基于數學核心素養的中學數學批判性思維能力的培養

摘 要：學生在有邏輯地表達以及探索解決數學問題時，必須運用批判性思維.數學批判性思維能力的培養要以數學知識為基礎，學生不僅要關注數學中結論的正確與否，而且要關注結論得出的原因.學生要以批判性的思維去思考數學，去把握數學知識的脈絡，從而真正做到數學答案合乎邏輯、嚴謹、準確且合理.

關鍵詞：核心素養；邏輯思維；批判性思維

在中學數學學習中，學生應當具有獨立思考的能力.在課程的學習以及教師的教學中，學生的數學邏輯思維得到鍛煉以及發展，數學批判性思維在數學邏輯思維的基礎上得到了升華，這也體現了思維水平的進一步發展.學生具備的數學素養，應當與現實世界的知識相結合，他們不只是掌握書本上的數學知識，更重要的是思維能力的培養.隨著21世紀信息技術不斷發展進步，新時代的學生應該具有探索事物本原的基本素養，以批判性的視角去看待問題，進而綜合運用知識解決實際問題.本文旨在分析數學批判性思維的價值，并提出培養批判性思維的策略，為發展學生數學核心素養提供助力.1 數學批判性思維的基本闡述批判性思維是心理學術語，是指通過一定的評價思維，進而改善思維，是合理的反思性思維.批判性思維的萌芽來自古希臘哲學家蘇格拉底（Socrates）對批判性思維的實踐，進而被眾多學者如柏拉圖（Plato）、亞里士多德（Aristotle）等繼承發展，從而透過表面，看清內在本質.雖然說批判性思維由來已久，但是并未有系統的闡述.在20世紀中葉，國外心理學界對此給出了定義，但概念的界定仍然有分歧，一種觀點認為批判性思維是一種能力；另一種觀點認為批判性思維是一種思維過程，但二者都有一個共識，即批判性思維是有目的性及自我調節的判斷.

在我國，對于批判性思維的認識，不同的哲學流派或者心理學派以不同的角度探索、研究、闡述過，因此各有不同的側重點，并不矛盾.例如，從個體角度看，批判性思維就是一種個體存在的能力；從認知角度來看，批判性思維就是一種認知過程.國內外研究者們基本達成的一致觀點是批判性思維包含三個維度：批判性思維知識、批判性思維技能、批判性思維傾向.［1］

數學批判性思維是批判性思維所涵蓋的一部分，二者之間是包含關系，是批判性思維在數學學習中的體現.關成志教授研究論述了數學思維具有批判性品質的觀點.［2］在此基礎上，數學特級教師孫聯榮提出了數學教育維度的批判性思維的定義.［3］數學批判性思維是指對已有數學表述和論證提出自己的見解，敢于質疑，獨立思考，不輕信，不盲從.反映到學生身上來說就是學生發現自己和他人認知方面的錯誤認識以及不足，獨立思考，與教師討論，并加以完善總結，唯“知識”，但不唯“教師”.

按照批判性思維所涵蓋的三個維度，我們認為數學批判性思維也應當涵蓋三個維度：數學批判性思維知識、數學批判性思維技能、數學批判性思維傾向.［4］如圖1所示，三個維度有機結合，共同發揮著作用.

數學批判性思維知識包括以下三點：①數學批判陳述性知識.它是指在描述數學批判性思維的特點以及關系時，起到描述作用的知識.如對已有的數學命題或結論的批判性描述，是外顯表達的第一步.它所代表的是“是什么”的問題.②數學批判程序性知識.它是指關于數學批判性思維的帶有完整操作步驟的知識.如對數學對象進行辨別差異、比較、分析.它所代表的是“做什么”和“怎么做”的問題.③數學批判元認知知識.它是指對數學批判性思維知識認識的知識，以及認識主體對自身知識認識的知識.如自己對數學知識的掌握情況以及薄弱情況的了解，哪些是清晰明確的，哪些是模糊不清的.

