素養導向的學科實踐：思維可視化的實現路徑

[摘要] 20多年的數學課程改革，“滿堂灌”的課堂形態得到較大改變，但虛假探究現象仍較突出。新課改要求學生以實踐的方式進行學科學習，展現思維的過程與結果，讓“探究”迭代升級。數學學科實踐是實現思維可視化的路徑之一，思維可視化助力數學學科實踐育人價值的彰顯。基于對課標、教材、學情的準確把握，多樣實踐形式讓思維“看得見”“看得清”“看得遠”。圍繞問題解決，以問題解決為導向，構建真實有意義的情境，激活學生認知及探究的心理，引導學生經歷問題表征、策略探究、方法遷移、模型構建等可視化過程，發展數學思維素養。數學學科實踐并不是數學學習的唯一方式，應根據學習內容與學習對象特點靈活選擇多種學習方式，合理進行思維可視化，發展學生核心素養，實現學科育人功能。

[關鍵詞] 核心素養；學科實踐；實踐育人；思維可視化；數學學科特質

[中圖分類號] G64[文獻標識碼] A[文章編號] 1005-4634（2024）05-0086-07

數學課程改革已實施了20多年，課改突出綜合實踐活動的“實踐”功能，“自主、合作、探究”學習方式的普遍運用，使“滿堂灌”的課堂形態得到較大改變。但是，數學學科實踐基本上還是項目式學習或主題活動形式，“為探究而探究”的“虛”“假”“泛”“淺”“僵”現象仍較突出，無法從根本上促進學生“像專家一樣思考與行動”、用“學科的方法”獲得并實踐“學科知識”，實現知行合一和自我建構。2022年，《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》正式實施，要求將“實踐”融入到各學科課程學習中，促使“自主、合作、探究”迭代升級，以實踐的方式進行學科學習，展現思維的過程與結果，提升學生思維能力與動手操作能力，將學科實踐轉化為學科素養。

從學科特性出發，以學科獨有的方式學習，以學科實踐落實學科育人，培育學生綜合素養，是學科實踐的出發點與歸宿。數學學科實踐離不開思維參與，以獨特的思維方式解決數學問題，使數學知識轉向數學素養發展。“雞兔同籠”是經典的數學問題，多種版本教材均安排了此內容。人教版安排在四年級下冊“數學廣角”探究活動中，主要目的是讓學生經歷自主探索問題的解決過程，呈現思維歷程，理解列表、畫圖、假設法，在學科實踐中滲透數學思想與方法，發展學生數學核心素養。下面以“雞兔同籠”教學為例，探討如何在學科實踐中發展學生思維能力。

1數學學科實踐、思維可視化的邏輯關系

1.1數學學科實踐的內涵

20世紀50年代，施瓦布（iCBfuST5sZc2ga3Aosv9VQ==Schwab J J）在亞里士多德、杜威等人思想的基礎上提出并發展了實踐課程概念，認為實踐課程具有“真實性、探究性、過程性與情境性”等特點[1]，驅動著對學科實踐內涵的重構。“學科實踐”是針對真實情境中的特定問題，運用具有學科特點的做法，讓學生像專家一樣，通過動手和動腦親身體驗探究的過程[2]。傳統的學習方式多為記憶、練習、理解、思考等，本次課程改革，將從根本上改變傳統的“坐而論道”等育人方式，強化行動、體驗、感悟、思維、創造等多樣學習形態。杜威的名言“教之于學猶如賣之于買”，闡明了將書本知識轉化為學生的知識的重要性。只有親身經歷知識產生的歷程，讓知識在“基于實踐、通過實踐、為了實踐”的過程中產生、應用與發展，才能使“學了”變成“學會了”，才可能將書本知識變為學生的知識。學科實踐不僅可以使學生學習和運用新知識，而且能促進其綜合素質的發展[3]。

