借助數學史和信息技術展現統計方法的合理性

摘 要：在基礎教育階段中，數學教學更多是對數學知識形成合理化的解釋，這在統計方法的教學中更為明顯.數學史和信息技術分別從統計方法的來源與用途兩個角度對統計方法進行合理化解釋.本文以蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》中“變量的相關性”為例，借助數學史和信息技術對教學過程進行重構，使得學生在對比函數、回顧歷史、構建指標的過程中逐步理解相關性以及感受相關系數的合理性.

關鍵詞：統計方法；合理性；數學史；信息技術

與高等教育階段不同，基礎教育階段的數學教學更多是要為數學知識找到合理的解釋，也就是利用一些局部的證明或者直觀的感受來說明數學知識的合理性.對于統計部分的內容來說，統計方法描述的對象是數據，并非直接指向現實世界，這就造成了學生在一定程度上難以獲得直觀的感受.由于學生前置知識的缺失，使得演繹證明難以符合實際教學.即使能夠進行演繹證明，教師選擇采用歸納的直觀方式呈現統計方法會更有利于學生接受統計知識.因此，教師需要思考通過何種教學方式來展現統計方法的合理性.

1 展現統計方法合理性的教學方式思考

1.1 借助數學史實展現統計方法來源的合理性

數學史與數學教育（HPM）以歷史發生原理和再創造理論為基礎，強調學生在數學知識的認知過程中遵循歷史過程，體會知識的創造過程，并在已有知識的基礎上融入自己對知識的理解，進行再創造.融入數學史的教學需要教師追溯數學知識的源頭，并漸進式地呈現數學歷史的發生過程，從而使得學生可以結合自己的學習情況，進行數學化的分析與反思.

對統計方法來源的闡釋是統計教學中的重要一環，其本質是對促使統計方法產生的根本問題進行溯源.由此，教師可以幫助學生了解統計方法產生的緣由以及過程，明確統計方法建構的目的，從而解決學生對于方法來源的疑問，加深學生對于統計方法的認識.教師將數學史融入統計教學不僅能夠回溯統計方法誕生的源頭，還能發掘統計方法建構的過程，從而站在統計方法構建思路的視角，幫助學生漸進式體驗統計方法產生的過程，深刻感受統計方法來源的合理性.

1.2 借助信息技術展現統計方法用途的合理性

隨著信息技術的發展，其對數學教學的影響越來越大.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“教學建議”中就明確指出：“教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果.”［1］教師通過對信息技術的合理使用，可以設計出生動的數學教學活動，呈現新型的數學教學方式方法，為學生提供豐富數學學習資源.

信息技術和統計教學之間有著密不可分的聯系.在統計中不僅有大量的數據需要用到信息技術工具進行分析，信息技術也能夠用于驗證統計方法用途的合理性.通常情況下對于方法合理性的驗證往往依賴行動試驗和思維試驗兩種方式，即在具體的行動或者思維過程中驗證方法用途的合理性.信息技術的使用在一定程度上可以代替行動試驗，其通過大量計算以及圖象繪制的方式呈現統計結果，來幫助學生獲得對于統計方法的直觀感受.這不僅較大程度上縮減了試驗方法合理性消耗的時間，還使得學生能夠在短時間內明確統計方法用途的合理性.

2 展現統計知識合理性的教學實踐示例 本文以蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》中“變量的相關性”的教學為例，在分析教材、學情、教學重難點的基礎上，嘗試將數學史和信息技術融入統計教學實踐之中.

2.1 教材分析

“變量的相關性”是線性回歸分析的第一課時，故在進行教學內容分析時教師需要從線性回歸這一整節課的角度考慮.線性回歸分析這一節的內容大致為用散點圖直觀上描述變量間是否具有統計相關性，到用相關系數刻畫線性相關關系的密切程度，再到建立一元線性回歸模型進行預測.教學經歷了由定性分析到定量分析線性回歸的可行性，以及實施線性回歸的過程.變量的相關性與一元回歸模型緊密聯系，都是研究兩個數值型變量間的相關關系，只有通過相關系數判斷出兩個變量之間具有較強的線性關系時，建立一元回歸模型才有意義.

