旋轉角問題的深入探究

摘要：旋轉角問題對學生空間想象力和幾何思維的培養有著重要意義，然而，由于旋轉角問題的抽象性和復雜性，許多學生在解題過程中感到困惑.因此，研究初中旋轉角問題的教學策略，對于提高學生的數學能力和興趣具有重要意義．

關鍵詞：初中數學；旋轉角；教學策略；解題能力

旋轉角問題是初中數學中重要的幾何題型之一，本文探討了初中階段旋轉角問題的教學策略，通過分析旋轉角問題的特點，結合教學實踐，提出了針對性的教學方法和策略，旨在幫助學生更好地理解和掌握旋轉角知識，提高解題能力．

1旋轉角問題梳理

在線段上某一特殊點C處作固定大小的角∠DCE（如圖1、圖2），我們把與這個角有關的各種問題稱之旋轉角問題．

解決此類問題有以下四種常見方法.

（1）造等角.

以C為頂點再構造一個和∠DCE相等的角，這樣就可以得到一對新的相等的角，然后利用新角相等去解決問題．

（2）構造一線三角.

過旋轉角的頂點會有一些特殊的直線，利用這些直線構造一線三角．

（3）構造特殊三角形.

利用固定的旋轉角構造直角三角形或者等腰三角形等特殊三角形，以此來轉化成其他角的問題或者其他基本圖形問題．

（4）導出角的特殊關系.利用旋轉角的特殊關系進行分析、轉化，得到三角形中的特殊關系去解決問題.

總結：教學策略的實施有效提高了學生的旋轉角問題解題能力，通過直觀演示和動手操作，學生更容易理解旋轉角的概念和性質.

教師可以利用教具或多媒體展示旋轉過程，讓學生觀察旋轉前后圖形的變化，從而加深對旋轉角的理解.

2例題精講

例題如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝6，點E在邊BC上，∠CAE＝45°，CE＝10，則線段AE的長度為．

方法1：造等角（1）．

把∠CAE看成是旋轉角，以A為頂點再造一個45°角和原45°角旋轉．

思路1：在邊BC上取點F，使得BF＝AB，連接AF得到∠BAF＝45°，所以∠BAF＝∠CAE，易得到∠BAE ＝∠CAF，利用這兩個角相等構造相似解決問題．

如圖3所示，延長AB至H，使得BH＝BE，延長AF交DC延長線于G，設BE＝x，根據△AHE∽△AGC，列方程求解．

利用∠BAE＝∠CAF相等，還可以構造如圖4所示的△ACF∽△AEG；如圖5所示的△ACG∽△AEB，列方程求解．

截取BF＝AB

還可以得到∠DAF＝∠CAE，所以∠EAF＝∠CAD，利用這一組角等構造如圖6所示的△EGA∽△CDA；如圖7所示的△FEA∽△GCA；如圖8所示的△EGA∽△CHA，利用相似關系解決問題．

思路2：延長CB至F，使得BF＝AB，連接AF，得到∠BAF＝45°，所以∠BAF＝∠CAE，易得到∠EAF＝ ∠CAB，利用這兩個角相等構造相似解決問題．

如圖9所示，延長AB至G，使得BG＝BC，設BE＝x，根據△AFE∽△AGC，列方程求解．

如圖10所示，延長CB至F，使得BF＝AB，作FG⊥AF交AE延長線于G，作EH⊥FG于H，設BE＝x，由△ABC∽△AFG，得FG＝2（10＋x），再用△GEH∽△GAF，列方程求解．

如圖11所示，過E作EH⊥AF于H，根據△EAH∽△CAB，列方程求解．

如圖12所示，延長CB至F，使得BF＝AB，△ACF∽△ECA，所以AC2＝CE·CF＝AB2＋BC2，

根據該式列方程求解．

思路3：延長CD至F，使得DF＝AD，連接AF得到∠DAF＝45°，所以∠DAF＝∠CAE，易得到∠CAF＝∠EAD，利用這兩個角相等構造相似解決問題．

如圖13所示，延長CD至F，使得DF＝AD，在邊AD上取點G，使得∠AGE＝45°，設BE＝x，根據△AEG∽△ACF，列方程求解．

方法2：造等角（2）．

把∠BAD看成是旋轉角，以A為頂點再造一個90°角和原90°角旋轉．

思路1：如圖14所示，作AF⊥AE，且AF＝AE，過F作FH⊥CD于H交BA延長線于G，則CF＝CE，設BE＝x，根據△ABE≌△FGA得FG＝AB，AG＝BE＝x，再根據Rt△CHF，用勾股定理列方程求解．