數學學科實踐是以數學學科知識學習為基礎，以真實問題情境和高階思維參與為基本特征，圍繞數學問題解決，以發展學生數學眼光、數學思維、數學語言為目的的實踐學習方式，也是一種對知識的理解、探究和創造的數學學習活動。數學學科實踐樣式包括但不僅限于綜合與實踐活動課程，一般包括以探索發現為目標的數學問題探究、以驗證理解為目標的數學實驗操作、以綜合應用為目標的主題活動或項目活動3種基本樣式。數學探究性學習從本質上說是一種數學學科實踐形式。加拿大不列顛哥倫比亞省課程改革，設置了各個學科的實踐方式，其中數學實踐包括“推理和分析”（reasoning and analyzing）、“理解和解決”（understanding and solving）、“溝通和表征”（communicating and representing）、“聯系和反思”（connecting and reflecting）。“雞兔同籠”問題，具有較強的探究性，讓學生親身經歷“假設—比較—調整”的問題解決的過程，能夠積累數學經驗，訓練思維能力，發展數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養。

1.2思維可視化的內涵

思維可視化，是“讓思維可見”，以恰當的操作活動（如直觀語言、圖式表征、動作操作等），將“看不見，摸不著”的思維，變得“看得見，摸得著”，讓他人能看得見自己的思考路徑，讓自己看得見思維的影響，從而促進思維成長。約翰·哈蒂提出了 “可見的學習”核心概念，當 “可見”發生時，對學生學習產生的效應最大[4]。 根據活動理論內化和外化結合的原則，學科實踐活動有將學生個體的認知轉化為外在行為的外化過程，改變著學生的學習方式。因而，學科實踐活動是由內化轉向外化，再由外化影響內化的過程。思維可視化，是小學數學深度學習的典型特征。借助思維外顯手段，有利于將抽象的數學知識具象化，把內隱的思維過程外顯化，實現“內”思考與“外”表現的轉化，激發學生主動思考的意識與活力，實現真正的深度學習。“雞兔同籠”課堂學習，借助簡單的圖形、表格等表征形式，記錄了猜想的過程，留下了思考的痕跡，呈現多種列表方法，發展了學生思維的靈活性、獨創性。

1.3數學學科實踐與思維可視化的關系

1.3.1數學學科實踐是實現思維可視化的路徑之一

數學學科實踐的本質要求是用數學獨特的方式學習數學，是基于數學學科特點，體現數學學科思想和數學方法，彰顯數學意蘊的學習方式。沒有思維參與的實踐不是數學實踐。數學學科實踐以問題探究為核心，思維過程與思維形式則是問題探究的內在邏輯和最終追求[5]60 。再現與描述思維過程和思維形式，即是思維可視化的過程。數學學科實踐能引發學生數學思考，用數學的思維方式方法發現問題與解決問題，并形成清晰的數學邏輯思路，用恰當的形式將思考過程表現出來并與他人交流，實現了思維的可視化。“雞兔同籠”教學將學生帶入古今對同一問題解決方法的差異化情境中，引導學生用已有的知識與經驗進行猜想、驗證，經歷列表有序思考—繪圖數形結合—運算驗證等實踐操作過程，以列表、畫圖、算式等方式將思考過程可視化，實現了“學科實踐”與“思維可視化”的巧妙結合，學生的知識體系得到了自主建構。

1.3.2思維可視化彰顯數學學科實踐育人價值

根據多維學習理論，借用數學符號、圖形、文字語言或者動作等表達數學實踐過程與結果，讓學習過程外顯、情境可視，學生必定能得到全新的心理體驗，激發多種感官參與，促進“四基”“四能”發展，形成正確的情感、態度和價值觀。

數學學科實踐結果相同，并不等于思維過程一致。問題解決方法的多樣性，取決于思維方式的多樣性。學生在用列表法解決“從上面看有8個頭，從下面數有26只腳，雞兔各有幾只”問題時，在得出“雞3只、兔5只”正確答案的學生中，所用方法與時間統計見表1。

由此可見，學生雖都用列舉方法得到了正確答案，但思維過程有異，用時也有較大差異。針對幾種列舉法，教師引導學生結合“添足”或“抬腳”畫圖法，進行對比分析，溝通了列舉與假設法的關系，深刻理解了假設法的本質，進一步彰顯了分享活動前學生自主探究實踐活動的價值。

多樣的思維可視化方式，優化了實踐操作過程。“畫出來”“寫出來”“說出來”更能推進“做”得更好。在解決“雞兔同籠”的問題時，教師請8位學生到臺上扮演雞和兔，嘗試有26只腳在地，提出問題：“需要有幾位學生扮演雞或兔？”經過討論，有5位學生自然將“手”扮為兔足。他們既能表演出裝扮的過程，也能描述為什么這樣裝扮，“所說”即“所想”，以“說”的方式表達“想”和“做”的過程。當頭不變（學生人數不變）時，探究如何調整“足”的數量，降低了實踐操作難度，也優化了操作過程。

