基于“四能”視角的開放式問題設計與思考

摘 要：開放式問題通過條件開放、解題策略開放和結論開放實現對學生發散性思維、探究性思維以及獨立性思維的訓練.本文以核心素養為導向，以“兩點的聯想”為情境主線，探討如何設計開放式問題落實新課標提出的“四能”發展，聚焦學生思維品質和關鍵能力的培養，實現復習課從技能訓練到素養發展的轉變.

關鍵詞：開放式問題；數學“四能”；核心素養

1 問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程理念中指出：“發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’）.”［1］“四能”是提升學生核心素養，落實立德樹人根本任務的關鍵能力，也是學生終身發展的必備能力.在當前課堂教學中，教師更關注提升學生分析與解決問題的能力，對學生發現和提出問題能力的培養尚顯不足.

開放式問題通過條件開放、解題策略開放和結論開放等特性，凸顯在培養學生思維品質和關鍵能力上的優勢.因此，基于“四能”視角的開放式問題設計能夠推進課堂教學從發展“雙能”走向“四能”，從而實現教學效能和育人目標的全面升級.［2］本文以蘇科版《義務教育教科書數學八年級上冊》中“一次函數”復習課為例，談談自己的做法與思考.

2 教學過程

2.1 淺度開放，自主提問

師：已知兩點A，B，能確定什么？

生：直線.

追問1：如圖1所示，在平面直角坐標系中，A1，203，B4，83，試確定直線AB的函數表達式.

學生動手求解并總結待定系數法，接著教師給出圖象上的點C（a，y1），D（a-2，y2），讓學生比較y1和y2的大小關系.教師借此帶領學生回顧k，b的幾何意義，即k決定方向，b決定直線與y軸交點位置.

追問2：觀察圖象，還能得到什么信息？

學生陸續說出函數與坐標軸的交點坐標、直角三角形的斜邊、直角三角形面積和斜邊上的高以及△ABO的面積.

師：如何求△ABO的面積？

學生回答“大減小”，教師引導學生回顧網格中求三角形面積的常規方法，即“框”的方法，用矩形面積減三角形面積（如圖2）.

追問3：觀察一次函數y＝-43x＋8的圖象，還能得到什么信息？

學生獨立思考后提出，可以得到當y＞0，y＝0或y＜0時對應x的取值范圍，從而將一次函數與一元一次方程和一元一次不等式結合起來.

【設計意圖】課堂設計回歸知識的原點，從“兩點的聯想”出發構建思維訓練活動.教師通過設計低起點的開放情境，引導學生進行思維發散，鼓勵學生大膽提出問題.經過這些環節，學生既回顧了一次函數的表達式和k，b的幾何意義，又梳理了求三角形面積的常規方法，實現了知識和思維的自主建構（如圖3）.這種從問題本身的開放而獲得新問題的處理方式充分引導學生積極思考，初步培養學生發現問題和提出問題的能力.

2.2 中度開放，探究方法

問題1 如圖4所示，已知直線y＝34x+b，提出一個直線與線段AB有關的問題.

學生思考交流后提出可以確定參數b的取值范圍.教師請學生用教具到黑板上演示（如圖5），學生將函數y＝34x沿y軸方向平移，得到函數過B點時b值最小，過A點時b值最大.

【設計意圖】教師通過增加一條直線設置開放式問題，引導學生回顧一次函數和正比例函數的一般與特殊的關系，加深學生對一次函數表達式中b的幾何意義的理解，體會數形結合的思想，培養學生分析問題和解決問題的能力.

問題2 從旋轉的角度提出一個與線段AB有關的問題.

學生回憶平時做過的相關題型，提出將線段AB繞端點旋轉90°后，求對應點的坐標.教師順勢提問學生求線段AB繞點A逆時針旋轉90°后得到點B的對應點B′的坐標.學生根據已有的解題經驗，容易想到構造K型圖解決（如圖6）.學生在動手構圖和計算的過程中，感悟點坐標和線段長度的相互轉化.

【設計意圖】教師通過運動的變化設置開放式問題，從平移到旋轉，引導學生回顧基本構圖方法，為變式研究提供基本活動經驗，提升學生解決問題的能力.

變式 若將直線AB繞點A逆時針旋轉45°，求旋轉后直線的函數表達式.

學生動手操作，教師巡視發現大部分學生受問題2解題思路的影響選擇連接BB′，試著求B點的對應點B′的坐標（如圖7），但是在構造K型圖求解時不知如何構圖，思維受到了限制.

教師適時點撥學生從特殊角45°入手，學生意識到需要構造等腰直角三角形.在構造等腰直角三角形時，教師引導學生分別構造∠B和∠C為直角，并加以對比兩種K型圖的構造，感悟不同的構造可以簡化計算（如圖8），逐步積累活動經驗.

教師總結：定直線繞定點旋轉45°，可以通過構造等腰直角三角形求旋轉后直線函數的表達式.

