巧用“數(shù)”突破新定義問題中“形”的困境

摘 要：近年來(lái)，新定義問題成為各地初中生考試的熱點(diǎn)問題.新定義問題不僅能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，還能通過“數(shù)”與“形”之間的靈活轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：新定義問題；幾何直觀；數(shù)形結(jié)合

“注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”是新課改以來(lái)數(shù)學(xué)教育的熱點(diǎn)話題之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》多次針對(duì)“幾何直觀”提出明確要求.［1］幾何直觀是影響中小學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素之一.培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，是數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心目標(biāo)之一.培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域，不僅僅是“圖形與幾何”領(lǐng)域的任務(wù).有效的培養(yǎng)工作必須落實(shí)在課程內(nèi)容和課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中.

新定義問題是指在問題中給出初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)的定義，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已學(xué)知識(shí)進(jìn)行理解，然后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.近幾年新定義題目增添了不少需要借助數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決的類型.本文以兩道新定義問題為例，說(shuō)明在課堂教學(xué)中如何巧用“數(shù)”突破新定義問題中“形”的困境.

1 考題教學(xué)策略分析

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P和直線l1，l2，點(diǎn)P關(guān)于直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則稱d1+d2為點(diǎn)P關(guān)于直線l1，l2的“和距離”，記作d.特別地，當(dāng)點(diǎn)P在直線l1上時(shí)，d1=0；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2上時(shí)，d2=0.已知點(diǎn)A（0，3），以A為圓心的圓的半徑為1，點(diǎn)P是以A為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P關(guān)于x軸和直線y=3x+6的“和距離 ”d的取值范圍.

在教學(xué)時(shí)，教師給學(xué)生充足的讀題、畫圖和思考的時(shí)間.

學(xué)生在解題時(shí)，出現(xiàn)困境.通過多次畫圖和度量，大致確定出“和距離 ”d 分別取最小值和最大值時(shí)的位置（如圖1、圖2），但是無(wú)法計(jì)算出d.

教師引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)”突破“形”的困境.

如圖3所示，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線y=3x+6于點(diǎn)G.

函數(shù)y=3x+6的圖象是一條與x軸正方向夾角為60°的直線.

用“數(shù)”表示“形”.

設(shè)點(diǎn)P（x，y），則G（x，3x+6）.

PG=3x+6-y，PB=3x+6-y2，d=PB+PC=3x+6-y2+y.

所以3x+y+6=2d，即y=-3x+2d-6.

用“形”表示“數(shù)”.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在以A為圓心的圓上，所以直線y=-3x+2d-6與圓有交點(diǎn)（如圖4、圖5）.

過點(diǎn)A作AF⊥直線y=-3x+2d-6于點(diǎn)F.

E1（0，2d-6），E2（0，2d-6），AE1=2AF，AE2=2AF.

如圖6所示，AE1=3-（2d-6）=9-2d，AF=1.

所以9-2d=2×1，解得d=72.

如圖7所示，AE2=2d-6-3=2d-9，AF=1.

所以2d-9=2×1，解得d=112.

綜上72≤d≤112.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于線段AB和x 軸上的點(diǎn)P，給出如下定義：將線段AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB為⊙O以點(diǎn)P為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

已知點(diǎn)E（m，1），若直線y=x+2m 上存在點(diǎn)F，使得線段EF是⊙O以點(diǎn)P為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出m的取值范圍.

在教學(xué)時(shí)，教師給學(xué)生充足的讀題、畫圖和思考的時(shí)間.

學(xué)生在解題時(shí)，出現(xiàn)困境.通過審題，得出點(diǎn)E′（0，1），通過多次畫圖和度量發(fā)現(xiàn)難以確定滿足條件的臨界圖形.

教師引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)”突破“形”的困境.

E（m，1），因?yàn)辄c(diǎn)P在 x軸上，所以點(diǎn)E′在y軸上.又E′在⊙O上，所以E′（0，1），得P（m2，0）.

設(shè)F（x，-x+2m），則點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)P（m2，0）的中心對(duì)稱點(diǎn)F′（m-x，x-2m）.

因?yàn)閤-2m=-（m-x）-m，所以點(diǎn)F′的軌跡在直線y=-x-m上.

又點(diǎn)F′在⊙O上，所以直線y=-x-m與⊙O有交點(diǎn)（如圖8、圖9）.

過點(diǎn)O作OH⊥直線y=-x-m于點(diǎn)H.

E（0，-m），O（0，0），OG=2OH.

如圖10所示，OG=0-（-m）=m，OH=1.

所以m=2.

如圖11所示，OG=-m-0=-m，OH=1.

所以-m=2，m=-2.

綜上，-2≤m≤2.

2 教學(xué)策略反思

2.1 代數(shù)推理在解決“形”的問題中起著至關(guān)重要的作用

新定義問題借助“數(shù)”突破“形”的困境，使數(shù)形結(jié)合更順暢，更有利于初中生幾何直觀的培養(yǎng).學(xué)生在解決這兩道典型例題“形”的問題中均遇到了困境，教師引導(dǎo)他們通過形轉(zhuǎn)化為數(shù)，進(jìn)行代數(shù)推理，將數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的函數(shù)關(guān)系式，再將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為新的“形”，從而突破了原先僅用“形”難以解決的困境.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，不能只依賴“形”知識(shí)的培養(yǎng)，教師需要有意識(shí)地借助“數(shù)”的工具來(lái)助力幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.2 新的“形”實(shí)現(xiàn)了困境的突破

兩道例題最終得以突破，是通過新的“形”實(shí)現(xiàn)的.在問題解決的過程中，學(xué)生不斷地進(jìn)行形與數(shù)的靈活轉(zhuǎn)換.數(shù)學(xué)中，“數(shù)”和“形”是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”［2］教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)二者的自由轉(zhuǎn)換.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］華羅庚.華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，1984.