學科實踐包含了多種思維可視化方式，正確應用能有效地促進學生思維的生長與發展，提升學生的數學素養。

2基于思維可視化的學科實踐路徑建構

2.1指向思維可視化的學科實踐設計起點：基于課標、教材、學情分析

新課程標準要求強化“做中學”，“做”讓思維“看得見”。引導學生參與數學學科探究活動，經歷發現問題、解決問題、建構知識、運用知識的過程，體會數學思想與方法，提升解決真實問題的能力。人教版小學數學教材“數學廣角”，從學生日常生活中選材，如路燈安裝、花壇擺花、道路旁植樹、沏茶、烙餅等，在實際生活問題的解決過程中滲透數學思想與思維方法；有部分內容增加了閱讀資料，介紹了有關數學知識，滲透了數學文化，如古代的數學問題“雞兔同籠”等。“數學廣角”突出在數學操作中進行數學思考，在可見的活動中學習。如在“找搭檔”游戲中思考排列組合，在“田忌賽馬”過程中思考數學優化，在探究“雞兔”各多少只的活動中體會假設法的應用等，在具體探究實踐過程中形成理性思維。

對于“雞兔同籠”的教學內容，不同版本教材編排年級、體例、呈現的問題解決方法有別，表2為各版本教材“雞兔同籠”問題分布情況及解決方法。

“列舉”讓思維“看得清”。9種教材都把此內容作為獨立的學習主題，呈現了“列舉法”這種基本的問題解決策略，體現了“猜想—比較—推理—調整”探究過程。人教版（2014）將內容安排在四年級下學期，以列表比較、畫圖表征為基本特征的“可視化”平臺，使學生在具體的“猜想—比較—調整”過程中感受“雞兔”頭與腳數量的變化規律，深度理解抽象的“假設法”的本質（列舉法與畫圖法都體現不同層次的假設思想）。

“假設”思想分學段滲透，讓想象思維逐漸“看得遠”。用列表假設法進行實踐探究，是用數學學科特有的方式進行活動，有鮮明學科實踐的特點。假設是一種預見與猜想，是有意義的高階思維，也是一種問題解決的重要思想方法。小學階段，基本上是在具體真實的情境中假設，假設的過程與結果常以具體的圖像、圖表、符號、數值等方式表達，是一種具體化的假設，是在數學學科實踐活動中假設。學生從一到六年級數學學習過程中貫穿了“假設法”或假設的思想，表3為學生在各學段運用假設法的情況。

由此可見，學生從一年級開始接觸假設法，但很隱蔽。假設法與具體操作結合，用圖表、算式等方式表達假設法的過程，將抽象的推理轉化為便于理解的具象，由圖表到抽象的符號，層層遞進。

九種教材中，人教版教材最早安排“雞兔同籠”假設法解決問題，并以此構建問題模型思想。四年級是一個承上啟下的過渡年級，雖然學生的邏輯思維能力不斷發展，推理意識逐漸增強，但是形象思維在問題解決中仍占有重要地位。調查發現，在課堂學習前，有近30%的學生以“試”“猜”的方法找到數字較小的“雞兔同籠”問題的正確答案，能找到數字稍大的“雞兔同籠”問題的人數僅為10%左右。由此表明，“試”也有方法，盲目地“試”對復雜問題的解決作用不大。學生需要在不斷猜測中獲得確定的規律，應用規律解決問題，實現“不試”或科學地“試”。“雞兔同籠”的學習，使學生借助列表特例進行嘗試與探究，發現隱含的替換規律，明確“畫圖”“列舉”“假設”等方法間的內在聯系，進而真正理解假設法原理，推動思維發展。

2.2圍繞數學問題解決：基于思維可視化的數學學科實踐的實施路徑

學科實踐是學科學習方式，學生在主動探索、積極參與學科問題解決的“類實踐”學習活動中，發展知識理解等關鍵能力，實現素養轉化[6]。 “情境參與和問題解決是實踐學習方式區別于其他各種學習方式的基本特征。”[7]數學學科問題是實踐學習的導向，問題解決是實踐學習的基本任務。學生在真實有意義的情境中，以學科問題激活學生認知及探究的心理，在問題解決的過程中理解知識、應用知識和獲取新知識。