數學批判性思維技能包括以下七點：①觀察理解能力，即對數學知識進行觀察，以及對數學命題結論的外在理解.②分析思考能力，即有邏輯地對數學知識進行分析，獨立地進行思考，富有內涵的邏輯論斷，進而分析出正確結論.③判斷評價能力，即對數學問題，有根據地進行判斷，在思考的基礎上進行反思，根據具體問題進行評價，判斷其是否正確，進而發現其中不足.④假設推理能力，即在判斷評價的基礎上，運用頭腦中已有的數學知識和技能，進行歸納、演繹，進而提出自己的假設，正確地進行推理.⑤證實推導能力，即整體的框架已經顯現，當前這一環節在于將已經假設推理出的數學問題，運用有邏輯的方式方法進行反復驗證推導，進而形成一個完整的邏輯閉環.⑥驗證監控能力，即以數學的方式進行驗證新提出的假設正確與否，亦即對整個系列過程進行證明，在此之上，還對其進行整體的環節進行監控，為的是使整個過程更加合理、準確、嚴謹，沒有遺漏.⑦反思總結能力，即對整體的把握，需要進行綜合的復盤，一方面，在原有的問題上，對數學知識的綜合把握；另一方面，在后續問題上，不斷探索完善，進而進行創新.綜上所述，各個技能并非獨立于數學批判性思維之外，而是各個技能之間相互協調、多元化形式作用的結果，而且它們也并不是單一存在的，之間也還存在著聯系，是以所學的數學知識作為其核心，各種技能相互協調聯系的總和.其中分析思考、判斷評價、提出質疑，是數學批判性思維體現的核心，直接影響著數學批判性思維的產生.此外，這些技能并非按照以上的順序進行下去的，而是構成數學批判性思維的一系列要素.

批判性思維傾向是指有意識地進行評判的心理準備狀態、意愿和情感，是一種根據心理狀態而產生的能動性思想.［5］對于數學批判性思維傾向，筆者認為是運用數學的整體思維去能動性地評判數學問題的意向.數學批判性思維傾向主要包括以下五點：①思想的求真性，即對數學知識存在著一種執著的精神，探求數學真理與知識，不人云亦云，冷靜求真，唯“真理”，不唯“教師”.②思想的開放性，即在數學的學習中，對某一數學知識，出現了不同的看法時，采取寬容的處理方式，積極討論，防止出現偏見的可能.③求知與好奇心，即個體在數學學習中，所產生的自我內驅力，促進其求知好奇的進一步發展，也就是好奇心的產生，驅使個體自我探索，發現新問題，做出更進一步的嘗試.④公正性的思考，即數學中更應該注重這種公正性的思考形式.錯誤或者是不同數學知識點之間的討論，尤其需要這種公正性的思考，只有這樣才更能迸發出批判性的討論，從而完善思維過程.⑤情感的發展，即數學學習中所蘊含的情感發展之一是自信心.自信是學生在學習過程中以及在日常生活中進行良好互動時必須具備的一種態度.良好的自信心不僅為數學學習提供動力，而且還有助于塑造學生的良好品格.2 數學批判性思維的價值數學批判性思維是正確的反思性思維方式，其核心在于選擇認識到數學所蘊含的知識是什么，為什么這樣，怎么才能成為這樣.這樣的思維，首先要通過提出數學問題，清晰明確地表達數學觀點，其次要利用自己頭腦中原有的數學知識儲備來分析數學問題，最后從各種數學觀點中發現不同，敢于質疑否定，因此自信在此過程中也尤為重要.學生要勇于堅持自己的觀點，不斷驗證假設猜想，進而解決數學問題，得出結論.數學的某些問題需要反復的論證討論，才能辨偽求真，達到數學嚴謹的目的.

2.1 數學批判性思維可以提升提出數學問題的能力

提出數學問題是解決一切數學問題的前提條件，只有敢于提出不同的問題，才能有數學問題的后續發展.學生一旦具備了數學批判性思維，并能夠合理地進行運用，那么在進行數學問題的思考時，就能夠快速地發現其中的問題，并能夠提出富有建設性意義的意見和看法.例如，試證明無理數加上無理數，還是無理數，并寫出證明過程.如果這一道數學證明題擺在學生面前，在進行提問時，學生首先會想到的是什么呢？大部分學生會在看到題目的第一眼，首先進行思考，認為這是一道證明題，應該按照常規的步驟進行證明，于是邏輯混亂地對題目進行嘗試解答，為了使結論看起來更“像”結論，盲目給它找出一個合理的“解釋”，不敢去質疑題目是有問題的.如部分學生認為無限不循環小數加無限不循環小數還是無限不循環小數，所以上述結論成立.但是殊不知，這道題的本身就是有問題的.但還是會有一部分的學生，能夠大膽地舉出反例，進行質疑，這說明這部分的學生初步具備了數學批判性的思維，進而外顯地進行了表達，提出了這個數學問題.由此可見，數學批判性思維能讓學生更擅于以自己的思維去評價知識真偽，進而促進數學批判性思維的提升.

2.2 數學批判性思維可以提升分析數學問題的能力

分析數學問題的能力主要表現在能夠分析、推理、辯證性討論、交流數學知識和技能，其中最重要的環節在于辯證性地交流討論.分析數學問題時所必備的思維情感就是數學批判性思維的自信心.