【設計意圖】變式的設計引導學生不要把思想方法只聚焦在“線段旋轉90°”上，而是要將思路和眼界放得更寬，即“定直線繞定點旋轉45°”也可以確定表達式.學生在動手操作中進一步積累活動經驗，體會數形結合思想，培養發散性思維，提高分析和解決問題的能力，提升數學運算、數學建模素養.

2.3 深度開放，發展能力

問題3 若P是y軸上動點，提出一個與△ABP有關的問題.

學生根據本單元已有的解題經驗，提出等腰三角形存在性問題.學生熟知解題時要用“兩圓一線”來分類討論.教師給學生充足的動手操作時間，鼓勵學生小組討論，巡視中發現學生很容易完成了作圖（如圖9、圖10、圖11），但是在求解過程中學生對點坐標和線段長度的靈活轉化不夠熟練.教師板書引導學生進行點坐標與線段的有效轉化.

【設計意圖】特殊三角形的存在性問題是幾何中的重點問題和高頻考點.學生通過等腰三角形的討論，鞏固坐標系中點坐標與線段長度的靈活轉化，加深對分類討論和數形結合思想的認識，并進一步促進“四能”的提升.

3 教學思考

3.1 設定素養目標，貫穿問題設計過程

核心素養的發展是提高“四能”的必備因素.在發現與提出問題的過程中，學生需要進行數學抽象、數學建模；在分析與解決問題的過程中，又需要學生借助直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學活動來解決問題.所以，“四能”的提高需要教師在設置情境時以素養目標為導向，并將其貫穿開放式問題設計的全過程.

在“兩點的聯想”情境中，學生利用直觀想象有效建立形與數的聯系，進行生成并不斷發現新問題，如函數與坐標軸的交點坐標、直角三角形的斜邊、直角三角形面積和斜邊上的高以及△ABO的面積等，初步培養了發現問題和提出問題的能力.在后續環節中，教師采用增加條件的方式引導學生發現和提出問題，如添加直線、旋轉以及y軸上動點P等條件，學生借助直觀想象、數學建模等來理解并解決問題.由此可知，直觀想象既是重要手段，也是學生理解和解決問題的基本素養.

3.2 遵循邏輯主線，調整問題開放程度

開放式問題的開放程度不符合學生認知水平和思維結構水平時，會導致學生思維過于發散，偏離教學目標，這就需要教師引導其按一定的邏輯發現和提出問題，并選擇有意義、與所授主題相關的問題，這樣教師在跟進討論時也能回到教學的重點.教師在課前也要針對重難點設計一些高質量問題，當學生提出問題過少或質疑不全面時，就可以通過具有指向性的提示語啟發學生提出預設問題.

在導入環節，教師通過回歸知識原點設計低起點的開放情境，能使學生較容易地提出一系列相關問題，初步進行知識和思維的自主建構.在后續環節中，由A，B兩點直接提出問題的開放程度較學生的認知水平略高，故采用增加條件的方式降低問題的開放程度，如添加直線、旋轉以及y軸上動點P等條件，通過指向性提示語縮小問題切口，“收斂”學生思維.教師既要給予學生充分的探究空間，引發學生深層次的思考，又要為探究設置好主線，保證核心內容與方法的主旋律，最后總結典型思路與方法，以實現課堂效果的最優化.

3.3 聚焦思維活動，教學生學會思考

提高“四能”，就是要引導學生通過觀察、思考、發現和提出問題，并在尋找解決問題的路徑和方法中形成基本能力.發展“四能”的核心就是“教學生學會思考”.“教學生學會思考”就是教學生在思維活動中學會“提出”問題、“建構”概念、“尋找”方法以及研究解決問題的“一般方法”，這也意味著教師應培養學生形成由實踐而得來的能力、有益的思考方式以及應有的思維習慣.

在變式環節，學生根據問題2的操作經驗求B′坐標，但在構圖時卻無從下手，這時已有經驗與新情境產生沖突，思維活動受阻.首先，教師引導學生重新審題，抓住“題眼”——45°，學生自然聯想到等腰直角三角形.其次，如何構造等腰直角三角形.教師讓學生分別以∠B為直角和∠C為直角作圖并計算，在對比中切身感悟為什么構造∠B為直角更好，讓學生經歷“怎么想到的—怎么來的—怎么做”的思維提升過程.最后，教師引導學生將思路和眼界放得更寬，進行總結提煉.教師引導學生不斷歸納解題過程中的思考策略，學生通過不斷調整思維來適應新的情境，經過長期的順應和同化，在提升數學能力的同時，形成探究思維習慣.在這樣的過程中聚焦學生思維品質的提升和關鍵能力的培養，實現復習課從技能訓練到素養發展的轉變.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］張東.基于發現和提出問題推進初中數學復習課教學的實踐與思考［J］.數學通報，2019（4）：37.