2.2.1問題表征，思維驅動

問題解決時，對問題涉及的對象、條件、目標等方面，用文字、圖表、符號或模型等具體和通俗易懂的方式表現出來，驅動大腦對問題進行相關信息的記載、理解和表達等思維活動，建立起問題表征。問題解決前，對問題信息與問題本身進行表征，能有效促進問題解決策略的選擇與應用。問題表征是一種對問題情境和結構進行心理加工的過程，貫穿問題解決全過程，很大程度上影響問題解決的難易程度。教師進行“雞兔同籠”教學時，出示《孫子算經》，多媒體演繹主題圖；學生模仿圖中小孩苦想的情境，并有感情朗讀，在感悟題目含義時，體味了古代文化之美。學生被激發了解決問題的興趣，發現了題目隱蔽的信息：一只雞比一只兔少兩只腳。教學PPT呈現雞免的簡筆畫，如圖1所示。教師提問：“如何才能算猜對呢？”此問題推動了學生進一步表征問題的內在關系：雞、兔的頭之和為35個，腳一共94只。問題解決過程中，有的學生列舉錯誤，“顧頭不顧腳”，或“顧腳不顧頭”，其根本原因在于對問題信息表征的錯誤，沒有將題目信息建立關聯，形成“頭、腳”的信息結構，建立正確的數量關系，也缺乏用數學的眼光觀察與分析問題的能力。

根據圖式理論，結構良好的圖式能夠幫助學生識別與構建問題情境中的數量關系，有效運用已有的數學知識、思想方法，多元表征問題結構，如用列舉、畫圖、算式等方式表征信息與問題的關系，讓數學操作更有趣味與吸引力，同時驅動了思維的可視化發展，降低了問題解決的難度。

2.2.2問題探究，思維可視

問題引領，動手操作，逼近本質。學科實踐的顯著特點是動手操作，不僅有實物操作、表象操作，還有符號操作，即用雙手去做、用大腦去想、用眼睛去看等。“雞、兔各有幾只”問題的解決，主要借助符號操作。學生從最初的無序猜想，到有序列表；從逐一列舉（如表4）、跳躍列舉（如表5），到最后取中列舉（如表6），在一系列的自主探究活動中，感受到假設法從本質上看就是特殊的列舉法。從數據調整的變化過程中，學生探尋雞兔的頭、腳間的變化規律，發展邏輯思維能力。在解決“8只頭20只腳，雞兔各幾只”時，從8只雞0只兔共16只腳開始列表，添4只腳就達到腳總數20只的題目要求。由“怎樣添”“理由是什么”的問題，引發學生討論“將1只雞換成1只兔”后腳的變化規律：每換1只，腳增加2只。借助畫圖解釋猜測的過程（如圖2），用圓圈加兩條線作雞腿，畫出形象的雞，再加兩條線（兔腿）變成兔，讓思考可視化，從具體到抽象恰當解釋了跳躍列舉和中間列舉法的合理性。

認知體驗，思維貫通，知識建構。課堂中解決“雞兔同籠”問題，學生從未知開始，在“猜”的過程中用畫圖、列表、驗算等最原始的“笨”方法，逐漸體驗“猜想—對比—調整”的推理過程，不斷積累學習經驗，在實踐探究中一步步優化思維方式，實現了由一一列舉到取中列舉、由畫圖到列式、由猜到算等問題解決方法的轉化，建立假設法的運算模型。以“對比”的方法關聯知識結構，發展學生數學理解力。對比與反思“列舉、畫圖、假設”3種方法的異同，揭示3種方法之間的內在聯系。列舉是一種特殊假設，畫圖是直觀體現列舉、假設的過程，其本質上是一致的，都是假設法的不同形式的體現，實質都蘊含了“假設—驗證—調整”循環往復的思維過程。

