借數學之“手”，破物理難題

【摘要】解題教學是高中物理課程教學的重要組成部分，學生解題能力的提升是一線教師關注的焦點話題.本文從高中物理解題視角出發，重點剖析用數學思維解決物理問題的具體方法與手段，以期實現物理難題的突破，進而提升物理解題的效率.

【關鍵詞】高中物理；數學思維；解題教學

在新課改背景下，落實立德樹人的根本任務是高中物理教育教學的重要要求，從高考評價體系的視角來看，試題注重考查學生對物理基礎知識與規律的探究以及學生的科學思維能力.本文從典型試題入手，重點探討利用數學知識解決物理問題的具體方法和教學建議，以期助力高中物理課堂教學.

1 借助數學圖象剖析物理問題

以圖象方式表征文字陳述和物理公式的物理試題，在各級大型質量測試中經常出現，解決這類物理試題主要從數學函數圖象斜率、縱橫軸截距、圖象交點、極值等角度進行思考，在解決物理問題的過程中不斷提升學生分析問題、解決問題、科學推理和綜合應用能力，助力學生科學思維能力的提升.

例1 如圖1所示，電動機牽引質量為2 kg的物體沿著傾角θ＝30°的光滑斜面上升，圖2是0～6 s時間內物體運動的v－t圖象（其中0～1s，5～6s時間段的圖象為直線，1～5s時間段的圖象為曲線），1s以后電動機以額定功率工作.（重力加速度g＝10m/s2）試求：

（1）物體沿著斜面上升的最大速度；

（2）0～5 s內物體沿斜面上升的位移.

解析 （1）在0-1s內，加速度a=v1t=5m/s2，

F1-mgsin 30°=ma，即F1=20N，

電動機的額定功率P=F1v1=100W，

最大速度vm=Pmgsinθ=10m/s.

（2）0-1s內物體勻加速直線運動的位移x1=12v1t1=2.5m，

1-5s內Pt2－mgx2sinθ=12mvm2-12mv12，

即x2=32.5 m，

則x=x1+x2=35m.

點評 本題以v－t圖象為解題的入手之處，利用速度圖象的斜率表示加速度，面積表示位移，結合汽車啟動模型和動能定理的靈活運用進行解題.可見，在物理課堂教學中教師應該引導學生關注數學斜率知識在物理解題中的有效應用，同時也提醒學生關注圖象的截距和面積的含義及應用.

2 借助幾何關系解決物理問題

數學作為一門工具型學科，在物理教學中應用十分廣泛，帶電粒子在勻強磁場中運動問題是考查的重點，此類問題主要涉及畫軌跡、找圓心和求半徑，不少學生對此類問題感到比較困難，解題效率不高，實際上可以利用數學幾何關系進行求解，往往能夠達到意想不到的效果，學生在解題中獲得物理思維素養的提升.

例2 在平面直角坐標系的第一象限內存在足夠長的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里，如圖3所示，平行x軸的邊界線將磁場劃分兩個區域，區域I的寬度為L，區域Ⅱ的寬度為2L，y軸上P點處的離子源沿紙面內向磁場區域不斷發射質量為m，電量為q的正離子，速度方向與水平方向夾角為53°，忽略離子重力和正離子之間的相互作用，試求：若離子速度大小v=5qBLm，則離子進入區域Ⅱ與邊界的夾角θ.

解析 以v=5qBLm進入磁場區域I運動軌跡如圖4所示，做勻速圓周運動的半徑r=mvqB=5L，根據幾何關系可知，離子勻速圓周運動的圓心至區域Ⅱ邊界的距離d=rcos53°+L=4L，則cosθ=dr=0.8，即θ=37°.

點評 帶電粒子在磁場中的運動問題是高中物理考查的重點和難點，解決此類問題主要是根據題意畫軌跡，根據圓周運動特征找圓心，再根據數學幾何關系求半徑，結合洛倫茲力提供向心力列方程進行求解.此類問題解決的關鍵是“數學幾何知識”求半徑的過程，物理教師應該重視引導學生運用數學幾何知識求解問題.

3 借助微元思想求解物理問題

物理解題方法的探討一直是一線教師關注的焦點，解題方法的靈活運用是高效解題的重要保障.微元法是從數學視角對研究對象進行無限截取微小單元，對該微元進行物理分析及規律運用進行解決問題.微元思想方法能夠有效處理變量問題，特別是電磁感應中的相關問題.

例3 在水平面內固定一個頂角θ=45°的金屬導軌MON，如圖5所示，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌向下，質量為m的導體棒與ON垂直，在水平外力作用下以恒定速度v0沿導軌MON向右滑動，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸；t=0時，導體棒位于頂點O處，在水平外力作用t0時刻后撤去，試求：導體棒移動的最遠水平距離.

解析 根據題意，撤去外力后，設任意時刻t導體棒的運動距離為x，速度為v，取很短時間Δt（很短距離Δx）.

如圖6所示，在t～t＋Δt內，由動量定理得－BIlΔt＝mΔv，

根據歐姆定律可得

I=ER=Blv2+2lr=Bv2+2r，

則－∑B22+2rlvΔt=∑mΔv，

B22+2rΔs=mv0，

在此過程中掃過面積ΔS=x0+xx－x02=x2－x202，（x0＝v0t0），

可得x=22+2mv0rB2+v0t02.

點評 本題主要涉及電磁感應中的變速運動問題，導體棒撤去外力后做加速度不斷減小的減速運動，常規的勻變速運動公式難以處理，對于這類變速問題處理的常見手段是微元法，選取微元Δt、Δv、ΔS，讓變量視為衡量處理，再利用微元累積求和實現難點的突破與求解，不斷提升學生數學思想方法融合物理解題的應用能力.

4 結語

總而言之，數學思想方法是解決物理問題的一種重要手段，物理教師在教學實踐中應該引導學生靈活運用數學知識與規律解決物理問題，讓學生實現物理問題向數學問題的轉化，達成數學思維在物理解題中有效應用的目標，進而培養學生物理學科的思維素養，促進學生物理學科核心素養的發展.

參考文獻：

［1］陶德泉.數學知識與思想方法在高中物理解題中的應用探究［J］.數理化解題研究，2023（22）：130-132.

［2］劉長強.數學定理在高中物理力學解題中的有效應用研究［J］.中學理科園地，2022（03）：65-68.