聚焦到“變量的相關性”這一課時.教材首先明確了兩個變量之間的數量關系有兩種不同的類型：一種是函數關系；另一種是相關關系.在這之后，教材中又指出變量間的相關關系可作如下直觀描述：當一個變量取一定的數值時，與之對應的另一個變量的值雖然不完全確定，但它按某種規律在一定的范圍內變化.在定性描述變量間的相關關系尤其是線性相關關系之后，則通過定量手段描述變量間的相關關系程度.教材直接構建了相關系數，并對相關系數如此構建的合理性進行了簡要的描述，并在此基礎上給出了相關系數的性質.

筆者比較蘇教版教材和人教版教材，發現兩版教材對于知識設置的順序是基本一致的，但在構建相關系數公式的部分有一定的差異.在嚴謹性上，兩版教材都有所缺失，當然也是由于高中缺少相關前置知識的學習.在直觀性上，蘇教版的直觀性較好，可以更好地進行數形結合；人教版的構建方式也可以有直觀性的解釋，但并未體現在教材中.

2.2 學情及教學重難點分析

必修課程的學習使學生已經初步建立樣本估計總體的思想，為學生理解用樣本相關系數推斷變量間的相關性，以及估計回歸系數奠定了認知基礎.刻畫數據特征（均值、方差）的一般方法，為構造樣本相關系數提供了可以借鑒的思想方法.

對于“變量的相關性”這一課時來說，理解兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數據進行分析，故線性相關關系與相關系數的概念與運用是教學的重點.相關系數公式的建立是教學中較為困難的部分，學生常常難以理解，故對于相關系數公式的理解是教學的難點.

2.3 借助數學史和信息技術的教學實踐

教學環節1：對比函數，提出問題.

活動1：有兩組數據；第一組數據是由物理學家在研究勻速運動時收集到的；第二組數據是由生物學家在研究性狀遺傳時收集到的.兩組數據對應散點圖如圖1所示.

問題1 觀察第一組數據，在勻速行走時，時間t（單位：秒）和距離s（單位：米）有什么關系.你會用什么數學工具來描述它們之間的關系.

問題2 觀察第二組數據，父代身高h1（單位：厘米）和子代身高h2（單位：厘米）之間有什么關系.你想用什么數學工具來描述它們之間的關系.

【設計意圖】在數學史上，線性回歸的研究引發了對相關性以及相關系數的思考.線性回歸和一次函數之間有著很多聯系，一次函數可以用來反映變量間線性的函數關系，線性回歸可以用來反映變量間線性的相關關系.教師可以通過帶領學生對比函數關系，來研究變量的相關性.教師設置活動1的兩個實例引導學生通過仔細觀察、深入思考、主動表達，提升學生的參與度和學習興趣；通過學生的描述導出“函數關系”和“相關關系”的定義，并從直觀比較中獲得對“函數關系”和“相關關系”的感性認識；對比“函數關系”，啟發學生思考利用直線描述相關關系，學會利用確定性工具解決不確定性問題的思想方法.通過對比函數關系引出變量相關性的背景知識和后續的探索，它起到了統領整個變量相關性學習的作用.

教學環節2：回顧歷史，尋找答案.

活動2：回顧數學史，介紹英國科學家高爾頓（Francis Galton）曾利用直線描述父代身高和子代身高的變化趨勢.［2］教師進一步給出線性相關關系以及線性回歸分析的定義.線性回歸中“回歸”取自向中心回歸之意.例如，高個子的后代平均來說也高一些，但不如親代那么高，要向平均身高的方向“回歸”一些.教師結合實例解釋并強調均值點和線性回歸線之間的聯系.

【設計意圖】教師增添數學史的內容，介紹高爾頓及其研究，有利于學生對于科學家故事的了解，使得學生對于接下來的學習產生一定的興趣；指出使用一次函數反應變量間的相關關系有一定的合理性，進而引出線性相關關系的概念；對“回歸”的介紹，強調平均值點的重要性，為使用平均值點構建相關系數提供支持.

教學環節3：判斷程度，構建指標.［3］

活動3：觀察如下散點圖（如圖2）中點的變化趨勢，思考如下問題.

問題1 是否所有的散點圖中的點的變化趨勢都可以用直線描述.請結合前兩張散點圖先說一說.如果你覺得可以用直線描述，請在圖中畫一畫.

問題2 圖（3）中的情況能不能用直線描繪，或者說用直線描繪的合理程度如何，用斜率正的還是斜率負的直線描述，具體斜率如何.如果你覺得可以用直線描述，請在圖中畫一畫.