分享交流，展示過程，拓展思維。語言是思維的外殼，用自己的語言表達“怎樣想”“為什么這樣想”“想的結果是什么”等問題，這是具有數學學科特點的語言實踐活動。學生用自己的語言表述思考的過程：假設全是雞，則腳有8×2=16（只），腳少了26-16=10（只）；一只雞換成一只兔腳多了2只，則要將多少只雞換成兔？10÷（4-2）=5（只），即兔有5只，雞有8-5=3（只）。最后，學生歸納了此類問題用假設法解決的基本流程。學生用自己的語言、圖式、算式等方式表達自己的思維過程，總結、提煉問題解決的方法，并分享給其他學生，以體驗成功的喜悅，不斷積累思考的原動力。課前，獨立用各種方法猜測、驗證答案；課中，小組交流自己的想法，向全班展示分享自己的思維過程，教師追問，引發學生深度思考。整節課，學生通過猜想驗證、分享交流、討論升華的學習活動，理解假設法的內涵。

2.2.3問題遷移，思維進階

“學以致用”是模型思維能力的體現，學生在實踐活動中學習知識，再回歸到實踐中應用知識。小學數學模型意識主要是指對數學模型普適性的感悟。數學模型思維，是指通過對現實問題進行抽象與推理，建立數學模型，并用數學模型解決類似問題的意識與觀念[5]58。學生將生活問題經過“數學化”轉化為數學問題，在數學問題解決過程中掌握數學知識，建立數學模型；再用恰當的數學方法與工具，將學習的問題轉化為生活問題，與外部世界建立聯系，實現數學模型向生活問題的拓展與遷移，提升思維素養。

用學科實踐的方式學習數學，目的在于讓外在的數學知識向內在的素養遷移與轉化。學習遷移是學生學校生活學習與真實世界問題解決間的通路[5]60。 “雞兔同籠”問題蘊含的數學思想主要是假設推理，在幾種方法建立關系的過程中，理解假設法的本質“假設—對比—調換”，把握了假設思維的“神”；從直觀到建構，初步感悟了假設法的數學模型，得到了假設思維的“形”。再演繹到“龜鶴”“三輪車和自行車”“植樹”“買票”等新的生活問題，引導學生認識到在具體生活實踐中，很多新問題的解決都可以用這種“嘗試—調整”的思維方式，假設思維“形神”完美相遇，數學模型靈活運用。讓學生將問題模型應用到生活問題的解決中，從問題解決走向思維建構，發展了學生用數學的眼光觀察現實生活、用數學的思維分析生活問題、用數學的方法解決實際問題的數學核心素養。

3正確處理好兩對關系，聚焦學生素養提高，提升學科實踐的實效性

多次轟轟烈烈的課改，取得了很大成就，同時由“滿堂灌”到“滿堂問”、由“自主”變“自流”、教師由“演員”變“觀眾”、課堂由缺乏探究到無探究不成課等極端現象也不少見，嚴重違背課改初衷，影響課改質量，給課程研究與實踐者諸多教訓與思考。本次課改試圖以學科實踐為支點，撬動育人方式的變革，讓“自主、合作、探究”迭代升級，構建實踐育人新模型，學科實踐在新課改中煥發新機，充分發揮“做中學”的應有價值。但是，如果處理不好傳承與改革、“為什么要改”“要改什么”“要改到什么程度”三者關系，過分偏向一種學習方式的正面而忽略觀察它的反面，也會重蹈復轍，不利于學生學科核心素養的發展。在提倡以學科實踐學習方式促進思維可視化的同時，需要聚焦學生素養的提高，正確處理學科實踐、思維可視化與核心素養的關系，以提高教與學的實效性。

3.1正確處理學科實踐與學習方式多樣化的關系

3.1.1學科實踐學習不是數學學習的唯一方式，也不是思維可視化的唯一道路

數學知識的多樣性與知識構建的復雜性決定了學習方式的多樣性。實證研究發現，樣例學習、發現學習（類似于實踐學習）和觀察學習，3種學習方式均有助于學生對技能要素的遷移，而樣例學習更有xFulXOgGGIq/OKsvQsES1w==助于原理關系和解題策略方法的遷移；學生先前知識經驗較為豐富且能與要學習的新知識建立起聯系時，發現學習對于促進學生概念理解的優勢才能被凸顯，如缺乏教師指導，對學習程序性知識沒有優勢；觀察式學習不利于概念性、程序性知識學習[8]。由此可知，實踐學習方式不是數學學習的唯一方式。有的概念學習，如小數、分數等，也可用接受式學習，用概念同化方式把新概念納入學生原有認知結構中去理解，如在整數概念基礎上認識小數，用新概念的實質性意義，改善原有的認知結構。“雞兔同籠”的學習，滲透了多種學習方式，如學生展示列舉法時，學生同時采用了觀察學習方式和樣例學習方式等。同樣，思維可見，不僅可以將思維的過程與結果“做”出來，還可以“說”出來、“畫”出來等。需要根據學習的內容及學習對象的特點靈活選擇可視化的方式，提升學習效率。

