借助三角函數求解平衡中的最值問題

【摘要】本文通過對具體實例的分析，闡述三角函數在解決這類問題中的應用方法．詳細介紹構建三角函數模型求解平衡中最值問題的思路以及變式應用．研究表明，三角函數在解決平衡中的最值問題時具有重要的作用，能夠提供簡潔、有效的解題思路．

【關鍵詞】三角函數；高中物理；解題技巧

在物理學中，平衡問題是一個常見且重要的研究領域．許多實際情況都涉及到物體在某種條件下的平衡狀態，而在這些平衡狀態中，往往需要求解相關物理量的最值．三角函數作為一種強大的數學工具，在解決這類問題時發揮著關鍵作用．

1 借助三角函數求解平衡中的最值問題

例1 如圖1所示，質量為M、傾角為θ的木楔放置在水平地面上．有一質量為m的物塊，放置在斜面上某處由靜止釋放時，物塊恰好沿斜面勻速下滑．現若用一力F拉著物塊能沿斜面勻速上升，且力F與斜面間的夾角為α，物塊在斜面上運動時木楔始終處于靜止狀態．下列選項錯誤的是（ ）

（A）力F的最小值為mgsin2θ．

（B）當α=2θ時，F取得最小值．

（C）勻速下滑時，M受到地面給它向右的摩擦力作用．

（D）勻速上滑時，M受到地面給它向左的摩擦力作用．

解析 對物塊分析，根據題意可得：沒施加外力F時，物塊做勻速直線運動，在沿斜面方向上有mgsinθ=μmgcosθ，施加外力F時，受到滑動摩擦力，重力，斜面的支持力，拉力F，做勻速運動，處于平衡狀態，在沿斜面方向上有f+mgsinθ=Fcosα，在垂直斜面方向上N+Fsinα=mgcosθ，滑動摩擦力f=μN，聯立可得F=2mgsinθcosα+μsinα，代入mgsinθ=μmgcosθ，則F=mgsin2θsin（π2－θ+α），所以當α=θ時，分母最大，F有最小值，最小值為Fmin=mgsin2θ，故（A）正確，（B）錯誤；將兩者看做一個整體，設水平面對木楔M的摩擦力是f′，水平方向受力平衡，則有f′+Fmincosθ+α=0，摩擦力的方向向左，（C）錯誤，（D）正確．

點評 本題求解F的最小值時，根據物理規律，將F表示成關于α的三角函數，通過三角函數的最值求解F的最小值，巧妙地利用數學知識處理了物理最值問題，培養了學生應用數學處理物理問題的能力．

2 變式應用

例2 圖2是固定在水平地面上傾角為30°的斜面體．現將一質量為m的滑塊放在斜面上某處由靜止釋放，滑塊正好沿斜面勻速下滑．現給滑塊施加一豎直面內的拉力F使滑塊沿斜面勻速上滑．已知重力加速度為g，下列選項正確的是（ ）

（A）若F沿斜面向上，那么F=mg．

（B）F的最小值為0.5mg．

（C）當斜面傾角為70°時，沿水平方向施加力F不能使滑塊勻速上滑．

（D）當斜面傾角為50°時，沿水平方向施加力F不能使滑塊勻速上滑．

解析 滑塊開始勻速下滑，則有mgsinθ－μmgcosθ=0，可得μ=tanθ=33，摩擦力f0=μmgsinθ=0.5mg，若拉力平行于斜面向上，滑塊勻速上滑，則F=f0+mgsinθ=mg，故（A）正確；

假設拉力與斜面的夾角為α，受力分析如圖3，建立直角坐標系，x方向：Fcosα－f－mgsinθ=0，y方向：Fsinα+N－mgcosθ=0，f=μN，聯立解得F=μmgcosθ+mgsinθcosα+μsinα

=μmgcosθ+mgsinθ1+μ211+μ2cosα+μ1+μ2sinα，

令tanβ=μ，即β=30°，

上式F=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβcosα+sinβsinα=μmgcosθ+mgsinθ1+μ2cosβ－α，可知α=β=30°時，F有最小值，Fmin=32mg，故（B）錯誤；

若施加的壓力下沿水平方向分析滑塊的受力情況如圖4所示，則有N－mgcosθ－Fsinθ=0，又f=μN，又有Fcosθ<mgsinθ+f，則有Fcosθ≤mgsinθ+μmgcosθ+Fsinθ，變形得F－μmgcosθ≤mg+μFsinθ，解得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，當F為∞時，tanθ≥1μ=3，所以θ≥60°，即當斜面傾角為60°時，沿水平方向施加力F，無論F有多大都不能使滑塊勻速上滑，故（C）正確，（D）錯誤．

點評 本題（B）選項中，求拉力F的最小值，先設出拉力的方向（拉力與斜面的夾角為α），再將拉力表示成關于α的三角函數，求其最值即可得到答案；（C）（D）選項中，根據物理規律得tanθ≥F－μmgmg+μF=1－μmgFmgF+μ，可知θ≥60°時，當F趨近于∞，進而可得結果．

3 結語

通過以上的理論闡述和實例分析，可以看出三角函數在求解平衡中的最值問題時具有顯著的優勢．它能夠將復雜的物理關系轉化為簡潔的數學表達式，從而方便地求得最值．在實際應用中，需要學生深入理解問題的物理本質，準確構建三角函數模型，并熟練運用三角函數的性質和相關公式進行求解．隨著科學技術的不斷發展，平衡中的最值問題將在更多領域中出現，三角函數作為一種有效的解決工具，其應用前景將更加廣闊．需要注意的是，在實際解題過程中，還需要結合具體問題的特點和條件，靈活運用其他數學知識和物理原理，以確保解題的準確性和完整性．同時，不斷積累解題經驗，提高解決實際問題的能力，將有助于學生更好地應對各種復雜的最值問題．

參考文獻：

［1］朱賢賢.三角函數在物理情境中的應用［J］.中學生理科應試，2022（12）：28-29.

［2］畢國輝.三角函數在物理解題中的應用［J］.理科考試研究，2016，23（15）：45-46.

［3］徐同苗.三角函數在物理解題中的應用［J］.中學物理教學參考，2019，48（14）：92-93.

［4］王紅曉.三角函數在物理力學中的運用［J］.中學生數理化（學習研究），2016（05）：39+3.