數學之美 無處不在

袁亞湘，湖南資興人，中國科學院院士，中國科學院數學與系統科學研究院研究員。現任全國政協常委、中國科協副主席。他給本報題詞，并在《數學漫談》一書中普及了數學在生產生活中的重要作用。以下摘錄該書部分精彩內容。

幾乎所有的數學家都認為數學是優美的。學過泛函分析的學生都知道著名的Hahn-Banach定理。這個定理的提出者巴拿赫曾說過，“數學是人類最美及最有力的創造”。

數學的美體現在很多方面，其中之一是對稱美。古希臘著名哲學家亞里士多德曾說過：“數學科學特別表現次序、對稱和限制，這些是美的最高形式。”

幾何中很多圖形具有對稱性，比如平面上的長方形、圓形、等腰三角形，立體圖形中的立方體、圓柱體、球等。平面上的對稱圖形有一條或多條對稱軸，而對稱立體圖形則有一個或多個對稱面。高維空間中人們所研究的不少集合也有對稱性。更有意思的是，還有分數維空間。分形作為歐氏空間中的自相似子集，其維數通常都不是整數。大多數分形的圖形都非常驚艷。

代數中也有大量的對稱，從小學的a乘b等于b乘a，到中學的對稱多項式，乃至大學的對稱矩陣、對稱群等等都是對稱的例子。

數學的另一種美是比例美。人們喜歡把美好的東西形容為“如金子般閃閃發光”。因此“中末比”這一比例被德國數學家馬丁·歐姆命名為“黃金分割”比例。20世紀 60年代，我國著名數學家華羅庚推廣優選法，主要就是普及利用黃金分割的單因素優化方法。該方法俗稱“0.618方法”。正因為如此，在我國，黃金分割比例通常是指“中末比”的倒數0.618。

簡潔美也是數學的美之一。很多數學公式非常簡潔。譬如歐拉公式：e iπ+1=0。一個短短的公式就把數學中的幾個最重要的量：歐拉常數e、虛數i、圓周率π，以及1和0都聯系在一起了。

數學的美還體現在數的奇妙。如勾股定理：直角三角形的三條邊分別是3、4、5，三條邊長滿足3的平方加上4的平方等于5的平方。如果我們把勾股定理中的平方換成三次方，就找不到這樣的整數組滿足規律了。

另外一個神奇的數論例子是哥德巴赫猜想，簡稱為“1+1”。陳景潤于1966年證明了“1+2”，這一結果至今仍是哥德巴赫猜想問題的最佳進展。

干凈、整潔也是美的重要因素。英國哲學家、醫生、自由主義之父約翰·洛克將數學證明的堅實、干凈和無瑕比作鉆石，可見他對數學證明的欣賞。

印度作家夏琨塔拉·戴維曾說過：“沒有數學，你什么也不能做。你周圍所有的東西都是數學，你周圍所有的東西都是數字。”

例如CT成像。2020年全世界各地暴發了新冠疫情。CT肺部影像是幫助醫生確診該病的重要依據。CT成像的原理其實是數學中的拉東變換。拉東是奧地利數學家，他在變分法、微分幾何、測度論等方面有重要貢獻，拉東變換就是以他的名字命名的。

數學還在土木工程中發揮了重要作用。無論是橋梁、水壩還是高層建筑，在設計中都需要用到有限元方法對其結構進行應力分析。

在地球勘探中，為什么我們能知道看不見、摸不著的地下結構，了解油、氣、煤等資源的分布情況呢？除了鉆井直接取樣這樣的高成本方法，更多的是依賴間接的方法，即地球物理勘探，而其核心則可以歸結于數學中的求解微分方程反演問題。

數學在天氣預報中同樣發揮著核心作用。現代天氣預報的準確性不僅是依賴先進的探測技術（如衛星、雷達），更需要依靠先進的數值天氣預報模式以及快速的計算方法。而后者在本質上都是數學問題。我國著名氣象學家、應用數學家曾慶存曾獲得2019年度的國家最高科學技術獎。他曾任中國工業與應用數學學會理事長。他也是世界上第一個用原始方程進行天氣預報的科學家。

在航空領域，飛機的外形設計、航空發動機的設計等等最終都是要解決數學問題。這些問題實質是復雜的流體力學問題。在飛機設計中，數學數值方法的引入可以大大減少風洞實驗的次數，從而極大地縮小設計周期和降低成本。

在航天領域，數學同樣也起著至關重要的作用。飛行軌道選擇、推力規劃方案制訂、航天器有效載荷布局設計等等都有賴于數學方法。

在大數據、人工智能等領域的問題，其核心幾乎都是數學問題。例如，通過機器自動識別手寫阿拉伯數字可以自動識別信封上的郵政編碼，提高分揀效率。而通過機器學習的手段“訓練”計算機“識別”不同的手寫數字本質上就是利用已有數據建立分類模型并對新數據進行分類。同樣地，語音識別、指紋識別、虹膜識別等問題的核心都可以歸結為數學上的優化問題。

自動導航和自動駕駛等能夠得以實現，實質都是人類利用數學的方法和手段訓練計算機、編寫程序，使得計算機擁有這些能力。其中的道路規劃，無論是路徑最短還是時間最短，都可以歸結為圖與網絡流的優化問題。

數學在圖像分析和圖像處理的發展中起著關鍵作用。比如，圖像去噪實際上就是求解稀疏優化問題。我們可以使照片更清晰。壓縮感知技術是用最少的存儲單位記錄盡可能清晰的圖像。這個問題在科學、工程以及國防等諸多方面有重要應用，該問題的核心是求解一個大規模（變量個數幾千萬甚至上億）的線性方程組問題，并且希望求得的解盡可能稀疏（即盡量多的分量為零）。

微分幾何這樣的純數學在圖像處理中也發揮著巨大作用。傳統的腸鏡檢查往往給病人帶來痛苦和不適，讓人望而卻步。而虛擬腸鏡技術利用CT掃描獲得斷層圖像，經過分割和三維重建，即可得到腸子的三維模型。在物理上類似于把腸子給切割抻開，從而在二維平面上進行病理檢測。這種技術就是利用了數學的里奇流作為工具將彎曲的曲面保角地變換到平面上。

在通信中，數學也起著至關重要的作用。通信編碼方式、天線設計、通信資源優化配置等本質上都是數學問題。我國在5G領域處于國際領先地位。而5G標準正是基于土耳其數學家阿勒坎提出的極化碼理論。

在戰爭中，能否破譯敵方密碼對戰爭的走勢影響巨大。事實上，無論密碼設計還是密碼破譯都是數學問題。

談到管理科學、金融經濟等領域的發展，數學更是厥功至偉。金融衍生產品的定價、投資理財等本質上都是數學問題，涉及隨機分析、統計、微分方程、運籌，等等。

生命科學中的許多重要問題，如蛋白質折疊、基因比對、藥物設計等都需要利用數學方法。蛋白質折疊的過程和最終結構都可以通過數學方法進行模擬和預測。

總之，數學的應用隨處可見。