3.1.2研究適合學科實踐學習的內容與對象特點，恰當運用思維可視化方式

學科實踐不是萬能的，有其適用的內容與對象。教學時，需要從育人體系的角度系統設計課程，避免虛假、淺層次的學科實踐。深入分析學習內容，哪些內容適合學科實踐，以什么方式進行實踐；哪些知識不利于實踐學習，需要站在前人或自己的肩上學習。否則，數學學習將會走向另一個極端，進入“實踐化”胡同。若所有內容都運用“綜合實踐”式學習方法學習，將會大大降低學習實效性。除了分析教學內容和學科結構外，還需要分析教學對象——學生的知識結構、心理特點，合理選擇學習方式，分析教師怎樣介入發揮引導作用，以思維可視化促進學生思維發展，而不僅是學習方式的運用。

3.1.3正確評價學習效果，以效果反饋調整學習方式

基于數學學科實踐學習的“操作探究”的特點，對實踐活動的評價側重在表現性評價，評價維度注重數學觀念態度、數學思維變化等。設計測評量表將數學核心素養轉化為可測量的外顯行為，實現從“知識測評”轉向“素養測評”，發揮評價的診斷與導向功能等，優化思維可視化學習路徑的設計，提升學習效率。

3.2正確處理思維可視化與思維內隱性的關系，避免為“可視”而“可視”現象

數學學科實踐是一種很好的思維可視化途徑。在實踐過程中，數學知識由抽象轉化為形象直觀，將內隱的數學思維變得可視化，有利于知識的掌握、技能的形成。從認知心理學的角度認識思維，思維是人腦中的內部加工活動，具有很強的內隱性，有的是只可意會無法言傳，憑直覺認識、靠無形頓悟的內在思維活動；也有的是潛在的目前沒有表現出來的思維過程或結果。數學學科實踐，重點是具身體驗，沒有必要將所有過程都可視化，如數感、量感等，通常是一種直覺的感悟，在實踐活動中形成，但要學生用什么形式體現他的感悟，確實很困難。因此，不必強行“實踐”，或為了“可視”而“可視”，忽略了學習效果。

4結語

數學學科實踐順應時代發展，回答數學應“怎么教”“怎么學”等問題，將認知與行動聯結，實現從知識教學轉向學科育人。同時，以實踐方式實現了思維可視化，體現數學學科特點。應恰當運用數學學科實踐，發揮綜合育人作用，助推每位學生在數學上得到不同發展，逐漸形成適應終身發展需要的核心素養。

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Literacy-oriented discipline practice： the realization path of thinking visualization—take the teaching of “chicken and rabbit with the same cage” as an example

TANG Bin，WANG Jing

（The Primary School Affiliated to Wuhou Experimental Middle School，Chengdu， Sichuan610043，China）

Abstract

Over the past two decades of mathematics curriculum reform，the traditional “teacher-centered lecturing” classroom format has undergone significant changes，but the phenomenon of superficial inquiry remains prominent. The new curriculum reform advocates learning through practical activities，emphasizing the presentation of both the thinking process and its results，aiming to upgrade the concept of “inquiry-based learning.” Mathematical practices serve as one of the pathways to make thinking visible，thus highlighting the educational value of these practices.With a precise understanding of curriculum standards，textbooks，and student needs，diverse practical approaches make thinking“visible”“clear”and“far-reaching.”Centered on problem-solving and guided by it，real and meaningful contexts are created to stimulate students’ cognitive and inquiry processes.Students are guided through visual processes such as problem representation，strategy exploration，method transfer，and model construction，which contribute to the development of mathematical thinking skills.However，mathematical practices are not the only approach to learning mathematics.Various learning methods should be flexibly chosen according to the content and characteristics of the learners.Effective visualization of thinking should be employed to cultivate students’ core competencies and achieve the educational goals of the subject.

Keywords

core competencies;disciplinary practice;practical education;visualization of thinking;characteristics of mathematics discipline

[責任編輯馬曉寧]