利用數形結合培養小學生數學應用意識的策略

摘要：“‘圖’與和差”是數量關系單元主題中的內容，教師要引導學生在已有知識經驗的基礎上，利用動手操作和畫圖的方式來解決和差問題，借助畫圖來幫助學生分析和理解題意，培養學生數形結合的思想，激發學生學習數學的興趣。教師可以引導學生從日常生活中發現和提出數學問題，探索分析和解決問題的方法，經歷獨立思考并與他人合作交流解決問題的過程。

關鍵詞：數量關系；數形結合；數學應用意識；解決問題

“‘圖’與和差”是數量關系單元主題中的內容，屬于北師大版小學數學教材三年級上冊第四單元“乘與除”相關知識的拓展內容。在這一單元中，教師應引導學生學習整十、整百數及兩位數乘（或除以）一位數的口算，掌握基本的口算方法，并能夠解決有關的實際問題。在“‘圖’與和差”主題實踐活動中，教師要引導學生經歷整十、整百、整千數乘（或除以）一位數口算方法的探索過程，初步感受計算方法的多樣性，提高計算的靈活性，逐步發展運算能力；在具體情境中，認識和差問題，通過理解題意，知道他們之間的聯系與區別，發展抽象能力，進一步感受乘除法知識在現實生活中的廣泛應用；結合具體的操作活動，體會和差問題的解決方法，認識到畫圖是解決問題的有效途徑，培養學生“數”與“形”結合的思想，激發學習數學的興趣。

一、初步了解和差問題

（一）創設情境，提出問題

【教師導入】樂樂同學遇到了一個與和、差有關的問題，讓我們一起來看一看——樂樂的爸爸在上班前對樂樂說，幫我把家里那根1米長的木條鋸成兩段，長的那段比短的要長20厘米。樂樂這個寒假剛剛學會了用鋸來鋸木頭，于是就爽快地答應了爸爸。等爸爸走了以后，樂樂就拿著鋸琢磨起來，想來想去卻不知道應該從哪兒開始動手：從中間吧，不對，這樣好像兩根就一樣長了；如果先從中間鋸開，再把其中一段鋸掉20厘米……好像也不行，那樣剩下的兩段合起來就不是1米了。從哪兒開始鋸，才能讓一根比另一根長20厘米呢？這可把樂樂急壞了，同學們能幫助他嗎？

（二）厘清題意，引發思考

【解釋說明】解決問題之前，先讓我們一起來了解一下題目要求，要把1米長的木條鋸成兩段，長的那段要比短的那段長20厘米。也就是說，兩段木條一共長1米，也就是100厘米 ，這是兩段木條的長度和；鋸成兩段后，長的一段比短的要長20厘米，也就是兩段的差是20厘米。如果我們知道長的一段和短的一段分別長多少厘米，就知道該在哪鋸開木條了。現在就請同學們想辦法做一做。給你提供兩個方案：可以用紙條代替木條操作一下，也可以在紙上畫圖試試（學生兩分鐘思考，動手嘗試）。

【設計意圖】教師采用了開篇點題的形式，讓學生一開始就明確本節課的學習內容，初步認識了數形結合思想。教師把和差問題與學生生活中熟悉的情境結合起來，讓學生在思考的過程中，理解和與差的關系。雖然三年級的學生已具備了一定的計算能力和分析理解問題的能力，但是對于和差問題接觸的并不多，所以在弄清題意的環節，教師結合課件給予進一步的說明。

二、動手操作理解和差問題

（一）用紙條先求較小數，再求較大數

【教師引入】請你利用準備好的長紙條，把它看成1米的木條，也可以說是多長的木條（100厘米長的木條）？這100厘米長的紙條里都包含什么（它既包含短的一段木條，又包含長的一段木條，而且長的一段比短的一段長20厘米）？

學生用小剪刀將長出的這20厘米剪掉，觀察原來的紙條還剩下多少厘米（100減去20還剩下80厘米）。學生明確：這80厘米里面，正好是兩個短段的長度和，再用80除以2就得到了短段的長度，在計算的時候就可以利用剛剛學過的整十數除以一位數的方法進行計算：把80看成8個十，除以2是平均分成兩份，每份就是4個十，就是40厘米。

教師追問：再求長段的長度，可以怎么做呢（可以用短段的40厘米加上長段比短段長的20厘米。也可以用它們的和100厘米減短段的長40厘米，都可以求出長段的長度是60厘米）？

【設計意圖】教師借助紙條想辦法，讓學生在動手操作過程中，體會和與差的關系。學生利用1米長的木條（也就是100厘米長的木條），換算成厘米為單位。在弄清題意時，學生已經明確了這100厘米是長、短木條的和，在這一部分中，用剪刀減掉20厘米，也就是它們的差。這時候，學生觀察思考剩下的木條是哪一部分。結合屏幕上的紙條變化，學生能輕松地看出是兩個短木條的和，已知兩個相同加數的和，求其中的一個數，進而得出80÷2這個算式。由于本單元剛剛學過整十數除以一位數的口算方法，學生能夠熟練地說出計算過程，鞏固了本單元的學習內容。

（二）利用紙條先求較大數，再求較小數

【教師引入】利用紙條還有一種方法，我們把準備好的長紙條當成長1米的木條，也就是長100厘米。這100厘米長的紙條里既包含長的一段木條，又包含短的一段木條，而長的一段比短的一段長出20厘米。我們把準備好的那條較短的紙條（長20厘米）用透明膠粘到長紙條上，現在紙條的長度就是多少了（100 +20等于120厘米）？

