學會思考的問題。我們看到教育名家充分關注內容的結構化整合，突出數學知識的本質，使得學生在掌握知識技能的同時，感悟數學知識的本質，學會“數學地思考”，形成和發展核心素養。正如李老師的這一節生動的數學課，通過單元教學的思想引領，學生掌握了研究一類圖形及其關系的基本方法，這是對數學知識本身及其發生、發展過程中反映的數學思想和方法的再概括和再組織，也正是李老師找準核心素養落地發展的一種有效的教學設計與實踐，集中體現了教育名家的智慧和創新精神。

（作者單位：江蘇省宿遷市中小學教學研究室）