在分析數學問題中，自信心的重要性體現在以下三個方面.

（1）數學問題分析過程中的自信心建立.

（2）數學問題分析過程中的自信心表達.

（3）數學問題分析過程中的自信心保持.

以下面這一道題目為例.判斷命題真假并證明你的結論.對于一切自然數n，1≤n≤19，n2-n+11都是質數.學生提交的答卷中呈現兩種結果.

一部分學生認為是真命題，證明結果如下.

當n=1時，12-1+11=11，結果為質數，命題成立.

當n=2時，22-2+11=13，結果為質數，命題成立.

當n=3時，32-3+11=17，結果為質數，命題成立.

……

同理，當n=19時，192-19+11=353，結果仍為質數，則命題成立.

另一部分學生認為是假命題，證明結果如下.

當n=11時，112-11+11=121，121不是質數，是假命題.

從這樣的一道題目的解答過程中，我們能夠了解到，在面對一道題的時候，分析的整個過程，離不開批判性思維的思考以及自信心的整體運用，不能拘泥刻板地以一種思考形式去分析多種問題.

2.3 數學批判性思維可以提升解決數學問題的能力

解決數學問題的能力主要表現在兩方面：一方面，在清晰表達觀點的基礎上，根據頭腦中原有的認知去解決問題，從各種觀點中發現不同，反思性思考，質疑式提問，在現有問題的前提下得出富有建設性意義的結論；另一方面，在抑制數學問題解決中思維定式的遷移.思維定式的遷移是指將頭腦中原有的固定習慣或者方法應用到新問題解決上，以達到快速解決問題的目的.因此數學批判性思維在問題解決中尤為重要.因為有思維定式的存在，學生很難改變原有的思維方式，不能夠另辟蹊徑，從不同角度去解決問題，所以在數學學習的整個過程中，批判性思維水平高的學生，則具有良好的思路，更善于從正、反兩個方面去評判，更能多角度地排除思維定式遷移的干擾.3 數學批判性思維的培養從數學教育角度研究數學批判性思維的培養是尤為重要的.在培養學生96V0JiD2wz+QWULvRn3N/Q==數學批判性思維的時候，教師應當從數學和教育兩個角度來看，這樣有助于教師將批判性思維的生成機制，運用到實際的數學教學當中.數學批判性思維的培養主要體現在以下幾個方面中.

3.1 夯實“四基”

整個數學大廈的框架是由基本的數學概念、數學公理構成的，是數學批判性思維的起點，也是最終數學批判性思維的落腳點.只有扎實的數學基礎知識和基本技能，才能夠穩固地支撐數學的發展.在數學批判性思維的形成過程中，有各種各樣的方式方法，不同的方式方法適用于不同的條件，而且也適用于不同的思維主體.基本思想在其中也發揮著重要的作用，數學批判性思維中蘊含著反思性的思考.在數學中對于數學條件的分析以及整體思考，教師往往以常規的思維去分析，但是這種思想往往會在過程中遇到阻礙，如果教師能夠用好數學中的基本思想，就能開拓思路逆向推導還原，進而解決問題.學生的基本數學活動經驗也尤為重要，數學經驗來源于日常數學活動，但高于日常數學活動，它有目標、有內容、有思維.數學的經驗如果與生活相互貼近，那么將會超越數學學習，進而達到數學現實，這是一種理性認識升華的過程.

3.2 提升“四能”

發現問題的能力是基礎，提出問題的能力是關鍵，分析問題的能力是核心，解決問題的能力是目標.數學批判性思維蘊含在整個問題解決的過程中，各個環節之間互相聯系、協調發展，共同組成了整個問題解決的過程.有意識地進行提升能力的訓練，對于數學批判性思維發展有著十分重要的意義.根據數學知識的發展規律，特別是一些關鍵或者薄弱的環節，有意識地、有針對性地進行訓練，以便數學批判性思維的整體提升，克服一切外界因素的阻礙，從而達到最終的目的.學生可以通過在不同的環境中體驗解決問題的過程，有效地發揮自己的能力，也可以經常練習數學批判性思維能力來發展和提高數學素養.參考文獻

［1］李文婧.數學批判性思維及其教學研究［D］.濟南：山東師范大學，2004.

［2］［5］關成志，王前.數學思維三題［J］.數學教育學報，1992（1）：70-76.

［3］孫聯榮.數學教育中培養批判性思維的探討［J］.數學教育學報，1995（4）：16-20.

［4］劉其知.數學批判性思維與試誤教學的探索［D］.石家莊：河北師范大學，2007.