定點巧判定，探究妙應用

摘 要：圓錐曲線中的定點問題可以有效地實現(xiàn)解析幾何問題中“動”與“靜”的和諧統(tǒng)一，實現(xiàn)“幾何”與“代數(shù)”的深度融合，是高考數(shù)學中的常見題型之一.本文對圓錐曲線中的定點問題及其基本解題方法進行分析，并結(jié)合實例加以探討，總結(jié)歸納出相應的結(jié)論，旨在能夠有效地指導數(shù)學教學與解題研究.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點；直接法；逆推法

在平面解析幾何中，有關(guān)直線或曲線（圓錐曲線等）的定點問題及其綜合問題是歷年高考數(shù)學試卷中的一個考查難點與命題熱點，倍受各方關(guān)注，一般為中偏高或高檔次的難度級別.它涉及的數(shù)學運算比較多，而且邏輯推理過程比較繁雜，因此具有非常好的育人選拔性和高考區(qū)分度.特別是圓錐曲線背景下的直線過定點問題，借助直線上的點在圓錐曲線上的運動，即“動態(tài)問題”，結(jié)合題設(shè)背景下某相關(guān)條件的限制，即“靜態(tài)問題”，形成“直線過定點”的完美統(tǒng)一與動靜結(jié)合，構(gòu)造出“幾何”與“代數(shù)”之間的融合，綜合考查學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識與數(shù)學基本能力.

1 直接法探求定點問題 直接法，即從正向角度出發(fā)，直接推理、計算，利用直接法解決定點問題就是在計算過程中消去變量，得到定點.

例題 （2023年山東省煙臺市煙臺第一中學高三上學期期末數(shù)學試題）&&已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）的左、右焦點，點A是橢圓C的右頂點，|AF2|=2-3，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段PF1，PF2的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）若不過頂點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且AD·AE=0，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，由三角形的中位線性質(zhì)，可得四邊形OMPN的周長為2a，橢圓的右頂點到右焦點的距離為a-c，并結(jié)合關(guān)系式a2=b2+c2確定對應的參數(shù)值，即可得橢圓方程；（2）分類討論直線l的斜率存在與斜率不存在兩種情況，根據(jù)不同情況設(shè)相應的直線方程，再綜合題設(shè)條件加以分析，最終得以確定直線l過定點.

kRP=18t+54t2+6t+18-3-2t2-12tt2+6t+18+2=-t212.

同理Q-2t2+12tt2-6t+18，-18t+54t2-6t+18，可得kRQ=-18t+54t2-6t+18-3-2t2+12tt2-6t+18+2=-t212.

kRP=kRQ，則有R，P，Q三點共線，即線段MN的中點為（0，3），是定點.

解決問題時，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊或極端位置，如直線處于水平位置、豎直位置，即k=0或k不存在時，利用特殊思維方式來解決平面解析幾何中的定點問題.有時也可借助逆向思維，通過定點直接切入，進行邏輯推理與數(shù)學運算，進而證明該點符合題意或證明該點與變量無關(guān).

此類圓錐曲線的綜合應用問題中的定點或相關(guān)應用，往往是基于平面解析幾何中的一些“動”態(tài)變化場景，以動點或動直線等方式來創(chuàng)設(shè)場景，進而在“動”態(tài)過程中探尋一個規(guī)律性的問題，從中尋找“靜”態(tài)特征，從而達到知識交匯與思想融合的目標，實現(xiàn)學生“四基”的考查與“四能”的提升.