例談空間直角坐標系的構建

引入空間向量坐標運算，使立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法中煩瑣的分析運算過程，只需建立空間直角坐標系便可輕松求解。要建立恰當?shù)淖鴺讼凳抢孟蛄拷忸}的第一步，也是關鍵步驟之一。下面談談建系的原則及常見模型，供同學們參考。

一、建立直角坐標系的原則

1.z 軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)線面垂直的判定定理，即z 軸要與坐標平面xOy 垂直，在幾何體中也很直觀，坐標原點即為z 軸與底面的交點。

2.x 軸，y 軸的選取對坐標是否易于寫出非常關鍵，下面幾個原則值得參考。

（1）盡可能地讓底面上更多的點位于x軸，y 軸上;

（2）因為x 軸，y 軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件;

（3）要利用好對稱關系，尋找底面上的點是否存在軸對稱。

3.同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標也會對應不同，但是通過坐標運算所得到的結論（位置關系，角）是一致的。

二、常見模型

1.墻角模型：已知條件中有過一點且兩兩相互垂直的三條直線，就是墻角模型。

以該點為原點，分別以兩兩垂直的三條直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系;當條件不明顯時，要先證明過一點的三條直線兩兩垂直（即一個線面垂直+底面內兩條直線垂直），然后建系。

2.垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個平面，此情形包括垂足在平面圖形的頂點處、垂足在平面圖形的邊上（多為中點）和垂足在平面圖形內部三種情況。

第一種建系方法以垂足為坐標原點，垂線的向上方向為z 軸的正方向，平面圖形的一邊為x 軸或y 軸，在平面圖形中，過原點作x 軸或y軸的垂線，對應為y 軸或x 軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點），建立空間直角坐標系，如圖1。……