學生發現這120厘米長的紙條正好是兩個長段的長度和，120除以2，可以根據第四單元學過的口算方法，把120看成12個十，除以2，每份得到了6個十就是60，長段的木條長60厘米。用長短兩段的和100厘米減長段的60厘米就得到了短段的長度，也就是100 - 60 = 40（厘米），或者是60 - 20 = 40（厘米）。

【設計意圖】學生利用準備好的小紙條，先是減掉它們的差，求出較小數，再求出較大數。然后，學生利用小紙條把它們的和與差連接起來，求出較大的數，再求出較小的數，從而輕松解決了問題。

三、利用畫圖分析解決問題

【教師引入】想要鋸成長短兩段，就是求長段和短段各長多少厘米？畫圖時，我們把長短兩段用兩條線段表示，然后把重要的數學信息標注在圖上，100厘米是長段與短段的和，20厘米是它們的差。像這樣的已知兩個數的和與差，求這兩個數的問題，我們稱為和差問題。請你也嘗試畫個圖來解決這個問題，邊畫圖邊寫出相應的算式。

學生在練習本上畫圖并列出算式。學生用畫圖表示和差關系，先求較小數，再求較大數。學生將長段長出的20厘米先去掉，這時的和也會隨著減少20厘米，算式是100 - 20 = 80（厘米），這80厘米就是兩條短段木條的和。求其中一段短木條的長度，用80再除以2得到了短段木條的長度是40厘米，計算方法是把80看成8個十，平均分成兩份，其中的一份就是4個十，就是40厘米。長的那段我們可以用40 + 20 = 60（厘米），當然也可以用他們的和100減掉其中短木條的長度40厘米，剩下60厘米。學生用畫圖表示和差關系，先求較大數，再求較小數。通過畫圖學生可以看出，兩段相差20厘米，可將短線延長到與長線相等 ，就是補齊差的20厘米，這樣和也會增加20厘米，則100+20厘米就是兩條長段木條的和，用120厘米除以2就得到了長段木條的長度。把120看成12個十，平均分成兩份，其中一份就是6個十，也就是我們得到的60厘米。短的那段可用他們的和100厘米減去60厘米，也就是100 - 60得到40厘米。或者用長段的60厘米，減掉差的20厘米，剩下的就是短段的長度40厘米。

【設計意圖】學生在活動中經歷動手操作的過程，對于和差問題的解決已經有了一定的認識，利用紙條代替木條，學生的體驗非常清晰。進一步簡化操作的流程，利用畫圖的方式，既直觀又清晰。通過畫圖學生可以清晰地看出長段木條和短段木條的關系，從而明確地提出什么是和差問題。凸顯出畫圖是解決和差問題的有效途徑，同時為理解數形結合打下基礎。

四、鞏固練習和總結提升

（一）學以致用，鞏固練習

【教師引入】數學知識的學習離不開鞏固練習，接下來我們來挑戰一下自己。

【練習】媽媽買了一個西瓜和一個菠蘿，共花了60元，西瓜比菠蘿貴26元，西瓜和菠蘿各多少元？

學生用兩條不同長度的線段表示西瓜和菠蘿的價錢，通過已知條件，長的線段代表西瓜的價錢，短的線段代表菠蘿的價錢。它們的價錢和是60元，價錢差是26元。西瓜比菠蘿貴26元，可將西瓜的錢數去掉26元，同時和也隨著減少26元，算式就是60減26等于34元。34元相當于兩個菠蘿的價錢，學生再用34÷2就得到了一個菠蘿的價錢，也就是17元。

【教師引入】34除以2口算起來有點難度，能不能用我們已經學過的兩位數除以一位數的除法來算一下呢？

【學生計算】把34分成20和14，20除以2等于10，14除以2等于7，10加7等于17。所以一個菠蘿的價錢是17元。那么，西瓜的價錢是60 - 17 =43（元）。

學生的線段圖畫得非常清晰，通過畫圖可以很輕松地理解題意和分析問題：利用和與差的關系，先得出兩個菠蘿的價錢，然后再求出一個菠蘿的價錢，從而西瓜的價錢就輕松得出來了。

（二）回顧反思，分享成果

教師引導學生明確：關于和差問題，我們利用動手操作和畫圖的方式，得到了兩種解題的方法。一種方法是在兩數之和里補上兩個數的差，得到了兩個較大的數，再除以2從而求出一個較大數；另一種方法是可以從兩數的和中減去兩個數的差，就會得到兩個較小的數，除以2得到一個較小的數，問題得以解決；無論哪種方法，都需要借助畫圖來幫助分析，將 “數”與“形”結合起來思考。這就說明畫圖對于學生學習數學是十分重要的。

這節課作為乘與除部分的種子課，是學生能夠利用數形結合思想來思考問題的基礎，是對原有知識的擴充，是培養應用意識的前提。數與形既相互獨立又相互滲透，怎樣讓數與形更加緊密地結合起來是數學研究中一個永恒的課題。

參考文獻：

［1］戚彩紅，田小紅.經歷數形結合過程感悟數形互助內涵：《數與形》教學［J］.小學教學設計，2023（35）.

［2］陳奕彤.巧用數形結合優化小學數學教與學［J］.小學教學研究，2023（23）.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：于永新，沈陽市鐵西區太陽小學教師。