【設計意圖】教師在分析圖（1）和圖（2）時，引出“正相關”和“負相關”的概念.通過引導學生動手實際操作以及與師生間的交流，使學生理解統計學雖然使用數理工具但更側重于強調合理性.圖（1）和圖（2）利用直線描述相關關系的合理程度高；對于圖（3）各個學生就會有不同的看法，合理性就相對弱一些.教師通過對圖（1）、圖（2）以及圖（3）中繪制出的直線進行比較，引出相關性指標的名稱相關系數.教師還需引導學生發現繪制的直線大致都會經過平均值點，明確平均值點對于相關系數構建的重要作用.

教學預設：教師允許學生自主繪制各種直線，但需要保證圖（1）中直線斜率為正，圖（2）中直線斜率為負.對于圖（3）的討論，學生可以暢所欲言，然后教師通過提問，引導學生闡述自己想法的合理性，以及評價他人想法的合理性，營造出各人想法的合理程度難以確定的情境，從而引出相關系數的內容.同時，教師還需要抓住學生所繪直線中的共性，即大致都經過了平均值點，引出利用平均值點構建相關系數的想法.

活動4：建立相關系數公式.

設置疑問：該怎么用平均值點和其他點說明利用直線描繪變化趨勢的合理程度.

分類討論如下.

（1）只有兩個數據點時，用過此兩點的直線描述變化趨勢顯然合理，不予討論.

（2）三個數據點共線時，構造相關系數公式.

記三個點分別為A，B，C，平均值點為P.記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），Px ，y .

由于點A，B，C，P共線，則有kAP=kBP=kCP=

λ，從而有y1-=λx1-，

y2-=λx2-，

y3-=λx3-.

構造向量a與b，a=x1-，x2-，x3-，b=y1-，y2-，y3-，并記＜a，b＞=θ，則有

cosθ=3i=1xi- yi- 3i=1xi- 23i=1yi- 2，并將這個值稱為相關系數r.

（3）在三點不共線時，仍使用此公式計算相關系數.

（4）將此公式推廣，獲得n個點的相關系數公式r=ni=1xi- yi- ni=1xi- 2ni=1yi- 2.

【設計意圖】教師通過三點共線的情況建立出相關系數公式，并進一步歸納出三點不共線以及n個點時的相關系數公式，幫助學生理解相關系數公式.

活動5：考查相關系數公式的合理性.

設置疑問：相關系數公式是在點到平均值構成直線的斜率一致時得出的，那么斜率不一致時是否也能夠描述相關程度.

繪制圖象：一是繪制相關系數r=cosθ的圖象，其中θ∈［0，π］；二是繪制給定具體相關系數的散點圖.

建立聯系：將散點圖和相關系數建立對應（如圖3）.

問題1 依次觀察散點圖，說說各個散點圖有何特征.利用直線描繪圖中散點變化趨勢的合理程度與相關系數有何關系.

追問 此時是否需要考慮相關系數的符號.

問題2 相關系數的正負和描繪散點的直線有什么聯系，與相關關系有什么聯系.

【設計意圖】教師結合不同相關系數下的散點圖象解釋問題，幫助學生感受散點圖變化與相關系數間的關系，使學生理解相關系數公式的合理性.教師還要建立起“數”與“形”之間的聯結.數形結合幫助學生提升對相關系數的直觀感受，并進一步得出相關系數r的性質.

3 結語

教師合理使用數學史和信息技術，有利于展現統計方法的合理性.第一，通過數學史的融入，學生能夠追溯統計方法的來源，了解其產生的背景和過程，并在數學知識的認知過程中，體會知識的創造過程，結合自身處境進行數學化的分析與反思.這不僅能解答學生對統計方法來源的疑問，還能加深學生對其本質和目的的理解.第二，信息技術的數據分析和圖象繪制進一步驗證了統計方法用途的合理性.學生可以直觀地感受統計結果，認同統計方法的用途.綜上所述，數學史和信息技術的合理使用，為統計方法的合理性提供了支持，使學生能夠產生對統計方法的認同.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］約翰·杜威.我們怎樣思維·經驗與教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［3］程海奎，章建躍.通過成對數據的統計分析發展學生的數據分析素養［J］.數學通報，2022（3）：7-17.