思路2：如圖15所示，作AF⊥AE交CD延長線于F，可得四邊形AECF為對角互補基本型，可得CF＝CE，根據△ABE∽△ADF，列方程求解．

思路3：如圖16所示，作AF⊥AC，且AF＝AC，則△ACE≌△AFE，作FG⊥AD于G，延長CB交FG于H，則△ABC≌△AGF，設BE＝x，再根據Rt△EFH，用勾股定理列方程求解．

方法3：構造一線三角．

經過∠CAE頂點A的直線構造一線三角主要有以下四個思路．

思路1：如圖17所示，延長AD至F，使得DF＝CD，延長DA至G，使得∠G＝45°，設BE＝x，根據△ACF∽△EAG，列方程求解．

思路2：如圖18所示，在邊BC上截取BF＝AB，設BE＝x，作EG⊥BC交AF于G，得到△AGE ∽△CFA，列方程求解．

思路3：如圖19所示，延長CB至F，使得BF＝AB，連接FA并延長交CD延長線于G，得到△AEF∽△CAG，設BE＝x，則EF＝x＋6，列方程求解．

思路4：如圖20所示，延長AB至F，使得BF＝BE，延長BA至G，使得∠G＝45°，設BE＝x，根據△AEF∽△CAG，列方程求解．

方法4：構造特殊三角形．

思路1：利用等腰直角△ACH把旋轉角由∠CAE轉移到∠ACH．

如圖21所示，作CH⊥AE于H，作FG∥BC交DC、AB延長線于F、G，得到△FCH≌△GHA，

設BG＝CF＝x，則BE＝2x－4，再根據△ABE∽△AGH，列方程求解．

思路2：利用等腰直角△ACH把旋轉角由∠CAE轉移到∠ACH．

如圖22所示，作CF⊥AE于H交AB延長線于F，則△AFH≌△CEH，得AF＝CE，設BE＝x，再根據△ABE∽△CBF，列方程求解．

方法5：導出角的特殊關系．

思路1：由∠BAE與∠DAC的和為45°造相似.

如圖23所示，在邊AD上截取AF＝AB，在邊AB上截取BG＝BE＝x，得到△AFC∽△EGA，列方程求解．

（2）由∠BAC與∠BAE的差為45°

可知，2∠BAC－2∠BAE＝90°，根據此關系可以構造正方形.

如圖24所示，點F與B關于AE對稱，點G與B關于AC對稱，得到正方形AGHF，設BE＝x，再根據Rt△CHE，用勾股定理列方程求解．

3實戰演練

如圖，在△ABC中，tan∠BAC＝3，D為邊BC上一點，且BD＝1，CD＝4，若∠ADC＝45°，則AD的長為．

方法1：造等角（1）．

如圖25所示，構造∠CAF＝∠B，則∠AFC＝∠BAC，

易得△CAF∽△CBA，令AE＝DE＝x，則EF＝13x，CF＝CD－DF＝4－x－13x＝4－23x.

又ACCB＝CFAC，所以AC2＝CF·CB＝AE2＋CE2，所以54－23x＝x2＋（4－x）2，解得x＝3或x＝23（舍去），所以AD＝32.

方法2：造等角（2）．

如圖26所示，構造∠CAB＝∠F，易得△ABF∽△CBA.

令AE＝DE＝x，則EF＝13x，BE＝1＋x，

BF＝BD＋DE＋EF＝1＋x＋13x＝1＋43x.

又AB2＝BF·CB＝AE2＋BE2，所以51＋43x＝x2＋（1＋x）2，解得x＝3或x＝23（舍去），所以AD＝32.

方法3：造特殊三角形．

如圖27所示，作AE⊥BC于E，BF⊥AC于F.

因為tan∠BAC＝3，所以BFAF＝3.

因為△BFC∽△AFG，所以BCAG＝BFAF＝3＝5AG，所以AG＝53.

設DE＝AE＝x，則GE＝x－53，BE＝x＋1，EC＝4－x，

因為△BEG∽△AEC，所以BEAE＝EGEC，即1＋xx＝x－534－x，所以x＝3，所以AD＝32.

方法4：造一線三等角．

如圖28所示，作CF⊥AD，BE⊥AD，垂足分別為F，E.

因為∠ADC＝45°，DC＝4，BD＝1，

所以CF＝22，BE＝22.

構造∠BNE＝∠CAB＝∠DMC，所以BN＝53，CM＝453，

則△BNA∽△AMC，BN·MC＝AM·NA.

設AD＝x，

則33·433＝x－23x－823，解得x＝32.

4結語

傳統數學教學中，教師往往注重知識的灌輸和解題方法的傳授，導致學生缺乏獨立思考和創新能力，一題多解的教學策略強調從多個角度、多種方法解決問題，有助于提高學生的數學思維能力.［1］構建數學有效課堂是提高數學教學效果，培養學生數學思維能力的重要途徑，教師應從優化教學內容，改進教學方法，提高學生學習興趣等方面入手，不斷探索和實踐有效的數學教學方法和策略.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．